2023年全国硕士研究生招生考试《数学一》全真模拟卷一

2023年全国硕士研究生招生考试《数学一》全真模拟卷一

1.【单项选择题】设｛a,J与｛bj为两(江南博哥)个数列，下列说法正确的是

().

A.若｛aj与瓜｝都发散，则｛ah｝一定发散

B.若｛aj与｛bn｝都无界，则｛ah｝一定无界

r若｛a.｝无界且lima11bli=0.则limA”=0

n若a,为无穷大,且lima也,=0•则生一定是无穷小

U.W•1

正确答案：D

参考解析：

(A)不对,例如:a”=2+(—1)”.〃“=2—显然储“｝与电｝都发散,但”.瓦=3,

显然收敛；

(B).(C)都不对.例如：a“=”口+(-1尸]也=”口一(一D"],显然｛*｝与也〉都无界，

但“力”=0,显然｛a也｝有界且lim〃“*0；

故正确答案为(D).

1.【单项选择题】设｛4｝与｛bn｝为两个数列，下列说法正确的是().

A.若｛aj与｛bj都发散，则｛ah｝一定发散

B.若｛aj与｛bj都无界,则｛ab｝一定无界

若｛"｝无界且lima/”=0,则lim”“=。

kry.n-••ft-•

n若明为无穷大，且lima/.=0,则b一定是无穷小

U.n•n

正确答案：D

参考解析：

(A)不对,例如:a”=2+(—1)F“=2-(一1尸,显然S.｝与彷“｝都发散,但。也=3,

显然亿”仇｝收敛；

(B),(C)都不对.例如ta„=”口+(—1)"],/>“=n[l-(-1尸1显然｛a.｝与汕“｝都无界，

但a”6“=0,显然｛ae6“｝有界且r0；

n-*<*

故正确答案为(D).

2.【单项选择题】

当〜传时.“一4arccos盘"z与a(x-j)为等价无穷小，则().

A.a=4,b=2

B.a=-4,b=2

C.a=8,b=l

D.a=-8,b=l

正确答案：C

因。卜一打为If(y)"时的无穷小量.故”>0,又

4&

7：-4arccosJlx—212

PUm—飞—livm]b、==1,

参考解析：'(-r”卜一2).一)“〃卜一彳)

则6=1,因若不然，极限不为1,即

472

-(f)

于是a=8.6=1.选(C).

x3-1

设f(z)=[z-l''则在Z=1处”z)().

3.【单项选择题】13.工=1,

A.不连续

B.连续但不可导

C.可导但不是连续可导

D.连续可导

正确答案：C

参考解析：

因为lim/(z)=lim:-------=lim(_r?+z+D=3=/(I).所以/'(彳)在忆=1处连续.

1—1x-»iT-117

因为lim£1)_/C)=|imE+A+/―3=3,所以/(x)在工=1处可导.

LlX-1Z-11一1

当工H1时./'(工)=21+1,因为1而/'(7>=3=/'(1),所以八工)在工=1处连续可导,

x-*i

选(D).

4.【单项选择题】

已知a>0,设函数u=f(x,y)具有二阶连续偏导数，且满足等式K3一3w=0,

ox1oy2

d^U

使等式在变换C=2+ay,n='+珈下简化为近而=0,则ah的值分别为

瓜

『3

A.a=3

B.

C.

D.

正确答案：B

-du=-dl-l-)--du-.

dx&<?n

d2ud2udlUdlU

----1-2----A-----.

dududu

T——a--Tb—,

oydrj

22

HldU.,tdu

°时+2ab丽"V'

将以上各式代入原等式,得

,d2ud2u

(1—3a*)—7+2(1—3ab)-----F(1—362)—r=0.

英“*叫djj'

由题意.1-31=0,1-361=0,1—3。6X。，解得

〜冬g—日或a一与力=毋（舍去）.

参考解析：故正确答案为（B）.

5.【单项选择题】

xdy—ydx

设5|x|+\y\=V2,取顺时针方向，则/=1

L〃+犷

A.23T

B.—2n

C.n

D.0

正确答案：B

参考解析：

记「=一』«=—'，则箓一票=0,作〃：/+/=62（62充分小），

M+炉i+/oxoy

取装时针方向，则由珞林公式，有/=一，赳=畔=--，坐华+，噌二竽

更/+峭/+必

JLJLX2+2/2

=ffOdxdy------（Ixdy-ydx=-----[[dxdy=-----n52=-2n

JJ82JL.52JJ52

D〃十/gb?

6.【单项选择题】设A为mXn矩阵（m〈n）且r（A）=m,下列命题

①存在可逆矩阵P,使得PA=（Em|0）；

②存在可逆矩阵Q,使得AQ=（E,„|0）；

③方程组AX=b存在无数个解；

④若矩阵B满足AB=0,这B=0

正确的为

A.①②

B.②③

C.①③

D.②④

正确答案：B

参考解析：①可逆矩阵左乘A,进行行变换，可以保证前面的Em,没办法把后

面消为0,①错误，

因为r(A)=m,即A行满秩，所以A经过有限次列变换可化为(Em|0),即存在可

逆矩阵Q，使得AQ=(Em|0),②正确

r(A|b)>r(A)=m,又r(A|b)为mX(n+1)矩阵，从而r(A|b)Wm,于是

r(A)=r(A|b)=m<n,方程组AX=b有无数个解,③正确。

由AB=0得r(A)+r(B)Wn,因为r(A)=m〈n,所以r(B)不一定为零，即B不一定

是零矩阵，④错误。

7.【单项选择题】设A,B为n阶实对称矩阵，且A,B均可逆，则下列结论不

正确的是

A.A与B等价.

B.AB与BA相似

C.A与B合同

D.A?与B?合同

正确答案：C

参考解析：因A,B为n阶可逆矩阵，故r(A)=r(B),从而A与B等价，故(A)

正确；

因A可逆，故有A」(AB)A=BA,从而AB与BA相似，故(B)正确；

因A,B均为可逆矩阵，故。不是A,B的特征值，从而可得A?与B?的特征值均

大于0,又A?与B?也为实对称矩阵，故A?与B?合同，故(D)正确；

但A,B的特征值正负个数却不一定相同，故(C)错误，故应选(C).

8.【单项选择题】

(ax20<工<1,i

设随机变址X的概率密度为人"且E(X)=/，

lo,其他，2

D(X)=ID则(a,6,c)=

(_111)

A,2,3,5，

(1.12)

B.'2，3,5，

5

C.(9,-9,万)

正确答案：C

根据概率密度的性质J二fGr)dr=1,及题设条件，可得

/二/⑺dr=J；(azJ+&r+c)dr=f+1+c=l,

参考解析：E(X)=匚>八"&=/>(-2+Ar+^=f+f+f=

D(X)=E(X1)-[E(X)?=j^/(x)dz-^=各

即Jx*(ar2+&r+c)dr=g+[+"§■=1解得a=9,6=—9,c=

9.【单项选择题】

①(工)为标准正态分布函数，X,=/?乎(i=l,2,...,100),且P(4)=0.8,

11ASJE

100

相互独立，令则白中心极照定理Y的分布面数尸(？)近似于()

X1,X2)...Xiooy=XX“

1=1

A.0(y)

B.呵巧吗

C.①(16y+8)

D.①(4y+80)

正确答案：B

因为Xi,冬,...，Xioo相互独立且同分布，｛:筐，所以E(XJ一0.8,

100

D(X,)-0.16,而丫=£x„所以EY^80,DV-16,由中心板限定瑕D,

1=1

Y近似服从正态分布N(80,16),则Y的分布困数为力(乜誉)

参考解析：

10.【单项选择题】设(X,Y)~N(0,0；1,1；-1/2),令U=2X-Y,V=X+Y,

则PX

1

A.3\/7

1

B.与

1

C.出

2

D,丫斤

正确答案：B

参考解析：由(X,Y)~N(0,0；1,1；-1/2)得X〜N(0,1),Y~N(0,1)

且Pxy=-l/2

D(U)-Cov(2X-y,2X-y)=4D(X)-4Cov(X,Y)+D(y)=4-4XlXlX(-y)+l=7,

D(V)=Cov(X+y,X+Y)=D(X)+2Cdv(X,Y)+D(Y)-1+2X1X1X(--1)+1=1,

Cov(LZ,V)-Cov(2X-y,X+Y)=2D(X)+Cbv(X.Z)-D(y)=2--1-XlXl-l=y.

1

Cov(U,V)71

故Puv，应选B.

VD(V)=8"2"

f1

--dx

2二

11.［填空题］l+cosx+si'n7

正确答案：

-----------------------Ar

1+cosx+sin—

3)+c.

参考解析：

12.【填空题】曲线r=l+cos0介于0W0Wn的弧长为

正确答案：

参考解析：4

【解析】

弧长为

n

2+(7')2d&=，(1+cos0)2+(—sin8)2dd

J0

X__________f«00«

—，2(1+cos-2cos—(10=4sin—=4.

Jo22Io

13.【填空题】设可微函数f(x,y)在点(1,1)的梯度为gradf(l,

l)=i+2j,f(l,1)=1,则曲面z=f(2x-y,3x-2y)在点(1,1,1)处的切平面

方程为.

正确答案：

因为ffradf(l,l)=i+2j,所以=1,/；(1,1)=2,对于法数z=f(2x-y,3x-2y)

-1(1,1,1)=2/i(2^~3x-2j/)+3/2(21-y,3x-2y)=8,

OX'7

=一方(2/-y,3x-2y)-2弘(2H-y,3x-2y)=-5,

故曲面z=f(2zy,3x2M在点(1,1,1)处的法向量为(8,5,1),

参考解析:曲面z=f(2xy,3x2y)在点(1,1,1)处的切平面方程为8工5yz2=0

设2,则/3)的关于1T的徽数为

14.【填空题】(2一'0、

正确答案：

向=77^=与+昌7，力=_]_(；_1)=多—工<2),

----^2=一+1)(工T)"(°<工<2),

(工-2)2£

OC88

故f(x)=-£3-l)n+2£(n+l)(x-l)n=£(2n+1)(1-l)n(0<x<2)

参考解析：iXa

15.【填空题】设3阶矩阵k的特征值为1,2,3,AH,A22,A33是|A|的代数余

子式，则AU+A22+A33=.

正确答案：

参考解析：由A-1的特征值为1,2,3,知A的特征值1,1/2,1/3,故

|A|=l/6,

A*的特征值1/6、1/3,1/2,所以A11+A22+A33G

16.【填空题】

设随机变量X与Y相互独立,且都服从参数为1的指数分布,则随机变量Z=(的概率密度为

正确答案:

~~>0,

/z(z)=彳(1+z)’

参考解析：0.其他

【解析】

(e'・1〉0.

由题意可知X的概率密度为"/=；则

10,其4他n.

fz(z)=J|xI/(x)/(jx)d.r»

(.re'•e”,N>0,xar>0・1.re>0,N>0,

其中IxI/(x)/(JX)==

【0.其他lo,其他.

I|.rex5r，dj-fz>0.Ir■,,=>()•

所以fz(力==<(1+)

Io,其他Io.其他.

17.【解答题】

计算三重积分jjj(x2+j3+z4)drdydz,其中0：/+;/+/&2N,Z41.

n

由对称性，得由jirdydz=0.运用截面法，得

n

UJcx2+JF3+z4)dxAydz=JJ/2irdyck+jjjz4djcdydz

ann

=J.r2d.zJJdydc+Jz4diJJdrdy

Tq°4

=j।十M(l-〃)也+[0⑵-F)dz

2,434

=i^+ir=夜兀

参考解析:其中"，+d)2<1—4之&.4：/+842。-/・

18.【解答题】

计算曲面积分I=小*^+;r)dydz+(xe17*+y)dzdr+(2«rye1yt+N)dzdw其中S为曲面

r

z=1(x2+y)介于平面N=2与58之间部分的下侧.

"(ujjtCye^+Gtosa+(xe***+y)cos3+(2j-yc^+s)cos/JdS

=IT(X+h)•才+(工产+v)•y+(2-ryeZ+u八(-1)心

g/i+^+y

+n-+(/+y),,____

D..一.二十心=:-1+工？+—drdy

?〃+—+，g/i+v+y丫

参考解析：=1"+力3产红司f=60x.

求黑函数I+2£U"1的收敛域及和函数

乙-4n2—1

19.【解答题】n=i4n

因为如|置卜㈣寻方匕i=P，

由于该茶级数缺偶次项.则收敛半径R=7巧-1.

当工=-1时，级数成为一1+2££1鼻.该级数收敛，

当工=1时，级数成为】+22经二.该级数收敛,因此，原都级数收敛域为[-1,1].

“I4〃】

令SCr)=N+2€兀1工j则

S35+2当田,…+24培1L

=1+2寸：(£(-1尸/1)d<=14-2X£7^7出

=1+2xarctanx•

又S(0)=。•则

=J。(1+2/arctanr)d<=(1+x2)arctanx.

参考解析:S<x)

20.【解答题】

某湖泊水员为V,每年排入湖泊中内含污染物A的污水量为1.流入湖泊内不含A的水量

0

为1.流出湖的水箕为设1999年底湖中A的含量为5〃八.超过国家规定指标.为了治

理污染，从2000年初开始,限定排入湖中含A污水的浓度不超过77.问至多经过多少年.

V

湖中污染物A的含量降到，〃“以内(设湖中A的浓度是均匀的)？

参考解析.设从2000年初开始,第,年湖中污染物A的总量为则浓度为名，

任取时间元索口排入湖中污染物人的含量为答入《义山=*山.流出湖的污染

物A的含量为令Xjxdr=£山，则在此时间元素内污染物A的改变量为

山〃=("T"—v)"・解得=等一Ce'•又由"?(0)=5,〃o,得C=—•于是

\634L4

m=y(l+9e〃，令帆=小“得，=61n3,即至多经过7年，湖中污染物A的含量不超过,

21•【解答题】

二次型/(11,工2,工3)=XTAX=2a：i+(1+a2)®2+(3+a2)®1+2(1-。)阳工3+2(1-a)/2H3

的秩为2,4T=4.

(1)求Q的值

(II)求XTAX=2在正交变换X=Qy下曲面方程

参考解析:(I)由考A)析,可知|A1=5+1)26+3)=0,解得a=T

2o

(II)由已知及(I)•可知402

22

=A(A-2)(A-6)=0.

|-2-2X

得A的特征值为久=0.A：=2山=6.

由(。£OJ9a(I，1.1

由(2E0.得a(M.O)T.

T