抽象函数性质知识总结与题型归纳（解析）

抽象函数性质知识总结与题型归纳1概念:我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.2常见抽象函数模型题型一：“巧妙赋值”求函数值问题技巧再现：“赋值思维”抽象函数求解或者证明奇偶性和单调性基础。有如下规律技巧：（1）第一层次赋值：常常令字母取0，1,1等（2）第二层次赋值：若题中有条件，则再令字母取。.（3）第三层次赋值：拆分赋值。根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积（较多）或者差与商（较少）。例1：已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的函数，且对任意x,y∈(0,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，【解析】∵对任意x，y∈(0,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，∴f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2，f(8)=f(2×4)=f(2)+f(4)=3．例2：已知定义域为，对任意都有，当时，，．求，，的值;解：（1）

在

中令

，得

，因为

，所以

，令

得，

，解得

，令

得，

，即

，解得

；例3：对任意实数x,y，均满足fx+y2=f则f(2001)=_______.【解析】令x=y=0，得f(0)=0，令x=n,y=1，得fn+1令n=1，得f1∴f1=12，∴fn+1变式1.设函数y=f(x)是定义在R+上的函数，并且满足下面三个条件①对任意正数x,y，都有f(xy)=f(x)+f(y)；②当x>1时，f(x)<0；③f3(1)求f(1),f(1解析：令x=y=1，∴f1=f1令x=y=3，∴f9且f(9)+f(1变式2.定义在上的函数，满足对任意，有，且．求，的值；解析：令，得，所以，令，，得，所以．变式3.已知函数f（x）定义域为R，f（1）=2，f（x）≠0，对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）•f（y），当x＞0时，f（x）＞1；求f(4),f(16解析：∵f（1）=2，∴f（2）=f（1+1）=f2（1）=4；∴f（4）=f（2+2）=f2（2）=16题型二：抽象函数的单调性与奇偶性问题知识再现1：抽象函数的单调性常用单调性定义证明（1）任取x1,x（2）作差f(此步有时也会用作商法：判断fx1f（3）变形；（4）定号(即判断差fx（5）下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)．知识再现2：证明奇偶性，实质就是赋值。分析出赋值规律。1.可赋值，得到一些特殊点函数值，如f（0），f（1）等，2.尝试适当的换元字母，构造出x和x，如f（x+y），可令y=x，f（xy），可令y=1等等。3.通过各类抽象函数式子，来积累一定的赋值技巧。例1：已知函数定义域为，若对任意的，都有，且时，.（1）判断的奇偶性；（2）讨论的区间上的单调性；（3）设，若，对所有，恒成立，求实数的取值范围.解析：（1）因为有，令，得，所以，令可得：，所以，所以为奇函数.（2）由题意设，因为是定义在上的奇函数，则因为时，有，所以，即.所以是在上为单调递减函数；（3）因为在上为单调递减函数，所以在上的最大值为，所以要使，对所有恒成立，只要，即，由得，所以或.变式1：设函数对任意的实数，，都有，且时，，.（1）求证：是奇函数；（2）试判断函数单调性；（3）试问当时，是否有最大值或最小值？如果有，求出最值；如果没有，请说出理由.解析：（1）证明：依题意令，得，即，令得，∴，∴是奇函数.（2）单调递增函数，理由如下：任取，设，则，由已知可得，∵，∴，∴在是单调递增函数.（3）有最大值4，最小值.由（2）知在区间上是增函数.又，，当时，，.例2：已知定义域为的函数满足对任，都有．（1）求证：是偶函数；（2）设时，①求证：在上是减函数；②求不等式的解集．解析：（1）取得，即，取得，即，取，得，即是偶函数．（2）①设，则，由时，得，则，即在上为减函数，②由是偶函数且在上是减函数，则不等式等价为，即得，得得，即或或，即不等式的解集为.变式2：已知函数对于任意实数x，恒有，且当时，，又．(1)判断的奇偶性并证明；(2)求在区间的最大值；(3)解关于x的不等式：.解析：(1)为奇函数，理由如下：函数的定义域为R，关于原点对称。令得：，解得：令得：所以对任意恒成立所以为奇函数(2)任取，，且则因为当时，所以，即由第一问知，为奇函数。所以，则，即所以在上单调递增，所以在区间的最大值为因为，为奇函数所以。令得：令，得：，即(3)因为。所以由（1）可知，为奇函数，由（2）知，。所以即。所以由（2）可知，在上单调递增。所以整理得：，即当时，，解得：，当时，，解集为当时，，解集为，当时，，解集为当时，，解集为综上：当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为例3：已知函数的定义域是，对于任意实数，，恒有，且当时，．求证：在上是单调减函数．解析：对于任意实数，，恒有，且当时，．令，，则，且由时，，；设，，，，，，．即当时，有．即恒成立，设，则，，，，即，在上单调递减．变式3：已知定义在上的函数对任意实数都满足，且．当时，．（1）求的值；（2）证明：在上是增函数；（3）解不等式．解析：（1）因为任意实数都满足，令，则，，（2）当时，则，，，，即时，恒成立，设任意的，且，则，，，即在上是增函数，（3），，由（2）知在R上为增函数，，得：，故不等式的解集为.例4：已知函数是定义在上的增函数，.（1）求；（2）求证：；（3）若，解不等式：.解析：(1)令，，则，解得,(2)令，，则，因为，所以，(3)因为函数的定义域为，所以，，因为，所以，解得，因为，所以，即，因为函数是定义在上的增函数，所以，即，即，，解得，的取值范围为.变式4：已知定义在区间（0，＋∞）上的函数f（x）满足f＝f（x1）－f（x2），且当x>1时f（x）>0，若f（3）＝1．（1）判断f（x）的单调性；（2）解关于的不等式；（3）若对所有恒成立,求实数．解析：（1）设时，所以函数为增函数（2）中令，不等式转化为，由函数为增函数可得，不等式解集为（3）函数在上是递增函数，因此最大值为，所以不等式恒成立转化为对所有恒成立，恒成立，设，所以需满足，解不等式得例5：设函数的定义域为R，并且满足，且当时，(1)求的值；(2)判断函数的单调性，并给出证明；(3)如果，求的取值范围；解析：（1）令，则，∴；（2）函数是定义在上的减函数，设，且，则，∴，∵当时，∴，即∴，∴函数是定义在上的减函数；（3）∵∴,又，∴，∴函数是奇函数，∵，∴，∴，又函数是定义在上的减函数，∴，即，∴的取值范围为.变式5：定义在上的函数，满足对任意，有，且．(1)求，的值；(2)判断的奇偶性，并证明你的结论；(3)当时，，解不等式．解析：(1)令，得，所以，令，，得，所以．(2)令得，，即，所以函数为奇函数．(3)设，且，则，所以，所以，故在上为增函数，，等价于，所以，解得：，故不等式的解集为．例6：已知函数是定义在上的非常值函数，对任意，满足.（1）求，的值；（2）求证：对任意恒成立；（3）若当时，，求证：函数在上是增函数.解析：（1）令可得，对任意的都有，所以又是非常值函数，故；令则对任意的都有，所以恒成立对任意成立，故．所以．（2）取则对任意的成立，又函数是定义在上的非常值函数，故，，即所以对任意恒成立．（3）取，则，又，所以时，，，又由（2）故，所以当时，，所以函数在上是增函数．变式6：已知定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y均有，且，当且.(1)判断的奇偶性；(2)判断在上的单调性，并证明；(3)若对任意，，，总有恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)奇函数(2)单调递增，证明见详解(3)或【分析】（1）根据题意，令，即可判断；（2）根据题意，先证，恒成立，再结合定义法，即可证明单调性；（3）根据题意，先根据单调性求出的最值，再将原不等式转化为，构造关于的函数即可求解.（1）根据题意，令，得，因为，所以，故结合定义域可知，为奇函数.（2）在上单调递增.证明：由题意，可知，假设，使得，则，而当时，由题意知，因此矛盾，故，恒成立.设，且，则，因此，因为，且当时，，所以，又因为，所以，即，又因为，所以在上单调递增.（3）根据题意，结合（1）（2）可知，在上单调递增，因此，，故，，因为，恒成立，所以恒成立，即恒成立，令，则，恒成立，故，解得或.例7：已知定义域为，对任意都有，当时，，．(1)试判断在上的单调性，并证明(2)解不等式：解析：（1）函数在上单调递减，证明如下：任取，且，可得，因为，且时，，所以，所以即，所以在上单调递减．（2）令，得，∴

∴∴，又在上的单调递减且∴，∴．

∴，即不等式解集为变式7：已知定义域为，对任意都有，当时，，．（1）求的值.（2）试判断在上的单调性，并证明？（3）解不等式：.解：（1）

在

中令

，得

，因为

，所以

，令

得，

，解得

，令

得，

，即

，解得

；（2）

在R上单调递减，证明过程如下：设

，则

，所以

，所以

时，

，又因为

时，有

，且

，所以

时，

，对于

，且

，则

，则

，因为

时，

，所以

，故

，故

在R上单调递减；（3）由题意得

，因为

，所以

，即

，解得

，在

中，令

得，

，故

，故

，由（2）可知，

在R上的单调递减，故

，解得

或

，所以原不等式的解集为

.变式8：若定义在R上的函数满足：，都有成立，且为上的增函数，(1)求的值，并证明为奇函数；(2)解不等式.(3)若，，恒成立，求实数的取值范围.解析：(1)由令，则解得：令，，则即，所以为奇函数(2)解：由得所以即所以等价于即由，且，令，得：所以等价于又为R上的增函数所以，即解得：故不等式得解集为：(3)解：由（2）知，，，等价于又为R上的增函数所以即，恒成立所以即，恒成立①当，即或时，不等式变为：，符合题意时，不等式变为：，即，不符合题意②当时解得：综上，实数m的取值范围为：例8：定义在上的函数，对任意，都有，且当时，．（1）求与的值；（2）证明为偶函数:（3）判断在上的单调性，并求解不等式．解析：（1）令，则令，则（2）令，则，∴为偶函数．（3）令，，设，则且∴∴∴在上单调递减，又为偶函数∴或∴或∴或变式9.定义在上的函数，对任意x，y∈I，都有；且当时，.（1）求的值；（2）证明为偶函数；（3）求解不等式.解：(1)令，则令，则(2)令，则，∴为偶函数.(3)令，，设，则且∴∴∴在上单调递减又∵为偶函数∴或∴或∴或变式10：已知函数，，若对于任意实数，，都有，求证：为偶函数．证明：令，，则①，令，，得②．由①②得，即．∴是偶函数．题型三：抽象函数的周期性问题例1：奇函数f(x)定义在R上，且对常数T>0，恒有f(x+T)=f(x)，则在区间[0,2T]上，方程f(x)=0根的个数最小值为.解析∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，故f(0)=0，又∵f(x+T)=f(x)，即周期为T，∴f(2T)=f(T)=f(0)=