2023年高考数学第47讲 抛物线及其于直线的位置关系

第47讲抛物线及其于直线的位置关系

一、知识聚焦

1直线与抛物线的位置关系

设抛物线方程为V=2px(〃>0),直线Ax+8)，+C=0,将直线方程与抛物线方程联

立，消去x得到关于y的方程my2++q=0.

(1)若加H0,当A>0时,直线与抛物线有两个公共点；当△=0时,直线与抛物线只有

一个公共点;当△<0时,直线与抛物线没有公共点.

(2)若加=0,直线与抛物线只有一个公共点,此时直线与抛物线的对称轴平行.

2直线被抛物线截得的弦长公式

求直线被抛物线截得的弦长公式与直线与椭圆或双曲线截得弦长的求法相同.

3抛物线的焦点弦问题

抛物线的焦点弦有许多重要性质，在解题中应用广泛.相关知识在本书第四十三讲“利

用圆雉曲线的定义解题--化归思想的运用”的【核心例题3】中有详细介绍,本讲不再重复.

二、精讲与训练

【核心例题1】

(1)设斜率为2的直线/与抛物线V=4x相交于两点，P为抛物线上一点，已知

\AB\=3后NAPB的面积为30,求点P的坐标.

(2)在抛物线y2=4x上求一点尸，使点P到直线/:4x-3y+3=0的距离最短,并求

此时距离的最小值.

(3)已知抛物线C:V=4x,过点M(2,0)的直线交抛物线。于A,8两点,若点P是

抛物线上A,B之间一点,当点P到直线AB的距离最大时,求VABP面积的最小值.

【解题策略】

本例3小问都是以抛物线V=4尤为载体研究直线与抛物线的位置关系，包含弦长、距

离、三角形面积、最值等问题.问题的求解常需引进一些变量，如果变量太多，则不利于问题

的解决，所以要学会控制变量的个数，是数学学习中一种基本素养.本例中的点P若设为

P(X1,y),则引入两个变量X,M,显然会对解题带末困难,若设为P,，yJ，则变量只有

一个外另外,题中涉及VA依面积时,需写出面积的解析式，由于三角形的面积求法有多种

公式,选择哪一种需细细思量,寻找一种对求最值相对方便的形式是上策.总之,解数学问题

过程中，吃透条件的内涵与外延,把握好数与形两个方面,才能成为解题高手.

【解】

(1)设直线的方程为y=2x+加，点A(%,y),3(%，%).

九2

由《y二=2x+消去R,得、=工v+加，即yo2-2y+2m=0,

y=4x2

X+必=2,y%=2m,QAB|=3石，由弦长公式得Jl+^|yi-y2|=3V5,即y,-y2|=6,

1，(乂+>2)2-4乂%=36,解得加=Y，.•.直线的方程为y=2x—4，即2x-y-4=0・

2

片-%-4|

设点,为)，则点P到直线的距离△=,QVAPB的面积为

2

吟-%

-4|2

30,.」|A6|・d=30,即-X3A/5X

30.y（）—4|=20,

22

・・・尤―2%-8=±40.

若y；-2%-8=40,则y：-2%-48=0,即（%-8）（%+6）=0.，%=8或%=-6.

若需一2%-8=-40,则.•.其一2%+32=0,无实根.

故点P的坐标为(16,8)或(9,-6).

(2)Q点P在抛物线V=4%上，故设点P(R2f),点P到直线/的距离为d,则

产止,

,4—6r+3L4IZ3।3

d=---------------=-a一一,当f=-B寸，dmin

55416420

二点尸的坐标为(29,学3时，点尸到直线/的距离_最小，最小值为诟3.

V=4x,得

(3)设直线A3的方程为：x=my+2,由<

x=my+2

y2一4/篦y-8=（）,△=16m2+32=16（京+2）.

设4（%,凶）,3（移%），则%+%=4九,%=一8.

\AB\=J1+加21%-%|=J1+—,J[6（m2+2）=4j（]+〃?2）（m2+2）.

设直线/的方程为工=/2+%由＜）—4"得y2_4my-4，=0,由A=16〃Z2+16/=0

x=my+2

得1=-m2,

:NABP的面积S=，|期d=k4j(l+/〃2)(/+2)xj+加=2(W+

22VJl+m?

2)J/+2..4夜,当且仅当加=0时,等号成立，故VABP的面积最小值为4&.

【变式训练1】

已知产为抛物线L:V=4无的焦点，过F作两条互相垂直的直线，直线4与。交与

45两点,直线/2与。交于。,后两点,则|4卸+|。国的最小值为().

A.16

B.14

C.12

D.10

【变式训练2】

已知抛物线C的顶点为0(0,0),焦点为*0,1)

(1)求抛物线。的方程；

⑵如图所示，过点厂作直线交推物线于A,B两点,若直线OAOB分别交直线

/:丁=%一2于点加，N,求|MN|的最小值.

【核心例题2】

2

X9

(2020年高考数学浙江春第21题)如图所示，已知椭圆。|：耳+丁=1,抛物线

G：y2=2Px(p>0),，点A是椭圆C,与抛物线C2的交点,过点4的直线I交椭圆G于点

交抛物线C2于点M(民M不同于A).

(1)若p=',求抛物线C2的焦点坐标.

(2)若存在不过原点的直线/使M为线段的中点,求p的最大值.

【解题策略】

第(1)问，由〃的值和抛物线的几何性质即可求解;第(2)问，设出直线/的方程和点A

的坐标,将直线1的方程分别与椭圆C和抛物线C2的方程联立,得到关于m,p的等式,再利

用基本不等式即可求得p的最大值.

【解】

1(1

(1)由〃=上得孰的焦点坐标是二,0.

16132J

(2)由题意可设直线/:%=纱+，(加工0,1工0),点

无2

将直线’的方程代人椭圆G

二点M的纵坐标yM=-一将直线/的方程代入抛物线C,：V=2p光，得

m~+2

2P(1+2

:

r-2pmy_2p/=0,yoyM=-2pt,解得％=-------,因此玉）

mm2

由&"+=1得4=+2/n+—..160,上当用==。时,

〃取到

2p-m)\m)5

目i宿M

最大值一^.

40

【变式训练】

如图所示，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C:：/=2px上存在不同的两点

A8满足PA,PB的中点均在抛物线上

（1）设A3的中点为证明：垂直于y轴.

（2）若P是半椭圆f+?=1瓮＜0）上的动点,求VFA5面积的取值范围.

【核心例题3】

在平面直角坐标系中，。为坐标原点.已知抛物线C:：/=2p;c的准线方程为x=-1,

ULKlUUU1

有加（1,一3）,N（5,1）,若动点P满足NP=tNM,且点P的轨迹与抛物线C交于A5两点.

UUUIU

（1）证明：OA_LOB.

（2）在x轴上是否存在一点。（〃?,0）（加彳0）,使得过点。的直线/交抛物线。于。，E两

点，且以线段DE为直径的圆都过原点?若存在，求出以线段DE为直径的圆的圆心的轨迹方

程;若不存在，说明理由.

【解题策略】

第（1）问，先由抛物线的性质确定抛物线方程,再根据向量共线确定点P的轨迹方程,联

立点P的轨迹方程和抛物线C的方程,通过消元得到关于x或y的一元二次方程，由根与系

UliUUU

数关系证明xAxB+yAyB=0即可得QA_L03.第（2）问是探索存在性问题,请注意题设中

的“都”字,诂明以OE为直径的圆是动圆，所以才有动圆的圆心的轨迹方程存在与否的讨

论,可先假设符合条件的点。存在,设出直线方程（含双参数），联立抛物线方程得方程组,再

利用0DJ_0E求出一个参数的值,使圆心坐标用另一参数表示，消去参数求出动点的轨迹

方程,若上述目标无法达到,则轨迹方程不存在.

（1）证明：由抛物线C:丁=2〃龙的准线方程为％=—1,得物物线C的方程为丁=4x,由

UUUUUU1

NP=tNM,知点尸的轨迹是过M,N两点的直线.设尸（x,y）,则P点的轨迹方程是过

M,N两点的直线.

设P（x,y）,则P点的轨迹方程是y+3=1'即y=x—4.

5—1

V-JQ—4

联立2得V-12x+16=0,设4（4,力）,3（/，力）

y=4x

则与乙=16,5+%=12,以为=（4-4）（/一4）=一4&+/）+16=-16,

LILILILIUUUUUU

/.OA-OB=xAxB+yAyR=0./.OA_LOB

（2）假设存在点2（m,0）（m丰0），使得过点。的直线/交抛物线于D,E两点，且以线段

为直径的圆都过原点.

设0（%,y）,石（9,必），由题意知直线I的斜率不为零,故可设直线I的方程为x=6+加，

代人y?=4x得y2-4ky-4m=0,

则△=16（22+m）＞0,即攵之+机＞0,①y+y2=4