7-4直线平面垂直的判定及性质　学案高三数学一轮复习

高三年级上学期数学学练案（第32期）编写人：朱老师审查人：王老师使用日期：2023.1274直线、平面垂直的判定及性质自主复习【查】【必备知识】(1)定义：如果直线l与平面α内的直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理性质定理2.直线和平面所成的角(1)定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的．平面的一条斜线和所成的，叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)直线与平面所成的角α的范围是.(1)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．(2)平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直．(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理性质定理【考试要求】1、能以立体几何中的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理。2、能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形中垂直关系的简单命题。二、师生研学【研】[考点分类突破]考点一、线线垂直与线面垂直【例11】如图，在三棱维中，，平面平面.(1)求证：；(2)求证：平面.归纳总结：证明线面垂直的四种方法(1)线面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α(2)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β(3)性质：①a∥b，b⊥α⇒a⊥α，②α∥β，a⊥β⇒a⊥α(4)α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l⇒l⊥γ．(客观题可用)【练习11】如图所示，在直四棱柱中，，，且，，，M是的中点．(1)证明；(2)求点B到平面的距离．【练习12】如图，已知垂直于圆O所在的平面，是圆O的直径，C是圆O上异于A，B的任意一点，过点A作，垂足为E．(1)求证：平面；(2)求证：平面．考点二面面垂直【例21】如图，直三棱柱中，E是侧棱的中点，，，．求证：平面平面；【例22】如图，四棱锥中，平面，PB与底面所成的角为45°，底面直角梯形，，．(1)求证：平面平面；(2)若E为PD的中点，求三棱锥的体积．归纳总结：1．证明平面和平面垂直的方法：（1）面面垂直的定义（2）绵绵垂直的判定定理【练习21】如图，四棱锥中，平面，，，，为的中点．证明：平面平面；考点三平行与垂直的综合问题【例31】如图，正方形ABED的边长为1，AC＝BC，平面ABED⊥平面ABC，直线CE与平面ABC所成角的正切值为．(1)若G，F分别是EC，BD的中点，求证：平面ABC；(2)求证：平面BCD⊥平面ACD．、归纳总结：已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直。【练习31】如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，分别为，的中点，侧面底面，且．(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)求三棱锥的体积．考点四空间角及其应用【例41】在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为()A．8B．6eq\r(2)C．8eq\r(2)D．8eq\r(3)【例42】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，若AB＝AD＝2eq\r(3)，CC1＝eq\r(2)，则二面角C1BDC的大小为________．求线面角、二面角的常用方法(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线、找垂足，把线面角转化到一个三角形中求解．(2)二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有定义法和垂面法．注意利用等腰三角形和等边三角形的性质．【练习41】(2022·甘肃张掖三模)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的体积为16eq\r(2)，点P在平面A1B1C1D1上，且A1，C到P的距离分别为2，2eq\r(3)，则直线CP与平面BDD1B1所成角的正弦值为()A．eq\f(\r(2),2)B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(1,3)【练习42】在四棱锥V­ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为eq\r(5)的等腰三角形，则二面角V­AB­C的大小为________．三、提升训练【练】1、【2022年全国甲卷】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知A．AB=2AD B．AB与平面AB1C．AC=CB1 D．B1D2．【2022年全国乙卷】在正方体ABCD-A1B1C1DA．平面B1EF⊥平面BDD1 C．平面B1EF//平面A1AC 3．【2018年新课标1卷文科】在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（）A． B． C． D．4．【2019年新课标1卷文科】已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为___________5．【2022年全国乙卷】如图，四面体ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E为AC的中点．(1)证明：平面BED⊥平面ACD；(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥F-ABC的体积．【作业布置】见作业纸四、师生总结【结】1、线线垂直、线面垂直、面面垂直分别有哪些判定方法？2、如何求线面角、二面角的大小？3、线面垂直、面面垂直的性质定理有什么作用？74直线、平面垂直的判定及性质作业题一、选择题1．在正方体的六个面中，与垂直的平面有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，，下列结论成立的是（

）A．若，则B．若，则C．若∥，则∥， D．若∥，则∥3．如图，平面，则图中直角三角形有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．如图，已知几何体是正方体，则下列结论错误的是（

）A．在直线上存在点E，使∥平面B．平面C．异面直线与所成的角为60°D．从正方体的八个顶点中任取四个组成的三棱锥的外接球的体积相等5．【多选题】如图，正方体中，是线段上的动点，则（

）A．平面B．C．与所成角的余弦值为D．三棱锥的体积为定值二、填空题6．已知四边形是菱形，平面，则与平面的位置关系是_____．7．如图，在棱长为1的正方体中，为棱上的动点且不与重合，为线段的中点.给出下列四个结论：①三棱锥体积的最大值为；②③三角形的面积不变；④四棱锥是正四棱锥.其中，所有正确结论的序号为___________.直线、平面垂直的判定及性质答题卷题号1234567答案三、解答题8．