专题1.1 与三角形有关线段的几何综合（压轴题专项讲练）（浙教版）（原卷版）

专题1.1与三角形有关线段的几何综合【典例1】【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，同时，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点．（1）①如图1，△ABC中，∠A=90°，则△ABC的三条高所在直线交于点；②如图2，△ABC中，∠BAC>90°，已知两条高BE、AD，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出△ABC的第三条高．（不写画法，保留作图痕迹）【综合应用】（2）如图3，在△ABC中，∠ABC>∠C，AD平分∠BAC，过点B作BE⊥AD于点E．①若∠ABC=80°，∠C=30°，则∠EBD=；②请写出∠EBD与∠ABC，∠C之间的数量关系，并说明理由．【拓展延伸】（3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图4，△ABC中，M是BC上一点，则有△ABM的面积△ACM的面积=BMCM．如图5，△ABC中，M是BC上一点，且BM=13BC，N是AC的中点，若△ABC【思路点拨】（1）①由直角三角形三条高的定义即可得出结论；②延长BE、DA交于点F，连接CF，延长BA交CF于点G，则CG为△ABC的第三条高；（2）①由三角形内角和定理和角平分线定义得∠BAE=12∠BAC=35°，再由直角三角形的性质得∠ABE=55°（3）连接CD，由中线的性质得S△ADN=S△CDN，同理S△ABN=S△CBN，设S△ADN【解题过程】（1）解：①∵直角三角形三条高的交点为直角顶点，∠A=90°，∴ΔABC的三条高所在直线交于点故答案为：A；②如图2，延长BE、DA交于点F，连接CF，延长BA交CF于点G，则CG为△ABC的第三条高；（2）解：①∵∠ABC=80°，∠ACB=30°，∴∠BAC=70°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE=1∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∴∠ABE=90°-35°=55°，∴∠EBD=∠ABC-∠ABE=80°-55°=25°，故答案为：25°；②∠EBD与∠ABC，∠C之间的数量关系为：2∠EBD=∠ABC-∠ACB，理由如下：∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∴∠ABE=90°-∠BAD，∴∠EBD=∠ABC-∠ABE=∠ABC+∠BAD-90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=1∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB，∴∠BAD=90°-1∴∠EBD=∠ABC+∠BAD-90°=∠ABC+90°-1∴2∠EBD=∠ABC-∠ACB，故答案为：2∠EBD=∠ABC-∠ACB；（3）解：连接CD，如图5所示：∵N是AC的中点，∴S△ADN∴S同理：S△ABN设S△ADN∵△ABC的面积是m，∴S∴S∵BM=1∴BMCM∴S△BDMS△CDM∴S△CDM=2∴S△CDM=∵S即：23解得：a=1∴S故答案为：5121．（2022春·江苏盐城·七年级校考阶段练习）如图，三角形ABC被分成三角形BEF和四边形AEFC两部分，BE=3，BF=4，FC=5，AE=6，那么三角形BEF面积和四边形AEFC面积的比是（）A．4：23 B．4：25 C．5：26 D．1：62．（2022春·江苏南京·七年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，D是AB中点，E是BC边上一点，且BE＝4EC，CD与AE交于点F，连接BF．若四边形BEFD的面积是14，则△ABC的面积是（

）A．28 B．32 C．30 D．293．（2022春·江苏苏州·七年级期末）如图，在△ABC中，D是边AB上的点，E是边AC上的点，且ADBD=1m，CEAE=1n，若A．mn+n+1n B．mn+m+1n C．mn+n+1m4．（2022春·江苏·七年级专题练习）如图，在△ABC中，AG＝BG，BD＝DE＝EC，CF＝4AF，若四边形DEFG的面积为14，则△ABC的面积为（）A．24 B．28 C．35 D．305．（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）设△ABC的面积为a，如图①将边BC、AC分别2等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；……，依此类推，若S5=311则a的值为（

）A．1 B．2 C．6 D．36．（2022春·江苏扬州·七年级校考期中）如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC、△ADF、△BEF的面积分别S、S1、S2，且S=36，则S1-S2=_______．7．（2022春·江苏泰州·七年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=52，AC=4,CD=3BD，点E是AC的中点，BE、AD交于点F，则四边形8．（2023春·七年级单元测试）在△ABC中，已知点D、E、F分别是边AE、BF、CD上的中点，若△ABC的面积是14，则△DEF的面积为_________．9．（2022春·重庆·七年级西南大学附中校考期末）如图，在△ABC中，BF=2FD，EF=FC，若△BEF的面积为4，则四边形AEFD的面积为______．10．（2022春·福建福州·七年级福建省福州延安中学校考期末）如图，在△ABC中，点E是AB边上的点，且AE:EB=2:3，点D是BC边上的点，且BD:DC=1:2，AD与CE相交于点F，若四边形BDFE的面积是16，则△ABC的面积为______．11．（2022春·江苏无锡·七年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）如图，点C为直线AB外一动点，AB=5，连接CA、CB，点D、E分别是AB、BC的中点，连接AE、CD交于点F，当四边形BEFD的面积为5时，线段AC的长度的最小值为___．12．（2022春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，连接AC、BD相交于点O．若AD与BC之间的距离为m，AC＝6，BD＝152，则AD＋BC的最大值为________13．（2022春·江苏无锡·七年级校联考期中）如图，在△ABC中，AB=5，AC=6，CD=4BD，点E是AC的中点，BE、AD交于点F，则四边形DCEF的面积的最大值是______．14．（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，点D，点E分别是AC和AB上的点，且满足AE=2BE，CD=3AD，过点A的直线l平行BC，射线BD交CE于点O，交直线l于点F．若△CDF的面积为12，则四边形AEOD的面积为____________15．（2022秋·全国·七年级期末）如图，四边形ABCD是矩形，点F是AB边的三等分点，BF=2AF，点E1是CB边的中点，连接E1F，E1D，得到△E1FD；点E2是CE1的中点，连接E2F，E2D得到△E2FD；点E316．（2022春·福建福州·七年级福州华伦中学校考期末）如图，在△ABC中，已知∠BAC=70°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D．（1）求∠BDC的度数；（2）试比较DA+DB+DC与1217．（2022秋·广东广州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中（AC>AB），AC=2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．18．（2022秋·陕西西安·七年级西安益新中学校考期中）探索：在图1至图3中，已知△ABC的面积为a（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA.若△ACD的面积为S1，则S1（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE.若△DEC的面积为S2，则S（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图）若阴影部分的面积为S3，则S3=______.(（4）发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF(如图3)，此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可