材料力学课件

1

材料力學

MechanicsofMaterials

2

目的對學科有一個初步的概念上的瞭解懂得重要性，引起學習它的興趣瞭解恰當的學習方法

內容材料力學的任務、作用和地位基本假設基本概念變形的基本形式第一章緒論3§1.1

材料力學的來龍去脈

本節站在力學史和力學方法論的發展觀、自然科學的價值觀上，追根溯源，展望去向，力圖使你對於材料力學有如下的宏觀感覺和總體把握

會當淩絕頂，一覽眾山小

一、材料力學的由來——學科發展的必然性二、材料力學的任務——工程需要的迫切性三、材料力學的作用——承前啟後的階段性

四、材料力學的學習——愛學會學的自覺性

4一、材料力學的由來——學科發展的必然性

你將會確信：從學科發展觀的角度，材料力學的出現，是力學學科的必然結果物理和理論力學：運動的一般規律（質點、剛體）

質點：只有品質，沒有大小

剛體：有品質，有大小，但沒有變形（相對位置不變）

變形體：有品質，有大小，有變形（相對位置變化）

變形：物體內部各質點之間的相對位置變化、尺寸和形狀的改變質點——剛體——變形體，人類的認識深化5

變形體力學——變形體受力後的運動或變形規律涉及到變形，理論力學無能為力，材料力學當仁不讓材料力學是變形體力學最早的分支，有最簡捷的結果（1）最簡單的模型（2）最基本的概念（3）最根本的方法（4）最典型的結論特點：概念多，變形多，公式多，實驗多研究對象——質點？剛體？變形體？根據相對性6二、材料力學的任務——工程需要的迫切性工程需要上看，材力是必然產物

材力能成為一門自然科學技術的學科，是人類文明發展積累的成果每時每刻，人類都不得不同受力的物體或結構打交道：從土房、木屋到鋼鐵塔架、鋼筋混凝土大廈

（住）從人力車、牛馬車到火車、汽車、輪船、飛機、火箭

（行）從打獵用的木棍、竹棒到用蒸汽或用電動的機器

（用）人們（包括你）生活中的一切，無不涉及受力的問題

——受力問題的安全？安全與經濟？

7長江、松花江的堤壩911的世貿大樓失事的飛機日常的衣食住行涉及的結構

它們的第一功能——某方面的第一價值雖然安全保證不是追求的第一功能，但是

是人類生存的基本功能材料力學首先回答了安全功能如何保證的問題也是在解決安全問題中發展起來的材料力學形成以前，人們已經懂得一些相關知識，並積累了實踐經驗

隋代的趙州石橋，經計算，符合現代力學原理：8

河北趙州橋建於1400年前（隋朝）跨37.02米、寬9米、拱高7.23米，隋允康教授的老師錢令希院士用彈塑性理論計算，結果——壓力線完全通過拱軸。9

隋允康教授指導博士生用他提出的結構拓撲優化ICM

（IndependentContinuousMapping）方法計算的結果，完全類似趙州橋的構型。10真正解決問題，還是材料力學形成以後達.芬奇(LeonardodaVinci,1452-1519)伽利略（Galilei,1564-1642)

開始著手解決構件的強度計算問題

從那時起，材料力學在奠基長期的積累、發展，逐漸完善形成材料力學材料力學關心的安全體現在——

強度

(Strength)

剛度(Stiffness)

穩定性

(Stability)…...11具有足夠的剛度構件在外載作用下，抵抗可恢復變形的能力。

例如機床主軸不應變形過大，否則影響加工精度。滿足穩定性要求構件在某種外載作用下，保持其原有平衡狀態的能力。例如柱子不能彎等。

對構件的三項基本要求具有足夠的強度構件在外載作用下，抵抗破壞的能力。例如儲氣罐不應爆破。（破壞——斷裂或變形過量不能恢復）12

上面提到了術語1、構件ComponentorMember：組成機械的零件或構築物的杆件統稱為構件

2、結構Structure：由構件組成的體系，工程結構是工程實際中採用的結構3、載荷Load：構件和結構承受的負載或荷重載荷有——內載荷外載荷4、變形Deformation：在載荷的作用下，構件的形狀及尺寸發生的變化稱為變形13

材料力學的任務

1）研究材料的力學性能

2）研究構件的強度、剛度和穩定性等

3）合理解決安全與經濟之間的矛盾

構件的強度、剛度和穩定性均與所用材料的力學性能有關，因此在實驗研究基礎上，進行和理論分析是完成材料力學的任務所必需的途徑和手段。

14三、材料力學的作用——承前啟後的階段性

1。後續的力學（其他的變形體力學）學好材料力學對學習其他變形體力學的奠基作用結構力學，彈性力學，塑性力學，斷裂力學,納米力學流體力學理性力學

2。後續的專業課程建築結構機械設計結構設計原理3。有助於學習其他工程：土木、機械、航空、航太、交通、運輸、材料、生物、工程、儀錶等4。今後工程工作中直接受益15四、材料力學的學習——愛學會學的自覺性

學習要求1。記筆記2。先讀書，後做作業，按時交作業步驟清晰，作圖規範，書寫工整，解答正確3。認真做實驗，完成實驗報告4。課前要預習，上課要帶書，講授、自學和討論相結合5。上課要集中精力，認真聽，重點記平時成績、作業、測驗、實驗30%。期末成績70%16

學習方法1。弄清基本概念——思考再思考，觀察生活實例適當讀參考書認真做好實驗2。注意知識發生過程——公式推導：基本假設基本思路基本要點3。認真完成作業——理解、體驗，舉一反三培養解決問題的能力4。養成寫總結和體會的習慣5。寫小論文

17§1.2變形固體的基本假設在外力作用下，一切固體都將發生變形，故稱為變形固體，而構件一般均由固體材料製成，故構件一般都是變形固體。

變形固體的假設

1．連續性假設：認為整個物體體積內毫無空隙地充滿物質（數學）

2．均勻性假設：認為物體內的任何部分，其力學性能相同（力學）

3．各向同性假設：認為在物體內各個不同方向的力學性能相同（物理）

4.小變形假設：變形與本身的尺寸相比很小

18§1.3基本概念

力，重之謂。墨翟《墨經》

力，刑之所以奮也。墨翟《墨經》刑——

物體奮——

由靜而動或由慢而快力——

物體的“奮”因墨子（前490-405）的觀點早於亞裏士多德100年早於伽利略2000年

力

——原因，無形

運動——結果，有形（包括“靜運動”：變形）

191。內力

外力引起的物體內部的作用力（物體本來存在內部作用力，外力引起了內部作用力的改變）2。截面法——求內力

用截面假想地把構件分成兩部分，以顯示並確定內力的方法2021用截面法求內力可歸納為四個字：

1）截：欲求某一截面的內力，沿該截面將構件假想地截成兩部分

2）取：取其中任意部分為研究對象，而棄去另一部分

3）代：用作用於截面上的內力，代替棄去部分對留下部分的作用力

4）平：建立留下部分的平衡條件，確定未知的內力223．應力

為了引入應力的概念，參照圖1-5，首先圍繞K點取微小面積，有分佈內力的合力，應力定義為23應力是一個向量平均應力——某個範圍內，單位面積上的內力的平均集度K點的應力——當面積趨於零時，平均應力的大小和方向都將趨於一定極限，得到應力即單位面積上的內力——某截面處內力的密集程度應力的國際單位為N/m21N/m2=1Pa（帕斯卡）

1MN/m2=1MPa=106N/m2=106Pa1GPa=1GN/m2=109Pa24垂直於截面的應力稱為“正應力”(NormalStress)位於截面內的應力稱為“切應力”(ShearingStress)

p

M

25

對於構件任一點的變形，只有線變形和角變形兩種基本變形，分別由線應變和角應變來度量

1．線應變

4。應變26

線應變——即單位長度上的變形量，無量綱，其物

理意義是構件上一點沿某一方向變形量

的大小2．角應變

切應變——即一點單元體兩棱角直角的改變量，

無量綱27§1.4單向應力狀態的本構關係（Constitutiverelationsofuniaxialstressphase)在彈性範圍內，有變形x與外力F成正比的彈性定律

應力與應變成的類似關係也被叫著Hooke’slaw也應稱為鄭玄-胡克定律

它是由英國力學家胡克（RobertHooke,1635-1703)於1678年發現的，實際上早於他1500年前，東漢的經學家和教育家鄭玄（西元127-200）就已經發現

應當叫鄭玄-胡克定律（Zheng-Hooke’slaw）28

上述是本構關係的一種某種材料本構關係是,外力回應下應力與應變的關係

它是變形體力學(包括材料力學)必備的基礎之一

單向應力狀態指單元體只在一個方向受正應力作用單向應力狀態(OneDimensionalStateofStresses)

單元體(Cellularbody)——構件內部取出的邊長為無限小的長方形或六面體29

從胡克1687年得到的金屬絲（類似彈簧）公式到應力—應變公式不是簡單的類比，而是認識的深化

引入比例常數1/E，得到

它只揭示了變形同外力成正比，至於金屬絲的粗細和長短、何種材料的影響，一概不知道其實，不難想像：變形同外力成正比時，還應當同金屬絲的

長短l成正比、粗細(面積A）成反比於是深化了“彈簧公式”（力和變形正比）認識30

很幸運，實驗表明：E只同材料有關，稱為楊氏模量，因為英國物理學家ThomasYoung（1773-1829）於1807年提出“彈性模量”的概念，其實瑞士科學家歐拉（LeohardEuler，1707-1783）1727年早於他80年提出把上式整理一下，得到

實際是一個非常漂亮的結論

從胡克1687年到歐拉1727年是40年，到楊1807年是120年，可見幾分鐘弄懂的，前人卻化了幾代人時間31

我們要珍惜啊，這就要再深化認識1、從杆件外力-變形關係——材料應力-應變關係2、彈簧係數的本質於是得到思考一下，有無道理？32下麵是胡克與鄭玄的假想對話鄭：這是講測量弓力時，先將弓的弦鬆開，另外用繩子松松地穿過弓的兩端，然後加重物，測量。胡：我明白了。這樣弓體就沒有初始應力，處於自然狀態。

東漢經學家鄭玄(127—200)對《考工記·弓人》中“量其力，有三均”作了這樣的注釋：“假令弓力勝三石，引之中三尺，弛其弦，以繩緩擐（huan、）之，每加物一石，則張一尺。”(見右圖)胡：請問，“弛其弦，以繩緩擐之”是什麼意思？33鄭：後來，到了唐代初期，賈公彥對我的注釋又作了注疏，他說：鄭又雲假令弓力勝三石，引之中三尺者，此即三石力弓也。必知弓力三石者，當弛其弦以繩緩擐之者，謂不張之，別以一條繩系兩箭，乃加物一石張一尺、二石張二尺、三石張三尺。其中就是指弓的兩端。胡：鄭老先生講“每加物一石，則張一尺”。和我講的完全是同一個意思。您比我早1500中就記錄下這種

正比關係，的確了不起，真是令人佩服之至。我在

1686年《關於中國文字和語言的研究和推測》一文中早就推崇過貴國的古代文化：“目前我們還只是剛剛走到這個知識領域的邊緣，然而一旦對它有了充分的認識，就將會在我們面前展現出一個迄今為止只被人們神話般地加以描述的知識王國”。（引自老亮《材料力學史漫話》高等教育出版社1993）34§1.6構件件變形的基本形式3536軸向拉伸——軸力作用下，杆件伸長（簡稱拉伸）軸向壓縮——軸力作用下，杆件縮短（簡稱壓縮）§2-0概念及實例37

拉、壓的特點：1.兩端受力——沿軸線，大小相等，方向相反2.變形——沿軸線38得1．軸力截面法（截、取、代、平）

軸力

N（Normal）§2-1軸力與軸力圖(Axialforcegraph)39軸力的符號

由變形決定——拉伸時，為正壓縮時，為負

注意：1）外力不能沿作用線移動——力的可傳性不成立

變形體，不是剛體2）截面不能切在外力作用點處——要離開作用點402．軸力圖縱軸表示軸力大小的圖（橫軸為截面位置）例2-1求軸力，並作軸力圖41§2-2拉（壓）杆應力杆件1——軸力=1N,截面積=0.1cm2

杆件2——軸力=100N,截面積=100cm2

哪個杆工作“累”？不能只看軸力，要看單位面積上的力——應力怎樣求出應力？

思路——應力是內力延伸出的概念，應當由

內力

應力42由積分得1）靜力平衡截面各點應力的分佈？因不知道，故上式求不出應力

要想另外的辦法432）幾何變形實驗結果——變形後，外表面垂線保持為直線平面假設——變形後，截面平面仍垂直於杆軸推得：同一截面上

正應變等於常量希望求應力，如何由

應變應力443）本構關係(鄭玄—Hooke定律

)

應變應力

推得：或得應力45二、聖維南原理（Saint-Venantprinciple)

由來——應力均勻分佈的範圍多大？

(拉壓公式適用範圍）

法國科學家Saint-Venant指出：

距外力作用部位相當遠處，應力分佈同外力作用方式無關，只同等效力有關

外力等效性應力擴散性46三、應力集中（Stressconcentration)

應力均勻——相反小孔處與截面尺寸改變處，應力增大稱為應力集中彈性力學計算實驗測試（光彈性實驗）47

四、斜截面上的應力

為什麼研究它？

弄清楚截面方向對應力的影響

研究方法仿正截面應力公式去推導找出同正截面應力的關係

48（1）直接推導由平衡實驗—等截面假定鄭玄—胡克定律於是分解成正應力和剪應力，有49

正負號規定：

正應力—拉應力為正，壓應力為負

切應力—自外法線n順時針轉向它，為正；逆時針為負50

（2）間接推導

取三角形微元由平衡得更為簡單即51§2-3材料在拉伸時的力學性能由來

——

彈簧:力小時,正比關係力過大,失去彈性

鄭玄-胡克定律反映的只是一個階段的受力性能現在要研究材料的整個力學性能（應力——

應變）：理論上——用簡單描述複雜工程上——為（材料組成的）構件當好醫生從受力很小破壞52

一、低碳鋼拉伸時的力學性能（含碳量<0.3%的碳素鋼）要反映同試件幾何尺寸無關的特性要標準化——

形狀尺寸試件的加工精度試驗條件

國家標準規定《金屬拉伸試驗方法》（GB228-87）

試驗儀器：萬能材料試驗機；變形儀（常用引伸儀）54試驗方法——

拉力

P從0漸增

標距的伸長隨之漸增

得曲線（拉伸圖）55為使材料的性能同幾何尺寸無關：〈將

p除以

A〉

=名義應力

〈將伸長除以標距〉=名義應變從而得應力應變圖，即

曲線565758彈性階段——延伸率——強化階段——局部變形階段——截面收縮率——屈服階段——59這兩個值——材料塑性標誌卸載定律冷作硬化

值越大，塑性越強

對於低碳鋼塑性

脆性

60三、其他材料拉伸時的力學性能1、塑性材料看書[P19]，觀察各有幾個階段？沒有明顯屈服階段的把塑性應變0.2%對應的應力——稱為名義屈服極限，表示為612、脆性材料（鑄鐵）62鑄鐵拉伸時的力學性能1）應力—應變關係微彎曲線，沒有直線階段2）只有一個強度指標

結論——脆性材料

處理——以O-A割線的斜率作為彈性模量

A為曲線上1/4點3）拉斷時應力、變形較小63三、材料在壓縮時的力學性能

避免被壓彎，試件一般為很短的圓柱高度/直徑=1.5-31．低碳鋼壓縮時的曲線屈服前與拉伸時大致相同2．鑄鐵壓縮時的曲線較小變形下突然破壞，破壞斷面約45度6465

§2-4拉壓杆的強度條件（Strengthcriterion)

對於拉壓杆，學習了應力計算力學性能

如何設計拉壓杆？——

安全，或不失效反面看：危險，或失效（喪失正常工作能力）（1）塑性屈服（2）脆性斷裂66正面考慮——

應力為了——

安全，或不失效

(u

—Ultimate,n—

安全因數Safetyfactor)（1）塑性n=1.5-2.5

軸向拉伸或壓縮時的強度條件——

許用應力(Allowablestress)——（2）脆性n=2-3.567安全因數——

不可知係數

它彌補如下資訊的不足（1）載荷

（2）材料性能（3）計算理論、模型或方法（4）結構的重要性或破壞的嚴重性68

強度條件可以解決以下問題：1）校核強度

2）設計截面

3）確定載荷

待求——

杆的軸向總變形

伸長（Elongation）拉應力為主導

縮短（Compression）壓應力為主導求解出發點——

線應變（1）平均線應變（此路不通）

（2）一點線應變（可行）一、軸向變形（AxialDeformation）任意x點處的縱向線應變另一方面，由本構關係

於是x

點處的微小變形為PQQP得到整個杆的縱向線變形

把所有點處的變形加起來（積分）（EA—杆的抗拉壓剛度）出發點3、階段等內力（n段中分別為常量）

N(x)xdx2、變內力變截面

PP拉壓杆的縱向線變形

拉壓杆的剛度條件

1、等內力等截面橫向線應變橫向變形PPa´c´ca二橫向變形（LateralDeformation）泊松比（Poisson’sRatio）

你觀察到了嗎？伴隨杆的縱向伸長——橫向收縮

你思考了嗎？縱向伸長——橫向收縮，有什麼規律性？實驗表明，對於某種材料，當應力不超過比例極限時泊松比是個小於1的常數

橫向變形係數（或泊松比）——

橫向應變（Lateralstrain）與縱向應變（Axialstrain）之比

如果你是19世紀初的善於思考者，該系數會以你的名字命名，而不是法國的泊松（SimonDenisPoisson，1781-1840）現在能想到——主觀創造，意義也很大

1、怎樣畫小變形節點位移圖？（2）嚴格畫法——

弧線目的——

求靜定桁架節點位移

（3）小變形畫法——

切線三、小變形的節點位移——畫法與解法ABCL1L2PC’’C’（1）求各杆的變形量△Li

解：變形圖如圖2，B點位移至B'點，由圖ABCL1L2B'2、怎樣計算小變形節點位移？

目前——幾何學以後——電腦程式

例

寫出圖中B點位移與兩杆變形間的關係例

截面積為76.36mm²

的鋼索繞過無摩擦的定滑輪

P=20kN，求剛索的應力和C點的垂直位移。（剛索的E=177GPa，設橫樑ABCD為剛梁）解1）求鋼索內力（ABCD為對象）2)鋼索的應力和伸長分別為800400400DCPAB60°60°PABCDTTYAXACPAB60°60°800400400DAB60°60°DB'D'C3）變形圖如左

C點的垂直位移為：§2.6拉壓杆超靜定問題1、問題的提出

兩杆桁架變成三杆桁架，缺一個方程，無法求解一、超靜定問題及其處理方法CPABD123CPAB12

三杆桁架是單靠靜力方程求解不了的，稱為

拉壓杆截面上有無窮個應力，單憑靜力平衡方程靜不定（Staticindeterminate）——靜力不能確定

超靜定問題（Hyperstatic）——超出了靜力範圍其實我們在拉壓杆應力遇到過這類問題補充變形協調方程

不能求解——

超靜定問題：建立本構（或物理）方程予以溝通結合平衡方程聯立求解個性：杆件，桁架（杆件組合）2、超靜定的處理方法

平衡方程變形協調方程本構方程共性：超靜定問題——單憑靜平衡方程不能確定出全部未知力（外力、內力、應力）例：求三杆桁架內力杆長L1=L2，

L3=L

面积A1=A2=A，A3

彈性模量E1=E2=E，E3CPABD123解(1)靜力平衡方程——力學PAN1N3N2(3)本構方程——物理

（4）聯立求解——代數解法一——力法：a、由幾何和物理方程消除位移b、此方程於平衡方程是3個方程（含3個力未知量），解得CABD123A1(2)變形協調方程——幾何解法二——混合法：a、由幾何和物理方程消除N1和N2；

b、解3個方程（含1個力未知量，2個位移未知量）[P33-39]例2.4-2.9——自己做，再對書

例2.4（1）軸力圖；（2）變形求和

例2.5定義

例2.6（1）應變定義；（2）略掉高階項

例2.7微元當成等內力單元

例2.8（1）內力；（2）單獨變形；（3）切線代弧

例2.9（1）剛體；（2）切線代弧[P33-39]例2.4-2.9——自己做，再對書

例2.4（1）軸力圖；（2）變形求和

例2.5定義

例2.6（1）應變定義；（2）略掉高階項

例2.7微元當成等內力單元

例2.8（1）內力；（2）單獨變形；（3）切線代弧

例2.9（1）剛體；（2）切線代弧（1）靜力平衡方程——力學——原有基地3、超靜定問題的解法（2）變形協調方程——幾何——新開方向（3）材料本構方程——物理——構築橋樑

（4）方程聯立求解——代數——綜合把握例木制短柱的四角用四個40

40

4的等邊角鋼加固，角

鋼和木材的許用應力分別為[

]1=160MPa和[

]2=12MPa，

弹性模量分别为E1=200GPa

和E2=10GPa；求許可載荷P(2)變形方程(3)本構方程解：(1)平衡方程P1m250250PPy4N1N2（4）聯立求解得（5）求結構的許可載荷

《方法1》角鋼面積由型鋼表查得

A1=3.086cm2P1m250250PPy4N1N2所以在△1=△2

的前提下，角鋼將先達到極限狀態，

即角鋼決定最大載荷另外：若將鋼的面積增大5倍，怎樣？若將木的面積縮小10倍，又怎樣？結構的最大載荷永遠由鋼控制著《方法2》（2）變形方程解：（1）平衡方程2、靜不定問題存在裝配應力二、裝配應力1、靜定問題無裝配應力

下圖，3號杆的尺寸誤差為

，求各杆的裝配內力ABC12ABC12DA13dAA1（3）本構方程（4）聯立求解A1N1N2N31、靜定問題無溫度應力。三、溫度應力

下圖，1、2號杆的尺寸及材ABC12BCAD123A12、靜不定問題存在溫度應力。料都相同，當結構溫度由T1變到T2時,求各杆的溫度內力（各杆線

膨脹係數分別為

i;△T=T2-T1)（2）變形方程解：（1）平衡方程（3）本構方程PAN1N3N2BCD123AA1BCD123AA1由變形和本構方程消除位移未知量聯立求解得aa

aaN1N2

例階梯鋼杆的上下兩端在T1=5℃時被固

定,上下兩段的面積為

=cm2，

=cm2，

當溫度升至T2=25℃時,求各杆的溫度應力

彈性模量E=200GPa，線膨脹係數

=12.5×

（2）變形方程解：（1）平衡方程（3）本構方程（4）聯立求解得由變形和本構方程消除位移未知量（5）溫度應力

[P42-49]例2.10-2.13——自己做，再對書例2.10[P42]（1）取隔離體（圖c）（2）A點取矩（3）切線代弧例2.11[P43]（1）如何判斷超靜定度（2）切線代弧、剛性杆例2.12[P47]（1）剛性牆（2）先驗算靜定情況例2.13[P49]（1）通過熱脹冷縮算環向應變（2）由應變算出應力

本章小結1．軸向拉伸和壓縮時的重要概念：內力、應力、變形和應變等相應的計算和公式：

——內力、內力圖

——正應力公式

——應力-應變本構關係（杆變形公式可以推出）

——聖維南原理

——應力集中

——斜截面應力公式993.1概述3.2剪切的實用計算3.3擠壓的實用計算100如果受拉構件是拼接的，除了受拉，還受什麼作用？注意力轉到聯接件3.1概述在被聯接構件（ConnectiveComponents）之間，常用鉚釘作為聯接件（Connector）101兩個或多個構件相連——1.用釘子、鉚釘等聯結2.焊接3.其他本章只研究4種聯接件——螺栓、銷釘、鉚釘、鍵塊聯接件體系（聯接件、被聯接構件）的受力特點：力在一條軸線上傳遞中有所偏離（與拉壓情況不同）

問題：1.力傳遞的偏離引起什麼新的力學現象？2.如何計算聯接件、被聯接構件的強度？

102簡單典型——1個螺栓、2個被聯接的構件先研究螺栓的受力情況103螺栓受力特點

1、橫截面mn,pq上有作用力V——

象剪刀一樣，試圖把螺栓從該截面處剪開稱V為剪力

(Shearforce)，引起切應力（Shearstress)2、杆段①、②、③受到被聯接構件的擠壓（Bearing)引起擠壓應力（Bearingstress)

104基於螺栓的受力分析，容易預測出螺栓可能的失效形式

（1）在截面mn,pq處被剪斷（2）受擠壓部分的半圓被“擠扁”（近似半橢圓）照片中的螺栓產生了塑性變形，驗證了情況(2)還應當研究被聯接構件有沒有新的受力特點105被聯接構件受力特點

1、沒有受剪力作用2、同螺栓杆段①、②、③對應半圓孔受到螺栓擠壓，有可能導致變形過大而失效（變成近似橢圓孔）

3、螺栓擠壓，有可能把被聯接構件端部豁開（一般將端部設計得充分長，抵禦豁開力，因而對此不計算）106

為保證設計的安全,必須對聯接件、被聯接構件進行強度計算：

聯接件——切應力，擠壓應力被聯接構件——擠壓應力切應力、擠壓應力的分佈函數很複雜，需用有限元等數值方法計算（如擠壓應力屬於接觸問題）為了方便工程，提出實用計算——假定應力均勻分佈，得到名義應力；本質算平均應力剪切實用計算的步驟1、算出剪力（根據靜力平衡）2、計算名義切應力（或平均切應力）3、強度校核

3.2剪切的實用計算107剪切強度計算1、剪力

2、名義切應力

假定切應力均勻分佈，剪力V引起的切應力為

m——名義的中文拼音，或平均（mean）的英文縮寫108為許用切應力

3、強度校核若說明設計滿足強度要求

否則，需重新設計，如加大螺栓直徑等109如何確定許用切應力

對材料做剪切試驗，可測得剪斷時的切應力值則該材料的許用切應力為

——剪切安全因數

試驗結論塑性

脆性110算例1111.靜力平衡得到剪力V=P2.螺栓截面mn上平均切應力或名義切應力

3.強度校核

112在聯接件中通常同時出現——擠壓應力和切應力但二者有明顯區別AB剪力V擠壓力PA向剪力作用面積B向擠壓力計算面積Abs3.3擠壓的實用計算擠壓應力計算面積——實際擠壓面在垂直擠壓力

方向上的投影

bs—bearingstress113AB剪力V擠壓力PA向剪力作用面積B向擠壓力計算面積Abs注意：實際擠壓面是半圓柱切應力——

1、計算面積是剪力的真實作用區

2、名義切應力是真實的平均切應力

擠壓應力——1、計算面積不一定是擠壓力真實作用區2、名義擠壓應力不一定是平均擠壓應力

114綜上所述，擠壓應力公式屬於真正的假定計算許用擠壓應力也是靠破壞試驗確定試驗結果聯接件中通常同時出現——擠壓應力、切應力

被聯接構件通常只出現——擠壓應力115例題116外載集度

p=2MPa,角鋼厚t=12mm,長L=150mm,寬b=60mm，螺栓直徑d=15mm.求螺栓名義切應力和螺栓與角鋼間的名義擠壓應力（忽略角鋼與工字鋼之間的摩擦力）解：（1）角鋼承受的總載荷（2）每個螺栓的剪力117（3）螺栓所受的名義切應力4）單個螺栓與角鋼間的擠壓力

118（5）螺栓與角鋼間的名義擠壓應力2023-11-24119

一、回顧

已經學習了——拉、壓剪切擠壓（受力物體接觸問題，外部關係；因注意內部，不研究它了）目前剪切還是近似計算，值得深入研究二、如何深化對剪切的認識？沿面內作用的力——剪切力作用結果——把截面剪斷：可作為深化認識的出發點

、2023-11-24120

給你一個火腿腸，如何在中間截為兩段？（1）刀切開（2）剪子剪（3）電鋸（輪或平）截——以上用工具，空手呢？（4）掰（彎）（5）拉（6）扭

分析一下：（1）、（3）是動載，因研究靜載，故不講了（4）屬於彎曲，以後講（5）拉斷的位置不確定，也不講（6）斷開面兩側相互錯動，實際上沿面內有力作用

——剪力：扭矩轉化過來

、，2023-11-24121

（2）（剪子剪）（6）（扭）的共同點——剪力作用（2）（剪子剪）（6）（扭）的不同點——

（2）的剪切面相鄰兩側平行錯動

（6）的剪切面相鄰兩側轉動錯動

可見扭轉現象同剪切相關，本章專門研究它三、常見的扭轉現象扭水龍頭用鑰匙扭轉開門酒瓶軟木塞的開瓶器小轎車的方向盤工作自行車的腳蹬工作機器軸的轉動改錐上螺絲釘

、2023-11-24122扭轉的例子2023-11-24123本章主要內容4.1外力偶矩、扭矩和扭矩圖4.2純剪切、切應力互等定理、剪切胡克定律4.3圓軸扭轉橫截面應力和強度條件4.4圓軸扭轉時的變形和剛度條件4.5圓軸扭轉斜截面上的應力2023-11-241244.1外力偶矩、扭矩和扭矩圖外力偶矩(Torsioncouple)力偶（Forcecouple)作用下產生的力矩(Forcemoment)扭矩(Torsion

torque)使杆繞軸線發生扭轉變形的外力偶矩扭矩圖(Torsion

torquegraph)2023-11-24125電機傳遞扭矩轉動機器勻速轉速—n轉/分鐘輸出功率—N千瓦求扭矩T（圖中T是機器對於電機扭矩的反作用力矩）解:

《出發點——計算一分鐘的功W

》從扭矩看從電機看兩式得扭矩2023-11-24126注意：第2個公式不需要記，因為

1H.P.(馬力,horsepower)=0.7355kW(千瓦特,k-watt)所以當N為千瓦當N為馬力（Nm)（Nm)扭矩扭矩例4.1[P90]（1）算出外力偶矩（2）外力偶矩要平衡（3）雙箭頭向量做，同軸力圖類似代入第1式，得2023-11-241274.2純剪切Pureshear切應力互等定理Reciprocaltheoremofshearstresses鄭玄—胡克剪切定律Zhengxuan—Hooke’slawinshear純剪切:只有切應力的應力狀態切應力互等定理2023-11-24128切應力互等定理單元體上兩個互垂面上剪應力的大小相等、方向相反（共同指向交線或背離交線）證明：以d軸取矩，得上面剪力和右面剪力平衡方程故得

類似可證明——每兩個鄰近邊切應力值相等注意：不僅純剪切，而且任何平衡力作用，都成立切應力互等定理(Reciprocaltheoremofshearstresses或Theoremofconjugateshearingstress)

2023-11-24129圖（c）中最大切應力對應於圖（b）哪一個切應力？答：圖（c）最大切應力對應於圖（b）右邊切應力。

注意：圖（c）切應力按線性分佈，原因再講切應變的定義2023-11-24130鄭玄—虎克剪切定律說明3個性能只有2個獨立此式在第9章給出證明2023-11-24131鄭玄—虎克剪切定律只是彈性階段

本構關係全程本構關係如何？

要做純剪切實驗（如薄壁圓管扭轉）得到圖——剪切比例極限應力（線彈性階段）——剪切屈服極限應力（進入塑性階段）——剪切強度極限應力（破壞階段）其中2023-11-241324.3圓軸扭轉橫截面應力和強度條件受扭圓軸截面上切應力分佈2023-11-24133rdA微元dA對軸心產生的力矩因切應力是個未知函數——無窮個未知數而方程只有一個，故為超靜定問題靜力平衡2023-11-241342023-11-24135變形協調平衡不足變形補——

先實驗，後（推廣得）假定2023-11-24136圖(b)是實驗結果：1、圓周線保持形狀、大小、間距不變，僅繞軸轉動2、母線仍是直線，僅繞軸轉動

圖(c)是由表及裏的想像——假定：1、橫截面保持為平面，形狀、大小、間距不變2、半徑保持為直線2023-11-24137

切應變沿半徑線性變化，雖然函數解出了，但是係數尚不知2023-11-24138上面求出了代入平衡公式本構關係

因變數不統一，還是解不出如何把切應變切應力？根據本構關係（鄭玄—胡克定律）2023-11-24139其中得對圓截面代入應變公式還是通過靜力、變形、本構三方面解決了問題於是2023-11-24140最大切應力在截面邊緣其中軸半徑

r=D/2r圓軸扭轉的強度條件2023-11-241412、對塑性材料注意1、對階段軸，要選大的3、軸類零件考慮到動荷因素，許用切應力值比靜荷下的值小不是看2023-11-24142例4.2[P99]

最好會推出抗扭模量的公式例4.3[P99]（1）有沒有更好的解法？不用切應力相等，用抗扭模量相等去求解,可否？（2）注意重量的增加，為什麼？習題：[P122]4.1,4.2,4.4

2023-11-241434.4圓軸扭轉時的變形和剛度條件1、強度問題解決了，必然要解決剛度（變形）問題2、拉壓變形——伸縮，扭轉變形？——轉角3、如何解決？仿拉壓，從應變著手2023-11-24144最後得扭轉角*若為等扭矩、等截面拉壓扭轉同式比較得*若為階梯扭矩、階梯截面（rad)2023-11-24145圓軸扭轉的剛度條件

化為單位長度上的扭轉角（rad/m)為保證剛度，要求——

單位扭轉角的最大值小於許用值許用值根據重要性確定見[P102]2023-11-24146

例題提示例4.4[P102]分別按強度、剛度設計直徑，然後呢？例4.5[P103]1、變截面：直徑函數——極慣性矩函數2、扭矩函數3、變截面、變扭矩，怎麼求轉角？在微分長度上

——視它們為常數然後——積分4、怎麼積分？——變數變換

例4.6[P104]1、共同工作，變形相同2、三方面——平衡、協調、本構2023-11-241474.5

圓軸扭轉斜面上的應力扭轉軸的破壞（想一想：為什麼這樣？）為什麼研究斜截面應力？☆邏輯上，正截面——斜截面☆實際上，見下麵的實驗結果，原因？2023-11-24148途徑：1、仿正截面過程；2、用正截面推導斜截面應力2023-11-24149為計算斜面上應力列出和兩個方向的平衡方程：

第九章《應力狀態理論》對於切應力方向規定——使單元體順時針轉動的切應力為正方位角方向規定——以x軸為起點逆時針轉到斜面外法線的角為正tA0

x’

y’t

x2023-11-24150tt´smaxsmin在-45

的斜截面上,有最大拉應力——可解釋破壞現象。上述公式可得到如下結論。151拉壓正應力扭轉切應力彎曲正應力應力的計算通常用要到構件截面的幾何參數，例如：152統一為m=0零次矩(或面積)

Momentofzero

orderm=1一次矩、線性矩(或靜矩)

Momentoffirst

orderm=2二次矩(或慣性矩、積)

Momentofsecond

order

實質——1、數學，不是力學

2、顛倒了學科發展順序（歷史是：彎曲內力—彎曲應力—慣性矩）目的——1、翦除彎曲前面的攔路虎之一（慣性矩)

2、從更高的觀點，統一截面幾何性質

3、便於學習（弊病：只有大廈，無腳手架）153零次矩：一次矩（靜矩）：C(zc,yc)yozdA面積A5.1靜矩（Staticalmoment)、形心(Centroid)154形心C的座標：1、為什麼用z-y座標而不是x-y座標？2、為什麼對應於而不是[思考]形心：使平面圖形各微元靜矩和為零的座標原點ozydAC155對稱圖形形心的位置有一個對稱軸：形心C位於該軸上yCz156

有兩個對稱軸：兩個對稱軸的交點就是形心C的位置zyC157Czy對某點對稱（中心對稱）：形心C位於對稱中心158由n個規則形狀組成的圖形yCzzy組合（複合）圖形的形心159已知b,c,t，求C的座標cCzyC2C1btt0C1、C2、C的座標:組合圖形的形心算例160注1：由兩塊組成組合圖形，其複合圖形形心一定位於兩個子圖的形心連線上注2：組合圖形形心計算公式也適用於負面積情況，但要記住面積為負號“負面積”zyC1C2C161慣性矩慣性積ozydA面積Azy5.2慣性矩（Momentofinertia)與慣性積(Productofinertia)

（二次矩，Momentofsecondorder）162——質點Newton定律對於平面圖形，當密度取單位值時，dm=dA，此時轉動慣量就等於極慣性矩

你們是否遇到過二次矩？

推廣到剛體，何種形式？——I是什麼？

轉動慣量（Rotationalinertia）：163

力學問題中，有不同層次的外因、內因—結果關係1、外力、受力物性能—運動回應2、內力、截面量—變形回應（應力等）

溫故知新，我們進行類比

動力學材料力學164慣性矩、慣性積的性質（1）慣性矩為正，即（2）若圖形有一對稱軸，其慣性積為零（3）任一點為原點的所有正交坐標系中，兩個慣性矩之和等於

不變的極慣性矩Ip值（4）組合圖形慣性矩（積）為各個子圖慣性矩（積）之和CzCCzzyyyCC165座標轉動不改變極慣性矩Z1Y1Z2Y2OA166例題5.4[P133]圓截面的慣性矩設圓截面直徑D，則圓方程為zy其他方法——1、書中微元2、極慣性矩的一半167

問題的提出

工程問題的許多截面（工字、丁字、槽形等）是簡單截面（如矩形）的組合，總慣性矩=分慣性矩之和，而分慣性矩在各自的形心坐標系中計算將分慣性矩轉換到總形心坐標系時，要考慮座標系轉換的影響

分坐標系與

總形心坐標系通常是

平行關係，於是就抽象出慣性矩計算的平行移軸問題5.3平行移軸公式（平行軸定理Parallelaxistheorem）168已知：計算：oC(zc,yc)zyabdA面積Az1—y1為形心坐標系169復習：形心的定義同理170例題矩形1矩形2已知組合截面尺寸：計算截面對軸z的慣性矩bthtz2z1zC1C2Cys以（z2,y2)為基準座標，則171確定移軸量（a,b)矩形1到z軸的距離:矩形2到z軸的距離:由平行移軸定理矩形1對z軸的慣性矩:矩形2對z軸的慣性矩:整個截面的慣性矩：bthtz2z1zCC2ysC1172z1y1OAzyHBCDEFG如同平行移軸問題，轉軸問題也很重要,且對彎曲受力合理很關鍵

書上的推導5.4轉軸公式（Formulaofrotationofaxes)、主慣性軸

(Principalaxes)和主慣性矩

(Principalmomentofinertia)座標轉換的矩陣形式173z1y1OAzyHBCDEFG操作式的推導用投影代替轉動《y

變y1

的操作》

1、y（AF）向y1

軸投影得y1+GF2、再減去GF得y1174z1y1OAzyHBCDEFG《z

變z1

的操作》

1、z（OF）向z1

軸投影得

z1-GD2、再加上GD得z1

[思考]能否用複數推導？C1，C為複數（Complexnumber），i為虛單位175已知：截面對y、z軸的慣性矩、慣性積求解：截面對y1、z1軸的慣性矩、慣性積176顯然177創造的機遇——提出問題：因為角度對應坐標系，在哪個坐標系中，慣性矩為極大（或極小）？

意義——對於給定的截面，選擇坐標系使慣性矩最大（抵抗彎曲的能力最強），避免慣性矩最小說明取極大（或極小）慣性矩時

慣性積等於零178由方程確定兩個相互垂直的軸——主慣性軸z1y1Ozy

也就是說：1、對於給定的截面坐標軸選擇得恰當，慣性矩極大；2、同時，慣性矩極小的坐標軸，恰好與前者（慣性矩極大的坐標軸）垂直；3、兩個坐標軸組成了——主慣性坐標系求解出179主慣性矩：主慣性軸上的慣性矩將代入得到一大一小兩個主慣性矩：主形心慣性系：座標原點取在截面形心上的主慣性系主形心慣性矩：主形心慣性軸上的慣性矩180構件Component,Structuralmember

杆bar梁beam拉壓杆：承受軸向拉、壓力扭杆：承受扭矩梁：承受橫向力為什麼梁特別重要？地球引力場方向+人類需要空間（另作功能）=力轉90度傳到支座（垂直軸線）

牆樓板橋板181常用梁截面縱向對稱面平面彎曲概念縱向對稱面P1P2變形前P1P2變形後182梁載荷的分類qq(x)均勻分佈載荷線性（非均勻）分佈載荷P集中力TT集中力偶T分佈載荷載荷集度q(N/m)183固定鉸支座(pinsupport)滾動鉸支座(rollersupport)固定支座（fixedsupport)XAYAYAYAXA支座種類支座反力MAAAA184簡支梁Simplebeam,SimplysupportedbeamABP2P1YAYBXA梁的種類懸臂梁CantileverbeamABP1P2MAYAXAP1P2外伸梁Beamwithanoverhang(overhangs)ABCYAYBXA1856-1梁的內力（剪力Shearforce和彎矩Bendingmoment）PQPmnxl力矩平衡：M+P(l-x)=0剪力：Q=P彎矩：M=-P(l-x)剪力、彎矩正負號的含義力平衡：Q-