2023年江苏省无锡市普通高校对口单招数学自考真题(含答案)

2023年江苏省无锡市普通高校对口单招数

学自考真题（含答案）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（10题）

1.已知抛物线方程为y2=8x,则它的焦点到准线的距离是（）

A.8B.4C.2D.6

角3620°是第。象限角

2.

A—B.二C.三D.四

3.设a>b,c>d则（）

A.ac>bdB.a+c>b+cC.a+d>b+cD.ad>be

4.x的展开式中，常数项是（）

A.6B.-6C.4D.-4

5下列函数的定义域为R的是（）

A.y=《

1

y=------

B.x-J

y=x2-2x+l

1

D尸？

6.在等差数列{aj中，如果a3+a4+a5+a6+a7+a8=30,则数列的前10项的

和Sio为()

A.30B.40C.50D.60

7.直线4x+2y-7=0和直线3x-y+5=0的夹角是()

A.30°B.450C.60°D.9O0

8.已知集合，A=[0,3},B={-2,0,1,2},则AAB=()

A.空集B.{0}C.{0,3}D.{-2Q1,2,3}

9.如下图所示，转盘上有8个面积相等的扇形，转动转盘，则转盘停止

转动时，指针落在阴影部分的概率为()

A.1/8B.1/4C.3/8D.1/2

10.若sina与cosa同号，则a属于（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第一、二象限角D.第一、三象限角

二、填空题（10题）

11.已知圆柱的底面半径为1,母线长与底面的直径相等，则该圆柱的

表面积为.

co$a且—兀则tan2a=

12.已知57X.

13.抛物线2y=x的焦点坐标是.

14.若4ABC中，ZC=90°,4°1一一4厕女・石。=。

15复数青

16.（x+2）6的展开式中x3的系数为_。

2

17.若ABC的内角A满足sin2A=5'则sinA+cosA=,

18.执行如图所示的程序框图，若输入的k=ll,则输出的5=

19.函数y=x2+5的递减区间是

20.在等比数列｛aj中,as=4,a7=6,则a9=_。

三、计算题（5题）

21.解不等式4<|l-3x|<7

22.求焦点x轴上，实半轴长为4,且离心率为3/2的双曲线方程.

23.己知直线1与直线y=2x+5平行，且直线1过点(3,2).

(1)求直线1的方程；

(2)求直线1在y轴上的截距.

24.有四个数，前三个数成等差数列，公差为10,后三个数成等比数

列，公比为3,求这四个数.

25.在等差数列｛an｝中,前n项和为Sn,且S4=-62,S6=-75,求等差数列

｛an｝的通项公式an.

四、简答题(10题)

26.设等差数列W的前n项数和为Sn,已知

大=!且砧尸［Sj+S?=21,求

22的通项公式及它的前n项和Tn.

27.已知向量a=(1,2),b=(x,1),(i=a+2b,v=2a-b且ji//v；求

实数X。

28.据调查，某类产品一个月被投诉的次数为0,1,2的概率分别是

0.4,0.5,0.1,求该产品一个月内被投诉不超过1次的概率

29.已知A,B分别是椭圆7V=1的左右两个焦点，0为坐标的原

更

点，点P(-l,E)在椭圆上，线段PB与y轴的焦点M为线段PB

的中心点，求椭圆的标准方程

30.如图四面体ABCD中，AB_L平面BCD,BD_LCD.求证：

(1)平面ABD_L平面ACD；

(2)若AB=BC=2BD,求二面角B-AC-D的正弦值.

31.以点(0,3)为顶点，以y轴为对称轴的抛物线的准线与双曲线

3x2-y2+12=0的一条准线重合，求抛物线的方程。

21

32.由三个正数组成的等比数列，他们的倒数和是正，求这三个数

33.某商场经销某种商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买，根

据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6,求3为顾客中至

少有1为采用一次性付款的概率。

/(x)=sm—+^cos—

34.已知函数23

(1)求函数f(x)的最小正周期及最值

(2)令以"=""?判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由

35.等差数列(4；的前n项和为Sn，已知aio=3O,a2o=5O。

(1)求通项公式ano

(2)若Sn=242,求n。

五、解答题(10题)

36.

已知向阜.a=(-Lcos6),B=(sm6,2),耳£_L6,求3cos：5-6)+4sui2e

的值

37.

如图，椭圆£:二+二=I的离心率是叱，过点P(Q1)的动直线/与

ah2

椭圆相交于A.8两点。当直线/平行于、轴时，直线/被椭圆E截得的线段长为20。

(1)球椭圆E的方程；

(2)在平面直角坐标系.mv中，是否存在与点P不同的定点。，使得附=叫恒成立？

画I网

若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由。

38.

设F和F分别是椭图二+=।的左焦点和右焦点，A是该椭圆与y轴负半轴的交点，

v4

在椭图上求点P，使得成等差数列。

39.

友平面为.角出择金xOy中，角(0<a<.g.g<夕<兀)的m点与,杀点”重合，始曳

53

与.1勉的正堂财宜合.终身分利与单枚塞文于4.8再点，48两点的以生杼分别为仁.5.

(I)求tan/?的彼；m)求A4O8的面也.

40.等差数列｛an｝中，37=4,ai9=2a%

(1)求｛aj的通项公式；

(2)设bn=l/nan求数列｛&｝的前n项和Sn.

已知418C.。也「是中，/A、ZB、NC的对边，b=l,c=V^.ZC=

⑴求”的值；

41(2)求co、B的值.

讨论函数f(x)=i可4i的奇偶性

卜_4|_|4+、|

42.

43.已知函数⑺"T；

(1)f(兀/6)的值；

(2)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间.

44.已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=i(a>b>0)的离心率为,其中左焦点F(-

2,0).

⑴求椭圆C的方程；

(2)若直线：y=x+m与椭圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的中

点M在圆:x?+y2=I上，求m的值.

45.已知a为实数，函数f(x)=(x2+I)(x+a).若f(-l)=0,

求函数：y=f(x)在［-3/2,1］上的最大值和最小值。

六、单选题(0题)

46.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()

A.(x-l)2+(y-l)2=l

B.(x+lF+(y+1)2=1

C.(x+lF+(y+1)2=2

D.(x-l)2+(y-1>=2

参考答案

l.B

抛物线方程为y2=2px=2*4x,焦点坐标为(p/2,0)=(2,0),准线方程

为x=-p/2=-2,则焦点到准线的距离为p/2-(-p/2)=p=4o

2.A

3.B

不等式的性质。由不等式性质得B正确.

4.A

在0+的二项展开式中,通项公式为：

41=C=c；x4~2r,

令4-2r=0,解得r=2.

常数项=C：=6.

5.C

6.C

•・・在等差数列{%}中,

Q,3+(1,\+。巧+。6+。7+=30,

*。5+Q6)=30,

即&)+。6=1°,

.Q_10(Q1+%0)_10(。5+。6)_10X10

-Dio2220e

7.B

由题意，直线4/+24-7=0的斜率为-2,

直线3/-g+5=0的斜率为3,则

直线4c+2g—7=0和直线31—g+5=0的

1-2-31

夹角的正切值是|---------|=1

1+(-2)x3

直线4c+2y—7=0和直线3c—y+5=0

的夹角45°

8.B

集合的运算.根据交集定义，AAB={0}

9.D

本题考查几何概型概率的计算。阴影部分的面积为圆面的一半，由几

何概型可知P=l/2。

10.D

各三角函数在各象限的符号分布的口诀为：

一全正，二正弦，三正切，四余弦

所以一、三象限正弦，余弦的符号相同

11.671圆柱的侧面积计算公式.利用圆柱的侧面积公式求解，该圆柱的侧

面积为27x1x2=4兀，一个底面圆的面积是兀，所以该圆柱的表面积为

4兀+27兀=6兀.

12.

24

T

13.

(-.0)(」.0)

8,因为p=l/4,所以焦点坐标为8.

14.0

-16

在△月月。中，

因为/。=90°，

AC=3.BC=4,

所以|4洌=5,

\BC

所以cos5=

\AB\5

所以

AB~BC=|AB\|3。|。。$（万一8）=-5x4x-1=-1G

综上所述，答案：—16

宣演2-2i（2-20（1-i）2X（-2i）

复数（1+i）（一）=-2—：

故答案为：-2i.

16.160

本题主要考查二项式定理。

展开式中〃的系数是叱-23=160。

18.15

程序框图的运算.模拟程序的运行，可得k=U,n=l,S=1不满足条件

S>11,执行循环体，n=2,S=3,不满足条件S>11,执行循环体，

n=3,S=6,不满足条件S>11,执行循环体，n=4,S=10,不满足条件S

>11,执行循环体，N=5,S=15,此时，满足条件S>11,退出循环，

输出S的值为15.故答案为15.

19.(-oo,0]o因为二次函数的对称轴是x=0,开口向上，所以递减区间

为(-00,0]o

20.

等比数列｛。"｝中，劭=4,a7=6

Q2

6=4xQ2

23

•,a9—a7■q2—6x—0

21.

解：对不等式进行同解变形得：

4<l-3x<7或-7<l-3x<-4

58

解得：—<X<—或-2vxv-l

33

22.解：

实半轴长为4

a=4

e=c/a=3/2,/.c=6

.\a2=16,b2=c-a2=20

)2

双曲线方程为16

23.解：⑴设所求直线I的方程为：2x-y+C=0

；宜线1过点(3,2)

6-2+c=0

即c=-4

所求直线I的方程为：2x-y-4=0

(2)♦.•当x=0时，y=-4

二直线I在y轴上的截距为-4

24.

解:设前三个数分别为b-10,b,b+10,因为b,b+10成等比数列且公比为3

6+10、

------=3

b

.,.b+10=3b,b=5

所以四个数为-5,5,15,45.

25.解:设首项为ai、公差为d,依题意:4ai+6d=-62；6ai+15d=-75

解得ai=-20,d=3,an=ai+(n-1)d=3n-23

26.(1)$2W+S$=21=1

又•••等差数列

2

T3

r.二—

(2)附+1

27.

〃=a+》=(L2)+(x,l)=(2x,14)v-(2-x,3)

Vg//v

1

x二一

(2x+1.4)=(2-x,3)得2

28.设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B表示“一个月内

被投诉的次数为1”

AP(A+B)=P(A)+P(B)=0.4+0.5=0.9

29.点M是线段PB的中点

又：OM_LAB,APA1.AB

11

贝(Jc=la'+2b'=1,a2=b2+c2

解得，a2=2,b2=l,c2=l

因此椭圆的标准方程为51'一

30.

解：(1)证明过程略

(2)解析：；平面AUDI.面ACD二平面ABD平面ACD=AD作B£

±APTE

贝ljJS£L平面ACD作BFJ_AC于F

连接£F:.EFJ.AC:.BFE为所求角

设BD=a则AC=2&aBf=&a

里=空£尸=与叵H叵

CDADV5a5

病

cosZ-BFE

sinZ5FF=-

5

31.由题意可设所求抛物线的方程为x-ZpJ-JXpX)

一=-巴

准线方程为.2

则y=-3代入得:p=12

所求抛物线方程为X2=24(y-3)

32.设等比数列的三个正数为1,a,aq

—+a+a<7=2l.—+—+—=—

由题意得gaaaq\e

解得，a=4,q=l或q=4

解得这三个数为1,4,16或16,4,1

33.

P=l-(1-0,6)3=1-0.064=0.936

一、XR彳JXX、A.X贯、

J(x)=sin--f-Jjcos—=2("sin-H----cos-)=2sm(—H•一)

34.(1)22222223

T=­-4TT/⑶最小值=-2/(x)最大值=2

f(x)=2sin(—+-)

⑵22,

.g(*)M/(^+y)>2sm(^+-^)=2cos-^

-XX

g(-x)=2coi—=2co$—=g(x)

又22

，函数是偶函数

35.

(1)a”=q+(〃+l)d,々I。=30,a2c=50

••・5+9d=30,q+19d=50得q=12,d=2

则&=2n+10

(2)S„=nay+"("；.!)d且S.=242

n(n-1)...

12〃+-----x2=24

2

得n=ll或n=—22(舍去)

36.

・.・〃=(-l.cosS)分=(sin6.2)15

-sin6+2cos〃=0....lan"=2

3cos'("8)+4sui28=3cos':+8sinJcos8=3cos©，8siu,cos6=3二8—叫=些

cos-8+sm。1+can-05

37.

(1)由题知椭圆过点(JI1)。得

示一，=1解得：a=c=0。

a2=h2+。2

所以，摭圆方程为：1+彳=1。

(2)假设存在筋足题意的定点0。

当直线/平行于'轴时，因=啰=1，A.3两点关于.v轴时称，得Q在、轴上。不妨设

mn

当直线/为.'轴时，崛=心1|・图=上乎，”1。解得〃=2

明\a+y/2\\PB1+0

下证对一般的直线/：¥=4+1，2(0.2)也满足题意。

由篇=耨得'轴为/AQ5的角平分线。斫以仆4=%。

不妨设八(小、).8t0.工)

X=kxi+l.y2=kx2+\

止=一三/，化筲谬2kx,x2=%+x?①

又椭圆方程与直线方程联立得：

v=A.rl,,

+，(l2A-).r4tv_2=0

-v+2y*=4'++

帚入①得成立。故假设成立。综上存在点满足题意。

38.

设点P(x,y)设点P(x,y)

由于甲娟+"q=6,由于|「与+=6,

A(0>-2)A(0--2)

从而由PF\.\PA.\PF,成差数列可得从而由/国.？A.|P八成差数列可得

|飞=3,即x+(y+2)=9色=3,即x+(y+2)=9

一LV

又亍+不=1

斯以上二一［=0所以二L1=o

9494

-4

解得y=4或产解得尸4或尸一,

39.

33

但国处左单左到中.B点的以生移势不，所以sm/?=M，

国为工<(］〈兀，所以cos0=—

5

所以tanR=""=--

cosp4

55

(II)*：回为女单生圉中.A点的妖坐卷为R,所以$1(1a=不

rr12

S]o<a<-,所以cosa=R

34

由⑴得sinp=《.cos0二一丁

56

所以sin/AOB=sin(/?-«)=sinftco^a-cosflsin«=—

又号为OA|=L|OB|=1.所以aAOB的时费

5=llOAI.IOBIsinzAOB=­.

265

40.

m设等总数，(a.)的公差为d.JH".

.S-4

+(H—l)d,曲］

1。1・・2a.

一(。1/64/-4—1

得・.」■・得4・l・d・彳.

hi+iw-2(«t+8<n2

A(-.l的通』公式为a.

+•一----^-r>

I，Z3・・+l

2M

41.

(I)Q〃=I.C=6.COSNC=；

/.由余弦定理得

,陵+〃-〃

cosZ<r-----------------

2ab

““2+T©

cos-=----------------J

32x1t7

1标+1-3

2la

解得：〃=-l(舍去)或a=2

二。=2

(2)由⑴知a=2

又Q〃="=W

.-,由余弦定理得

cos"+6”66

24cnr亍

42.

+9+一

由

k-4|一|4.乂工0

，XUR

解得=八J.X千0

二这函数的定义域关于原点对称•

=-f（X）

工函数f（X）是奇函数

43.

（1）f（•?■）—2cos，（三）+V3sin1一1=

oo3

2X（除尸+.X§-1=2.

乙4

（2）f（jr）=2cos2x4-V3sin2x-1=2sin（2x+

堂）.,.函数/G）的最小正周期丁=好=上令一

u4

1+2Aic42i+高&与+24穴,计算得出一三十

4043

日414看+—所以的单调增区间是

—三A6Z