人教A版高中数学(选择性必修二)同步培优讲义专题5.5 导数在研究函数中的应用（重难点题型精讲）（原卷版）

专题5.5导数在研究函数中的应用（重难点题型精讲）1．函数单调性和导数的关系(1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系

①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增；

②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.

③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数.

(2)函数值变化快慢与导数的关系

一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些.

常见的对应情况如下表所示.2．函数的极值极值的相关概念

(1)极小值点与极小值：

如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.(2)极大值点与极大值：

如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.

(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.3．函数的最大值与最小值(1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得.

(2)函数的极值与最值的区别

①极值是对某一点附近(即局部)而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的.

②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个.

③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点.4．导数在解决实际问题中的应用①利用导数解决实际问题时，常常涉及用料最省、成本(费用)最低、利润最大、效率最高等问题，求解时需要分析问题中各个变量之间的关系，抓主元，找主线，把“问题情境"翻译为数学语言，抽象成数学问题，再选择合适的数学方法求解，最后经过检验得到实际问题的解.

②解决优化问题的方法并不单一，运用导数求最值是解决这类问题的有效方法，有时与判别式、基本不等式及二次函数的性质等结合，多举并用，达到最佳效果.

③利用导数解决实际问题的一般步骤【题型1利用导数求单调区间】【方法点拨】利用导数求函数f(x)单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0，函数在解集与定义域的交集上为增函数；(4)解不等式f'(x)<0，函数在解集与定义域的的交集上为减函数.【例1】（2022·吉林·高三阶段练习（理））函数fx=2x−5lnA．0,3 B．3,+∞ C．52【变式1-1】（2022·广西·高二期末（文））函数y=12xA．−1,1 B．0,1 C．1,+∞ D．【变式1-2】（2022·宁夏·高二期中（文））函数f(x)=(x−3)ex的单调递减区间是（A．(−∞,2] B．[0,3] C．[1,4] D．[2,【变式1-3】（2022·云南·模拟预测（理））设a为实数，函数f(x)=x3+(a−1)x2−(a+2)x，且A．(0,2) B．(−3,3)【题型2由函数的单调性求参数】【方法点拨】由函数的单调性求参数的取值范围经常涉及的两种题型：(1)已知含参函数y=f(x)在给定区间I上单调递增(减)，求参数范围.方法一：将问题转化为不等式f'(x)≥0(f'(x)≤0)在区间I上的恒成立问题.方法二：求得递增(减)区间A，利用I与A的关系求解.(2)已知函数y=f(x)在含参区间上单调递增(减)，求参数范围.方法:利用(1)中的方法二.【例2】（2022·江苏·高二期末）设函数fx=12ax2A．−1，+C．0，+【变式2-1】（2022·陕西·高三阶段练习（文））已知函数fx=1−xlnx+ax在1,+A．0,+∞ B．−∞,0 C．【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）若函数fx=x2−ax+lnxA．3,+∞ B．−∞,3 C．【变式2-3】（2022·四川·高二期中（文））已知函数fx=x3+x2A．−∞,−13 B．−【题型3利用导数求函数的极值】【方法点拨】求函数的极值需严格按照步骤进行，重点考虑两个问题：一是函数的定义域，注意判断使导数值为0的点是否在定义域内.如果不在定义域内，需要舍去；二是检查导数值为0的点的左右两侧的导数值是否异号，若异号，则该点是极值点，否则不是极值点.【例3】（2022·贵州·高三阶段练习（文））函数fx=xA．−43 B．1 C．−【变式3-1】（2022·山东济南·模拟预测）若x=−4是函数fx=x2+ax−5A．-3 B．7e−5 C．【变式3-2】（2022·安徽省高三阶段练习）已知函数fx=xA．当x=1时，fx取得极小值1 B．当x=−1时，fC．当x=3时，fx取得极大值33 D．当x=−13时，【变式3-3】（2022·陕西·高三阶段练习（文））记函数fx=sinx+cosxexx≥0的极大值从大到小依次为x1、x2A．e3π B．e4π C．e【题型4利用导数求函数的最值】【方法点拨】设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求f(x)在(a,b)内的极值；(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【例4】（2021·宁夏·高二期中（文））函数y=xex在x∈2,4A．2e2 B．1e C．【变式4-1】（2022·河南·高三阶段练习（文））函数f(x)=13x3+4A．563 B．203 C．4【变式4-2】（2022·江西·高三阶段练习（理））已知函数fx=a−3x−ax3在−1,1上的最小值为A．−∞,−1 B．12,+∞ C．【变式4-3】（2022·广东·高二开学考试）若函数f(x)=lnx+1−ax−2,x>0x+1x+a,x<0A．(−∞,C．1e,+【题型5导数中的零点（方程根）问题】【方法点拨】利用导数研究含参函数的零点主要有两种方法：(1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决.(2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y=g(x)图象的交点问题.【例5】（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数fx=lnx−ax+2=0a∈RA．0,+∞ B．0,e C．e【变式5-1】（2022·四川·模拟预测（理））已知函数f(x)=1+ex(alnx−xa+x)（其中A．(−∞,−e2) B．【变式5-2】（2022·陕西·一模（理））若函数f(x)=kex−x2A．0,6e3 B．−2e【变式5-3】（2022·贵州·高三阶段练习）已知函数fx满足fx=f'x，且f0A．−∞,C．0,1e【题型6利用导数解（证明）不等式】【方法点拨】(1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可.(2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题．【例6】（2022·吉林·高三阶段练习（文））已知函数fx=x−a(1)若a=−1，求曲线y=fx在点1,f(2)当a∈−1e【变式6-1】（2022·河北·高三期中）已知a>0，函数fx(1)当a=1时，求fx(2)证明：fx【变式6-2】（2022·北京高三阶段练习）已知函数fx(1)当a=1时，求曲线y=fx在点1,f(2)当a≥1时，讨论函数fx(3)当a≥2时，证明：fx【变式6-3】（2022·四川自贡·一模（理））设函数fx=ln(1)若b=1，求函数fx(2)证明：当0<b≤1时，fx【题型7导数中的恒成立（存在性）问题】【方法点拨】解决不等式恒（能）成立问题有两种思路：(1)分离参数法解决恒（能）成立问题，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，即可解决问题．(2)分类讨论法解决恒（能）成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，据此进行求解即可.【例7】（2022·黑龙江·高三阶段练习）已知函数f(x)=x(1)若a=−1，证明：f(x)≥xe(2)若fx>0对任意的x∈0,+【变式7-1】（2022·四川高三期中）已知函数f(x)=1(1)若f(x)在R上是单调递减，求实数m的取值范围；(2)若对任意的x∈(0,+∞)，不等式f(x)>x(3【变式7-2】（2022·北京·高三阶段练习）已知函数f(x)=1(1)a=3时，y=f(x)在点1,f(1)处的切线方程；(2)求函数的单调区间；(3)若函数对任意x∈[1,+∞)都有f(x)≥0成立，求【变式7-3】（2022·广东·高三阶段练习）已知f(x)=e(1)若x∈0,2π，求函数f(x)(2)若对∀x1,x2【题型8导数在实际问题中的应用】【方法点拨】解决实际问题时，首先要根据实际情况建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式，然后利用导数研究，进而解决问题.【例8】用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1【变式8-1】（2022·山东泰安·高二期中）如图，一个面积为6400平方厘米的矩形纸板ABCD，在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图)．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB,AD的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b.（1）当a=80，求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定a,b,x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．【变式8-2】（2022·全国·高三专题练习）某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为12k元／根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为(512x所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造