人教A版高中数学(选择性必修二)同步培优讲义专题4.7 等比数列的概念（重难点题型精讲）（教师版）

专题4.7等比数列的概念（重难点题型精讲）1．等比数列的概念2．等比中项如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.

若G是a与b的等比中项，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0=ab，即G=SKIPIF1<0.3．等比数列的通项公式若等比数列{SKIPIF1<0}的首项为SKIPIF1<0，公比为q，则这个等比数列的通项公式是SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0(SKIPIF1<0,q≠0).4．等比数列的通项公式与指数函数的关系等比数列{SKIPIF1<0}的通项公式SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0可以改写为SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，当q>0且q≠1时，等比数列{SKIPIF1<0}的图象是指数型函数y=SKIPIF1<0的图象上一些孤立的点.5．等比数列的单调性已知等比数列{SKIPIF1<0}的首项为SKIPIF1<0，公比为q，则

(1)当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，等比数列{SKIPIF1<0}为递增数列；

(2)当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，等比数列{SKIPIF1<0}为递减数列；

(3)当q=1时，等比数列{SKIPIF1<0}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)；

(4)当q<0时，等比数列{SKIPIF1<0}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号).6．等比数列的性质设{SKIPIF1<0}为等比数列，公比为q，则

(1)若m+n=p+q，m,n,p,qSKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.

(2)若m,n,p(m,n,pSKIPIF1<0)成等差数列，则SKIPIF1<0成等比数列.

(3)数列{SKIPIF1<0SKIPIF1<0}(SKIPIF1<0为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列；

数列{SKIPIF1<0}是公比为SKIPIF1<0的等比数列；

数列{SKIPIF1<0}是公比为SKIPIF1<0的等比数列；

若数列{SKIPIF1<0}是公比为q'的等比数列，则数列{SKIPIF1<0}是公比为q·q'的等比数列.

(4)在数列{SKIPIF1<0}中，每隔k(kSKIPIF1<0)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为SKIPIF1<0.

(5)在数列{SKIPIF1<0}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为SKIPIF1<0(或SKIPIF1<0)的等比数列.

(6)若数列{SKIPIF1<0}是各项都为正数的等比数列，则数列{SKIPIF1<0}(c>0且c≠1)是公差为SKIPIF1<0的等差数列.【题型1等比数列的基本量的求解】【方法点拨】根据所给条件，求解等比数列的基本量，即可得解.【例1】（2022·江西·高三阶段练习（文））在等比数列an中，a2+a4=3，A．4 B．±4 C．2 D．±2【解题思路】根据等比数列定义两式相除即可得出公比q.【解答过程】a2+a4=qa1+故选：A．【变式1-1】（2022·陕西·高二阶段练习）已知等比数列an中，a2=116，aA．±4 B．±22 C．2【解题思路】用基本量a1【解答过程】由题意，设等比数列an的首项为a1，公比为由a2=1可得a1q=116a故选：B.【变式1-2】（2022·甘肃·高三阶段练习（理））在等比数列an中，a2a4=64，aA．2 B．±2 C．2或43 D．【解题思路】根据等比数列的定义，结合等比中项，建立方程组，可得答案.【解答过程】设an的公比为q，由a2a4=64a3+a5=40故选：A.【变式1-3】（2022·云南昆明·高二期末）在等比数列an中，a1+a3=2，A．2 B．3 C．13 D．【解题思路】利用a3+a5=a1【解答过程】在等比数列an中，由6=q2所以，a1所以a1故选：D.【题型2等比中项】【方法点拨】根据题目条件，结合等比中项的定义，即可得解.【例2】（2022·黑龙江·高二期中）在等比数列an中，a1=18，q=2，则aA．±4 B．4 C．−2 D．−4【解题思路】先通过等比数列的通项公式计算a4【解答过程】由已知a所以a4与a8的等比中项是故选：A.【变式2-1】（2022·宁夏·高一期末）若等比数列的首项为4，公比为2，则数列中第2项与第4项的等比中项为（

）A．32 B．−16 C．±32 D．±16【解题思路】根据等比数列的首项和公比可得数列中第2项与第4项，再根据等比中项的定义求解即可【解答过程】由题，该等比数列为4,8,16,32...，设第2项与第4项的等比中项为x则x2=8×32=256，故故选：D.【变式2-2】（2022·广东·高二期中）若数列2,a,8是等比数列，则实数a的值为（

）A．4 B．− 4 C．【解题思路】由等比中项的性质列方程求得.【解答过程】由已知得a2=2×8=16，∴故选:C.【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）数列an为等比数列，a1=1，a5=4，命题p:a3=2，命题q:a3是A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要【解题思路】根据等比中项的定义结合等比数列的定义判断可得出结论.【解答过程】因为数列an为等比数列，且a1=1，a5=4则a3是a1、a5若a3是a1、a5的等比中项，设an的公比为因为a32=a1因此，p是q的充要条件.故选：A.【题型3等比数列的通项公式】【方法点拨】结合所给数列的递推关系，分析数列之间的规律关系，转化求解即可.【例3】（2022·湖南·高二期中）正项等比数列an满足a1=2，a3=8A．2n−1 B．2n C．2【解题思路】利用等比数列的通项公式先求得公比q，从而求得an【解答过程】因为an是正项等比数列，所以q>0又因为a1=2，a3=8，所以所以an故选：B.【变式3-1】（2022·陕西·高二阶段练习（文））在各项为正的递增等比数列an​中，a1a2a6A．2n+1​ B．2C．3×2n−1​ D．【解题思路】首先根据等比数列的通项公式求a1q2【解答过程】数列an​为各项为正的递增数列，设公比为q​，且q>1∵a∴a∴a∵a∴4即4q2解得:q=2​∴a∴a故选：B.【变式3-2】（2022·全国·高二课时练习）已知在等比数列an中，a3=4，前三项和S3=12A．an=C．an=4 D．a【解题思路】由a3=4和【解答过程】设等比数列an的公比为qa1q2=4a所以an=4或故选：D.【变式3-3】（2022·山西太原·高三期末（理））等比数列{an}中，a3=8,A．an=C．an=2n或1【解题思路】由已知，结合等比数列的通项公式可得2q2−5q+2=0【解答过程】令公比为q，由题设有a2所以2q2−5q+2=(2q−1)(q−2)=0，解得q=所以an=a3q故选：C.【题型4等比数列的单调性】【方法点拨】判断单调性的方法：①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性.②利用定义判断：作差比较法，即作差比较SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小；作商比较法，即作商比较SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小，从而判断出数列{SKIPIF1<0}的单调性.【例4】（2022·陕西·高二期中（理））数列an是等比数列，首项为a1，公比为q，则a1q−1<0A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】由a1(q−1)<0，解得a1【解答过程】由已知a1(q−1)<0，解得a1>0q<1(q≠0)此时数列{a所以a1q−1<0若数列{an}为递减数列，可得a1>0所以a1q−1<0所以“a1q−1<0故选：B.【变式4-1】（2022·辽宁·高二期中）设等比数列an的首项为a1，公比为q，则anA．a1>0，q>1 B．aC．a1lg【解题思路】分析可知q>0，分a1<0、a1【解答过程】因为an=a1qn−1，若①若a1<0，则对任意的n∈N∗，an<0，由②若a1>0，则对任意的n∈N∗，an>0，由所以，an为递增数列的充要条件是a1>0，q>1或a1当a1>0，q>1时，lgq>0当a1<0，0<q<1时，lgq<0因此，数列an为递增数列的充要条件是a故选：C.【变式4-2】（2022·河南·高二阶段练习（理））已知等比数列{an}的公比为q．若{anA．q<−1 B．−1<q<0 C．0<q<1 D．q>1【解题思路】根据题设等比数列的性质，结合等比数列通项公式确定公比q的范围即可.【解答过程】由题意，an=a∴要使{an}当0<q<1时，{a当q>1时，{a故选：C.【变式4-3】（2022·安徽宿州·高二期中）已知等比数列an，下列选项能判断an为递增数列的是(A．a1>0，0<q<1 B．aC．a1<0，q=1 D．a【解题思路】根据指数函数单调性和单调性的性质逐项分析即可．【解答过程】对于A，a1>0，0<q<1，则对于B，a1>0，q<0，则an对于C，a1<0，q=1，则对于D，a1<0，0<q<1，∵a1q<0，y=q故选：D﹒【题型5等比数列的判定与证明】【方法点拨】只有定义法、递推法(等比中项法)可用于证明等比数列，通项公式法与前n项和公式法只能用于小题中等比数列的判定；在用定义法与递推法(等比中项法)证明等比数列时要注意SKIPIF1<0≠0.【例5】（2022·湖南省高二期中）在数列an中，a1=2(1)求证：an(2)求数列an【解题思路】（1）结合等比数列的定义证得结论成立.（2）根据（1）的结论以及等比数列的通项公式求得正确答案.【解答过程】（1）依题意，数列an中，a1=2所以an所以数列an−1是首项为a1（2）由（1）得：数列an−1是首项为a1所以an【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）已知数列an满足a1=1,an+1【解题思路】根据题意即可证明an+1+1=3an+1【解答过程】因为an+1=3a又a1所以数列1+a则an所以an【变式5-2】（2022·福建省高三阶段练习）已知数列an满足an+1=12(1)求证：数列bn(2)若cn=−nb【解题思路】（1）根据等比数列的定义证明；（2）由（1）求得bn后可得cn，利用作商的方法得出c1【解答过程】（1）因为bn+1bn所以bn是首项为1，公比为1（2）由（1）得bn=12当n=1时，cn+1cn当n≥2时，2n>n+1>0，cn+1cn<1，又所以c1=c【变式5-3】（2022·全国·高三专题练习）在数列{an}中，已知各项都为正数的数列{(1)证明数列{a(2)若a1=15，【解题思路】（1）根据等比数列的定义分析即可.（2）由（1）可得{an+an+1【解答过程】（1）各项都为正数的数列{an}满足5an+2所以数列{an+（2）因为a1=15，由（1）知数列{an+an+1所以an于是an+1又因为a1所以an−(【题型6等比数列性质的应用】【方法点拨】对于等比数列的运算问题，可观察已知项和待求项的序号之间的关系，利用等比数列的性质进行求解，这样可以减少运算量，提高运算