图形的平移与旋转 回顾与思考

第三章

图形的平移与旋转正泰初中部李晓红回顾与思考本章知识结构图一、平移及其性质2、平移的性质：（1）平移不改变图形的形状和大小；（2）图形经过平移，连接各组对应点所得的线段互相平行且相等。（3）对应线段平行且相等，对应角相等。

1、平移的概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移。3、平移图形的实例：ABCDEFGHKLMN1、设（x，y）是原图形上的一点，经过平移后，这个点与其对应点的坐标之间有如下关系：4、图形的平移与坐标变化之间的关系2、设（x，y）是原图形上的一点，当它沿x轴方向平移a个单位长度（a＞0）、沿y轴方向平移b个单位长度（b＞0）后，这个点与其对应点的坐标之间有如下关系：二、旋转及其性质1．旋转的概念：（1）旋转前、后的图形全等（对应线段相等，对应角相等)；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）每一对对应点与旋转中心的连线所夹的角都是旋转角，旋转角相等；（4）图形上的所有点都绕旋转中心沿同一个方向旋转相同的角度。O︵F︵ABCDE把一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角。2．旋转的性质：3、旋转图形的实例：O︵F︵ABCDEABCDE△ADE是由△ABC经过旋转得到的，问：（1）对应关系（2）旋转中心（3）旋转角度OABCD△AOC绕O点旋转到△BOD，∠AOB=30º，则∠COD多少度？30ºABCDE等腰△ABC旋转到△ADE，∠B=80º，∠CAD=30º,求旋转角度。∠BAD或∠CAE都等于50ºAO点的旋转作法9将A点绕O点沿顺时针方向旋转60˚.作法：

1.以点O为圆心，OA长为半径画圆;2.连接OA,用量角器或三角板（限特殊角）作出∠AOB，与圆周交于B点；3.B点即为所求作.BAO线段的旋转作法10将线段AB绕O点沿顺时针方向旋转60˚.作法：将点A绕点O顺时针旋转60˚，得点C;2.将点B绕点O顺时针旋转60˚，得点D；3.连接CD,则线段CD即为所求作.CBD11

如图3—17，△ABC绕C点旋转后，顶点A

的对应点为点D。ABCD试确定顶点B的对应位置，以及旋转后的三角形。解：（1）连接CD；

（2）以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE=∠ACD；E

（3）在射线CE上截取CE=CB；

（4）连接DE。△DEC就是△ABC绕O点旋转后的图形。三、轴对称及其性质：

1．轴对称的概念：如果两个平面图形沿一条直线对折后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称。

2．轴对称的性质：（1）成轴对称的两个图形全等（对应线段相等，对应角相等）；（2）对应点到对称轴的距离相等；（3）对应点的连线被对称轴垂直平分。ABCDEF3.轴对称的图形实例CBAB1C1A1NM四、中心对称及其性质：

1．中心对称的概念：如果把一个图形绕某一点旋转180°后能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这个点对称或中心对称。这个点叫做它们的对称中心。

2．中心对称的性质：（1）成中心对称的两个图形全等；（2）中心对称的两个图形，对应点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分；（3）对应线段平行且相等。ABCC1A1B1O轴对称中心对称1有一条对称轴

——

直线有一个对称中心

——

点2图形沿轴对折（翻转

180°

）图形绕中心旋转

180°3翻转后和另一个图形重合旋转后和另一个图形重合ABCC1A1B1O

中心对称与轴对称的联系与区别五、中心对称图形：

1．中心对称图形的概念：如果把一个图形绕某一点旋转180°后能够与它自身重合，那么称这个图形是中心对称图形。这个点叫做它的对称中心。2．常见的中心对称图形有：正偶数边形，平行四边形，菱形，圆、线段、长方形（矩形）注意：等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、角是轴对称图形，但不是中心对称图形。中心对称与中心对称图形的联系与区别区别:

中心对称指两个全等图形的相互位置关系,中心对称图形指一个图形本身成中心对称.联系:

如果将中心对称图形的两个图形看成一个整体,则它们是中心对称图形.

如果将中心对称图形对称的部分看成两个图形,则它们成中心对称.变换名称描述变换的要素位置方向大小形状相关性质及作图方法轴对称(反射)平移旋转中心对称对称中心改变不变不变对称轴平移方向,距离旋转中心,方向,角度改变不变改变轴对称、平移、旋转的区别及联系:改变下列图形中，不能通过旋转方式得到的是()

(A)

(B)

(C)

(D)

一个图形绕着某一定点旋转一定的角度(小于周角)后能与自身重合,这样的图形叫做旋转对称图形。六、旋转对称图形DABCDEF

例1、如图,ΔDEF是由△ABC绕某一中心旋转一定的角度得到,请你找出它们的旋转中心..O旋转中心在对应点连线的垂直平分线上。七、找旋转中心.

例2、如图,ΔDEF和△ABC成中心对称,请你找出它们的对称中心.成中心对称的两图形的对称中心就是对应点连线的交点找对称中心.ABCC1A1B1O八、分析图案的形成过程：

如图:1.是由

为基本图案,2.绕

,旋转

次得到.3.旋转角分别是:

。4.这个图案至少绕中心点旋转

度，才能与原图案重合。中心二次1200

、24001200

2.右侧的图案是如何形成的？O甲乙AB3.怎样将乙图案变成甲图案？E

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=4，现将△ABC沿CB方向平移到△A′B′C′的位置，若平移的距离为3，求△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积。ACA′B′C′B平移的应用:练习1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，现将△ABC沿CB方向平移到△A′B′C′的位置，若平移的距离为1.5，C′P=2,求图中阴影部分的面积。ACA′B′C′BP拓展2：先将两个同样大小的直角梯形重叠在一起,再将其中一个直角梯形沿AD方向平移,平移的距离为AE的长,若图中MG=8,CM=5,GH=20,求图中红色部分的面积。ACMHBGDFEM分析:因为梯形EFGH是由梯形ABCD沿AE平移得到,所以这两个图形是形状大小完全相同的,红色部分的面积和图中哪个图形的面积相同呢?例2.P是正方形内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转至与△CBP′重合，若PB=3，求PP′的长。ABCDPP′解：由旋转的性质可知BP=BP′，∠PBPˊ=∠ABC=90°∴△PBP′是等腰直角三角形。∴PP′=一题一练△ABC是等边三角形，把△ABC绕点C顺时针任意旋转一个角度得到△A′B′C，则AA′与BB′之间有什么关系，你能说明理由吗？ABCA′B′画一画（1）画一画（2）12、已知四边形ABCD和点O,画四边形A`B`C`D`使它与已知四边形关于点O对称。ABCDOA'B'C'D'画法：1、连结AO并延长到A`，使OA`=OA，得到点A的对称点A'2、同样画B、C、D的对称点B`、C`、D`3、顺次连结A`、B`、C`、D`各点。四边形A`B`C`D`就是所求的四边形。你能将右图通过平移或旋转，得到左图吗？想一想说一说练习1怎样将甲图案变成乙图案？甲甲乙乙ABBA可以先将甲图案绕图上的A点旋转，使得图案被“扶直”，然后，再沿AB方向将所得图案平移到B点位置，即可得到乙图案

还可以用什么方法把甲图案变成乙图案？说一说练习2

下图由四部分组成,每部分都包括两个小”十”字,红色部分能经过适当的旋转得到其他三部分吗?能经过平移吗?能经过轴对称吗?还有其他方式吗?平移:平移的方向?平移的距离?仅靠平移无法得到议一议旋转:旋转中心?旋转角?旋转方向?O

下图由四部分组成,每部分都包括两个小”十”字,红色部分能经过适当的旋转得到其他三部分吗?能经过平移吗?能经过轴对称吗?还有其他方式吗?议一议

整个图形可以看作是左边的两个小“十字”绕着图案的中心旋转3次，分别旋转90°、180°、270°前后图形组成的。平移、旋转相结合:先平移后旋转

下图由四部分组成,每部分都包括两个小”十”字,红色部分能经过适当的旋转得到其他三部分吗?能经过平移吗?能经过轴对称吗?还有其他方式吗?议一议O

整个图形可以看作是左边的两个小“十字”先通过一次平移成图形右侧的部分，然后左、右部分一起绕图形的中心旋转90°前后图形组成的。轴对称:

下图由四部分组成,每部分都包括两个小”十”字,红色部分能经过适当的旋转得到其他三部分吗?能经过平移吗?能经过轴对称吗?还有其他方式吗?议一议

直线EF与GH相交于图形的中心O，且互相垂直，先把左边的两个“十字”作关于EF的轴对称图形，然后作这两部分关于GH的轴对称图形，这样就可以得到整个图形。EFGHO对称轴?

如图，怎样将右边的图案变成左边的图案？说一说练习3答：以右边图案的中心为旋转中心，将图案按逆时针方向旋转90°，然后平移，即可得到左边的图案。练一练——平移、旋转、中心对称的运用练一练——平移、旋转、中心对称的运用练一练——平移、旋转、中心对称的运用练一练——平移、旋转、中心对称的运用练一练——平移、旋转、中心对称的运用旋转的特征ABCDE（一）图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度MN如图，△ABC绕A点旋转60º到达△ADE的位置。B点绕A点旋转到D点，旋转了60º，∠BAD=60ºC点绕A点旋转到E点，旋转了60º，∠CAE=60ºM点绕A点旋转到N点，旋转了60º，∠MAN=60º四边形ABCD是正方形，△DCE顺时针旋转后与△DAF重合，那么（2）连结EF后，△DEF是什么三角形？（1）旋转角是几度？（3）若DC＝3，CE＝1，则EF＝？

△ABC是等边三角形，△ABP顺时针旋转后能与△CBP’重合，那么（1）旋转角是几度？（2）若BP＝2，则PP’＝？在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连结BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转900得到△DCF，连结EF，若∠BEC=600，则∠EFD的度数为（）A、100B、150C、200D、250B如图，点E为正方形ABCD的边CD上一点，AB=5，DE=6。△DAE旋转后能与△DCF重合，（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）如果连接EF，那么△DEF是怎样的三角形？（4）四边形DEBF的周长和面积？例7．如图，如果四边形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有几个?可以作为旋转中心的点有3个，即D、O、C.1.以下四家银行行标中，轴对称图形的有

（

）

A.B.C.D.旋转对称图形的有()当一个图形在平面内绕着某一定点旋转一定的角度(小于周角)后能与自身重合,这种图形就称为旋转对称图形.旋转对称图形AA,C,D例2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，△ABC以点C为中心旋转到△A′B′C的位置，使B在斜边A′B′上，A′C与AB相交于D，试确定∠BDC的度数．解：∵△A′B′C是由△ABC旋转所得，∴∠B′＝∠ABC＝60°，B′C＝BC，∴△B′BC是等边三角形．∴∠BCB′＝60°.∵∠BCD＝90°-60°＝30°，∴∠BDC＝180°-(60°＋30°)＝180°-90°＝90°．2、想一想(1)三角形是中心对称图形吗？(2)正五边形是中心对称图形吗？(3)正六边形是中心对称图形吗？(4)除了平行四边形，你还能找到哪些多边形是中心对称图形？结论：中心对称的多边形很多，如边数为偶数的正多边形都是中心对称图形。①②③④3、选出下列图形中的中心对称图形()A①②B①③C②③D③④B4.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）(A)(B)(C)(D)D5、下列图形中，不是轴对称图形，但是中心对称图形的是（）（A）等边三角形（B）菱形（C）长方形（D）平行四边形D7、图形旋转一定角度后能与自身重合,则旋转的角度可能是()A、30°B、60°C、90°D、120°C8、△ABC与△A＇B＇C＇关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是()A、点A与点A’是对称点B、

BO=B＇OC、AB∥A’B’

D、∠ACB=∠C＇A＇B＇B'C'A'ABCOD点P（x,y）关于x轴对称的点的坐标为______.点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标为______.(x,－y)(－x,y)点P（x,y）关于原点对称的点的坐标为______.十二(－x,-y)例9．边长为4的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O,AB∥x轴,BC∥y轴,反比例函数与的图象均与正方形ABCD的边相交,则图中的阴影部分的面积是()

A、2B、4C、8D、6答案：C旋转的应用：例10．已知E、F分别在正方形ABCD边AB和BC上，AB=1，∠EDF=45°.求△BEF的周长.解：∵ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，AD=DC=AB=BC=1.将△ADE绕着点D逆时针旋转90°到△DCM的位置.由旋转的特征可知AE=CM，DE=DM，∠ADE=∠CDM．∵∠EDF=45°，∴∠FDM=45°．∴△DEF与△DMF关于DF成轴对称，∴EF=FM．△BEF的周长=BE+EF+BF=BE+（FC+CM）+BF=BE+FC+AE+BF=（BE+AE）+（FC+BF）=BA+BC=2，所以△BEF的周长为2．

⑴如图,画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转900后的对应三角形;例题3D'B'DABCC'ABC⑵如果点D是AC的中点,那么经过上述旋转后,点D旋转到什么位置?请在图中将点D的对应点D′表示出来.（3）.如果AD=1cm,那么点D旋转过的路径是多少?5.已知△ABC绕着点A逆时针旋转60°，得到△ADE，求直线BC与直线DE所成的锐角。13.在等腰直角△ABC中，∠C=900，BC=2cm，如果以AC的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转1800，点B落在点B′处，

求:BB′的长度.A/B/C/14.已知：如图，在△ABC中，∠BAC=1200，以BC为边向形外作等边三角形△BCD，把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转600后得到△ECD，若AB=3，AC=2，求∠BAD的度数与AD的长.

15:已知梯形ABCD中，AD∥BC，CD=BC，∠C=60°，若∠EAB=60°，∠DAE=28°．求∠EBC的度数、16:已知点P是等边三角形ABC外一点，AP=2，BP=3，求PC的最大值．8.如图，等边△ABC中，在AC边的延长线上取一点E，以CE为边作等边△CDE，它与△ABC位于直线AE的同侧，点M为线段AD的中点，点N为线段BE的中点，试说明CM＝CN＝MN。

9.在△ABC中，AB＝AC，

P是△ABC内一点，且∠APB＝∠APC，求证：PC＝PB3．在方格纸上建立如图23－13所示的平面直角坐标系，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O，求点A的对应点A′的坐标．图23－13解：如图23－14所示，以OA为始边，O为顶点，作∠AOD＝90°，图23－14在OD上截取OA′＝OA，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点A′作A′C′⊥x轴，垂足为C′，由点A的坐标可知AC＝2，OC＝3，又∠AOC＋∠A′OC′＝90°，∴∠AOC＝∠OA′C′，∴△AOC≌△OA′C′，∴A′C′＝OC＝3，OC′＝AC＝2.故点A的对应点A′的坐标为(2,3)．轴对称、平移、旋转是几何中的重要概念，应用轴对称、平移、旋转解题也是一种极为重要的数学思想方法，适当地应用轴对称、平移、旋转等方法，将那些分散、远离的条件从图形的某一部分转移到适当的新的位置上，集中、汇集已知条件和求证结论，发现、拓展解题思路，构造基础三角形、平行四边形，进行计算与证明。方法小结拓展提升训练：※巧用变换思想，灵活求解面积1.如图所示的图案是一个轴对称图形(不考虑颜色)，直线m是它的一条对称轴.已知图中圆的半径为r,求你能借助轴对称的方法求出图中阴影部分的面积吗？说说你的做法。m解：以直线m为对称轴，把m左边绿色部分反射到m的右边，那么它们的像恰好填补了右边的白色部分，所以图中的绿色部分面积等于半个圆的面积，也就是m2、如图所示，AB是长为4的线段，且CD⊥AB于O。你能借助旋转的方法求出图中阴影部分的面积吗？说说你的做法。OABCD试一试3.如图所示，AB是长为4的线段，且CD⊥AB于O。你能借助旋转的方法求出图中阴影部分的面积吗？说说你的做法。OABCD4.如图，在△ABC中，∠BAC=1200，以BC为边向外作等边三角形△BCD，把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转600后得到△ECD，若AB=3，AC=2，求∠BAD的度数与AD的长.

图1图2图35.如图3，两个相同的正方形纸片ABCD和EFGH，将纸片EF