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专题01截长补短模型【基本模型】【例题精讲】例1.(基本模型)(1)阅读理解:问题:如图1,在四边形中,对角线平分,.求证:.思考:“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题.方法1:在上截取,连接,得到全等三角形,进而解决问题;方法2:延长到点,使得,连接,得到全等三角形,进而解决问题.结合图1,在方法1和方法2中任选一种,添加辅助线并完成证明.(2)问题解决:如图2,在(1)的条件下,连接,当时,探究线段,,之间的数量关系,并说明理由;(3)问题拓展:如图3,在四边形中,,,过点作,垂足为点,请写出线段、、之间的数量关系并说明理由.例2.(培优1)如图①,四边形ABCD为正方形,点E,F分别在AB与BC上,且∠EDF=45°,易证:AE+CF=EF(不用证明).(1)如图②,在四边形ABCD中,∠ADC=120°,DA=DC,∠DAB=∠BCD=90°,点E,F分别在AB与BC上,且∠EDF=60°.猜想AE,CF与EF之间的数量关系,并证明你的猜想;(2)如图③,在四边形ABCD中,∠ADC=2α,DA=DC,∠DAB与∠BCD互补,点E,F分别在AB与BC上,且∠EDF=α,请直接写出AE,CF与EF之间的数量关系,不用证明.例3.(培优2)思维探索:在正方形ABCD中,AB=4,∠EAF的两边分别交射线CB,DC于点E,F,∠EAF=45°.(1)如图1,当点E,F分别在线段BC,CD上时,△CEF的周长是;(2)如图2,当点E,F分别在CB,DC的延长线上,CF=2时,求△CEF的周长;拓展提升:如图3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,过点B作BD⊥BC,连接AD,在BC的延长线上取一点E,使∠EDA=30°,连接AE,当BD=2,∠EAD=45°时,请直接写出线段CE的长度.例4.(培优3)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=α,点D在边AC上(不与点A,C重合)连接BD,点K为线段BD的中点,过点D作DE⊥AB于点E,连结CK,EK,CE,将△ADE绕点A顺时针旋转一定的角度(旋转角小于90°)(1)如图1,若α=45°,则△ECK的形状为______;(2)在(1)的条件下,若将图1中的△ADE绕点A旋转,使得D,E,B三点共线,点K为线段BD的中点,如图2所示,求证:BE-AE=2CK;【变式训练】1.在四边形中,点C是边的中点.(1)如图①,平分,,写出线段,,间的数量关系及理由;(2)如图②,平分,平分,,写出线段,,,间的数量关系及理由.2.如图,在△ABC中,,D是三角形外一点,且,.求证:3.如图,在△ABC中,,,P、Q分别在BC、CA上,并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线.求证:(1);(2).4.如图1,在中,是直角,,、分别是、的平分线,、相交于点.(1)求出的度数;(2)判断与之间的数量关系并说明理由.(提示:在上截取,连接.)(3)如图2,在△中,如果不是直角,而(1)中的其它条件不变,试判断线段、与之间的数量关系并说明理由.【课后训练】1.如图所示,,,分别是,的平分线,点E在上,求证:.
2.如图,,,平分,且是中点试问:、和之间有何关系?并说明理由.3.如图,在中,,、分别平分、,、交于点,求证:.4.如图,△ABC是等边三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,M是AB延长线上一点,N是CA延长线上一点,且∠MDN=60°.试探BM,MN,CN之间的数量关系,并给出证明.5.阅读与理解:折纸,常常能为证明一个命题提供思路和方法.例如,在中,(如图),怎样证明呢?分析:把沿的角平分线翻折,因为,所以,点落在上的点处,即,据以上操作,易证明,所以,又因为,所以.感悟与应用:(1)如图(a),在中,,,平分,试判断和、之间的数量关系,并说明理由;(2)如图(b),在四边形中,平分,,,,①求证:;②求的长.6.在数学活动课上,数学老师出示了如下题目:如图①,在四边形中,是边的中点,是的平分线,.求证:.小聪同学发现以下两种方法:方法1:如图②,延长、交于点.方法2:如图③,在上取一点,使,连接、.(1)请你任选一种方法写出这道题的完整的证明过程;(2)如图④,在四边形中,是的平分线,是边的中点,,,求证:.7
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