6、基本不等式及其应用

2【教案样例】4．基本不等式及其应用【教学目标】1．掌握基本不等式.2．会用基本不等式解决简单的实际问题.3．会用基本不等式证明简单的不等式，掌握综合法与分析法证明不等式的基本思路.4．在用基本不等式解决最值问题的过程中，加深理解函数与不等式的内在联系，体会等价转换思想方法在解决数学问题中的作用.【教学重点】应用基本不等式解决最值问题.【教学难点】不等式的证明和基本不等式的应用.【教学过程】22．基本不等式的应用：若a、bR，设Sab，Pab．则有2224.【题目】【题目】2(ab)；1b222a,由ab1，得22ab1b222a,由ab1，得22ab2b2bba12b1221a21b2【解答】12b)2，这可由基本不等式a2b22ab得到.1-(a2b)2，所以222（2）分析：同（1由a2b22ab，得a21-(a2b)2，把它变形为证明：由a2b2b)2，再变形为22222,将以a1b2212aba22b22a2要证明1a21b22，只需证明a121a21b21a21b2逆，所以原不等式成立.【题目】【题目】【解答】解1）x1yxy3xxy22（当且仅当x222─2时等号成立，所以xy12(x8)【题目】11，则下列代数式中值最大的是()12【解答】1a22b-．所以选A.【属性】高三，不等式，基本不等式的应用【题目】某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格（每件x元）在50x80时，每天售出的件数为P52【解答】2552t【属性】高三，不等式，基本不等式的应用【题目】【题目】设t设t2解：令mcost，n1cost，则m,n又a0，所以----1amna课堂练习【题目】若a0，b0，ab2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是 b2313；⑤-a1b【解答】答案：①③⑤【题目】已知x0，y0，且--1，求xy的最小值.【解答】1x9yyxy2299【题目】b2ab的最小值是()已知a0，bb2ab的最小值是()a【解答】【属性】高三，不等式，基本不等式的应用【题目】某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存贮费用为4x万元，要使一年的总运费与总存贮费用之和最小，则x.【解答】【属性】高三，不等式，基本不等式的应用【题目】某工厂要建造一个长方形的无盖储水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造【解答】解：将水池的底面设计成边长为40m的正方形时总造价最低，为297600元.1．基本不等式具有将“和式”与“积式”相互转化的“放缩”功能，常常用于比较数（式）式的切入点.2．用基本不等式求函数解析式的最大值、最小值时的注意事项：（3）等号能否成立．如果能成立，可直接应用基本不等式；如果不能成立，需结合函数的单调性加以解决.3．在应用基本不等式解决问题时，常用到以下的“变形”：2222;②ab2;③ab22;24ab.【题目】“ab0”是“aba2b2”的()2C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【解答】【题目】【解答】1【题目】2b2ba【解答】1a2bab2(ab)3ba2ab22b2ab2aa22a2的最小值是322.2b【题目】4（1）求yx-（x0）的最大值；4x（2）求yx（x-44sin2x【解答】5答案1）42）-3）552【题目】【解答】【题目】对任意x【解答】解：设y0xx23x1xx23x111-，所以实数a的取值范围是5x13x15【题目】若矩形面积为S，则其周长的最小值为.【解答】【属性】高三，不等式，基本不等式的应用【题目】某商品分两次降价，有三种方案．甲方案第一次降价m%，第二次降价n%；乙方案第一次降价n%，第二次降价m%；丙方案第一次和第二次都降价mn%．其中20nm100，问经过两次降价后，哪一种方案降价幅度大？说明理由.m乙方案降价后的价格为P1n1mmn44所以甲乙两种方案降价幅度相同且比丙降价幅度大.n4mn42424【题目资源】【属性】高三，不等式，基本不等式的应用与不【题目】21a-a厂ba2baaabb22ab3）a227）2(a2b2)bb2ab4）ba2.ab【解答】x【题目】设xy0，则下列各式中正确的是()2222yy【解答】【题目】下列函数中，最小值为4的是()4【解答】【题目】1【解答】【题目】【题目】【解答】【题目】【题目】1设函数f(x)2x-1（x0则f(x)()A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数【解答】【题目】【解答】【题目】已知直角三角形的面积为4，求该三角形周长的最小值.【解答】解：设两条直角边分别为a、b，则2ab2ab442.1-ab2b【题目】若a0，b0且ab4，则下列不等式恒成立的是()1121a1b12118【解答】【题目】若xR，则下列式子中最小值为0的是()B.2x24x2142x210x244D．x4x4【解答】【题目】【题目】实数a的取值范围.【解答】答案：设三角形最大边a2所对的角为，则由已知，223,由题意，12cos223-【题目】ca【解答】【题目】【解答】22222222xy2xy,则t222t【题目】若等式x21cos成立，则.【解答】【属性】高三，不等式，不等式的实际应用【题目】桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式．某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块占地1800m2的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养【解答】y32x339600xx,即x40x,即x40时取等号.【题目】【解答】21,即xy242t21,即xy242tabab【题目】已知M是△ABC内的一点，且ABAC23，BAC300，若△MBC，【解答】x-x所以1y2(xy)14102--118，故选B.【题目】25x25x【解答】t解：设tt解：设t2t2132t【属性】高三，不等式，不等式的实际应用【题目】如图，公园有一块边长为2的等边三角形ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分AxEyD【解答】x2AE24x234x233,所以xAE,所以xAE2，所以yx2222224要DE最长，设f(x)x2，则f(x)在[1,2]上递减，在[2,2]上递增，所以x2最长.【题目】b1b1a【解答】1c2a2b1,将以a,由abc2a2b1,将以a,由ab1，得a1b111b1c111c1a11式相加，得2aab1c1a1b1【题目】222(ab)；212abab2【解答】12b)2，这可由基本不等式a2b22ab得到.12b)2，所以2221（2）分析：同（1由a2b22ab，得a22证明：由a2ab，得2222，b)2，把它变形为21b2代上式中的a，b，得b22a2b22a21a21b211b222a.要证明1a21b212明1a21b21a21b2逆，所以原不等式成立.b1221ab1b2a12b122【题目】5-，求函数y4x2541，求--1【解答】1解1）x1yxy3xxy22（当且仅当x222─21时等号成立，所以x1y12(x8)【题目】12【解答】1a22b-．所以选A.2【属性】高三，不等式，基本不等式的应用【题目】某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格（每件x元）在50x80时，每天售5出的件数为P．要使每天获得的利润最多，销售价格每件应定为多少元？2【解答】2552t【属性】高三，不等式，基本不等式的应用【题目】设t设t2解：令mcost，n1cost，则m,n1man1ma-(mann)1amna【题目】若a0，b0，ab2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是 b33；⑤-a1b【解答】答案：①③⑤【题目】x9y【解答】99yyxyxy【题目】b2ab的最小值是()已知a0，bb2ab的最小值是()a【解答】【属性】高三，不等式，基本不等式的应用【题目】某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存贮费用为4x万元，要使一年的总运费与总存贮费用之和最小，则x.【解答】【属性】高三，不等式，基本不等式的应用【题目】某工厂要建造一个长方形的无盖储水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造【解答】解：将水池的底面设计成边长为40m的正方形时总造价最低，为297600元.【题目】“ab0”是“aba2b2”的()2C．充分必要条