版数字信号处理电子性质

数字信号与图像处理研究室北京交通大学电子信息工程学院数字信号处理

(DigitalSignalProcessing)离散傅里叶变换(DFT)

有限长序列的傅里叶分析

离散傅里叶变换的性质利用DFT计算线性卷积利用DFT分析信号的频谱DFT性质离散傅里叶变换的性质1.线性需将较短序列补零后，再按长序列的点数做DFTDFT性质符号(k)N：

表示对k进行模运算例：N=3，k=-3,-2,-1,0,1,2,3,4x[(k)N]x[0]

x[1]x[2]x[0]x[1]x[2]x[0]x[1]DFT性质离散傅里叶变换的性质

循环位移定义为2.循环位移(Circularshiftofasequence)序列的循环位移过程DFT性质离散傅里叶变换的性质DFT时域循环位移特性DFT频域循环位移特性DFT性质离散傅里叶变换的性质3.对称性(symmetry)

周期共轭对称(Periodicconjugatesymmetry)定义为

周期共轭反对称(Periodicconjugateantisymmetry)定义为

当序列x[k]为实序列时，周期偶对称序列满足

当序列x[k]为实序列时，周期奇对称序列满足实序列序列x[k]周期偶对称的例长度N=4的实序列x[k]长度N=5的实序列x[k]DFT性质离散傅里叶变换的性质3.对称性(symmetry)当x[k]是实序列时X[m]周期共轭对称DFT性质离散傅里叶变换的性质3.对称性(symmetry)当x[k]周期偶对称时(x[k]=x[(-k)N]RN[k])X[m]虚部为零，实部周期偶对称DFT性质离散傅里叶变换的性质3.对称性(symmetry)当x[k]周期偶对称时(x[k]=-x[(-k)N]RN[k])X[m]实部为零，虚部周期奇对称例：已知一9点实序列的DFT在偶数点的值为X[0]=3.1,X[2]=2.5+4.6j,X[4]=-1.7+5.2j,X[6]=9.3+6.3j,X[8]=5.5-8.0j。确定DFT在奇数点的值。

解：X[1]=X*[(-1)9]=X*[8]=5.5+8.0j;X[3]=X*[(-3)9]=X*[6]=9.3-6.3j；X[5]=X*[(-5)9]=X*[4]=-1.7-5.2j;X[7]=X*[(-7)9]=X*[2]=2.5-4.6j;

根据实序列DFT的对称特性X[m]=X*[(-m)N]可得DFT性质离散傅里叶变换的性质4.序列的循环卷积例:试计算如图所示序列N=4循环卷积4213h[(-n)N]h[(1-n)N]h[(2-n)N]h[(3-n)N]x[k]4

h[k]0123x[k]N

d[k-n]=x[(k-n)N]RN[k]结论DFT性质循环卷积的矩阵表示例:x[k]={1,2,3,4},h[k]={0,1,0,0}，则N=4的循环卷积为DFT性质卷积定理

时域卷积定理:

频域卷积定理:时域的卷积对应频域的乘积时域的乘积对应频域的卷积x[k]的X[m]等于其z变换X(z)在单位圆上等间隔取样有限序列DFT与z变换的关系][mX¾¾®¾IDFT][kx¾¾¾®¾变换Z)(zX(内插公式)由序列DFT表示序列z变换已知X[