2021年上海市静安区中考数学二模试卷（含解析）

2021年上海市静安区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列计算正确的是（）A．1﹣1＝﹣1 B．10＝0 C．（﹣1）﹣1＝1 D．（﹣1）0＝12．如果关于x的方程x2﹣6x+m＝0有实数根，那么m的取值范围是（）A．m＞9 B．m≥9 C．m＜9 D．m≤93．一次函数y＝3x﹣2的图象不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．对于等边三角形，下列说法正确的为（）A．既是中心对称图形，又是轴对称图形 B．是轴对称图形，但不是中心对称图形 C．是中心对称图形，但不是轴对称图形 D．既不是中心对称图形，又不是轴对称图形5．某厂对一个班组生产的零件进行调查，该班组在8天中每天所出的次品数如下（单位：个）：3，3，0，2，2，3，0，3．那么该班组在8天中出的次品数的中位数与方差分别是（）A．2.5与1.5 B．2与1.5 C．2.5与 D．2与6．对于命题：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含；②如果一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离．下列判断正确的是（）A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．化简：||＝．8．计算：x÷（x2﹣x）＝．9．函数f（x）＝的定义域为．10．如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么函数值y随x的增大而．11．方程组的解为．12．从1，2，3这三个数中任选两个组成两位数，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好能被3整除的概率是．13．为了了解学生用于阅读课外书籍的时间的情况，某校在300名九年级学生中随机对40名学生每周阅读课外书籍所用的时间进行统计．根据调查结果画出频率分布直方图，如图所示（每个小组可包括最小值，不包括最大值），由此可以估计该校九年级学生阅读课外书籍用的时间在6小时及以上的人数约为．14．如图，在△ABC中，点D在边AB上，∠ACD＝∠B，AD＝2，AC＝，设＝，＝，那么＝．（用向量、的式子表示）15．如果⊙O1与⊙O2相交，⊙O1的半径是5，O1O2＝3，那么⊙O2的半径r的取值范围是．16．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，矩形DEFG的顶点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，如果DE＝5，tanC＝，那么AE的长为．17．已知矩形纸片ABCD的边AB＝10，BC＝12（如图），将它折叠后，点D落在边AB的中点处，那么折痕的长为．18．在一个三角形中，如果有一个内角是另一内角的n倍（n为整数），那么我们称这个三角形为n倍角三角形，如果一个三角形既是2倍角三角形，又是3倍角三角形，那么这个三角形最小的内角度数为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）先化简，再求值：﹣﹣，其中x＝+1．20．（10分）已知点A（2，m+3）在双曲线y＝上．（1）求此双曲线的表达式与点A的坐标；（2）如果点B（a，5﹣a）在此双曲线上，图象经过点A、B的一次函数的函数值y随x的增大而增大，求此一次函数的解析式．21．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BC，垂足为E．DC⊥BC，DC＝BC＝2，∠ADB＝90°，BD与AE、AC分别相交于点F、G．求：（1）AF的长；（2）AG的长．22．（10分）小丽的叔叔先用900元从甲批发部购进一种商品，后发现同样的商品乙批发部比甲批发部每件便宜3元，又用1200元钱从乙批发部购进了同样的商品，且比从甲批发部购进数量多了40件．问：乙批发部的这种商品每件几元？23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E是AC的中点，DE的延长线交边BC于点F．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；（2）如果2AE2＝AD•BC，求证：四边形AFCD是菱形．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（5，0）（如图），经过点A的抛物线y＝x2+bx+5与y轴相交于点B，顶点为点C．（1）求此抛物线表达式与顶点C的坐标；（2）求∠ABC的正弦值；（3）将此抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为D，且△DCA与△ABC相似，求平移后的新抛物线的表达式．25．（14分）如图，已知半圆O的直径AB＝4，点P在线段OA上，半圆P与半圆O相切于点A，点C在半圆P上，CO⊥AB，AC的延长线与半圆O相交于点D，OD与BC相交于点E．（1）求证：AD•AP＝OD•AC；（2）设半圆P的半径为x，线段CD的长为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；（3）当点E在半圆P上时，求半圆P的半径．

2021年上海市静安区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列计算正确的是（）A．1﹣1＝﹣1 B．10＝0 C．（﹣1）﹣1＝1 D．（﹣1）0＝1【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：A、1﹣1＝1，故此选项错误；B、10＝1，故此选项错误；C、（﹣1）﹣1＝﹣1，故此选项错误；D、（﹣1）0＝1，故此选项正确．故选：D．2．如果关于x的方程x2﹣6x+m＝0有实数根，那么m的取值范围是（）A．m＞9 B．m≥9 C．m＜9 D．m≤9【分析】由关于x的方程x2﹣6x+m＝0有实数根知△＝b2﹣4ac≥0，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣x+m＝0有实数根，∴△≥0，∴△＝（﹣6）2﹣4m≥0，∴m≤9，故选：D．3．一次函数y＝3x﹣2的图象不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据一次函数的图象与系数的关系解答即可．【解答】解：∵一次函数y＝3x﹣2中，k＝3＞0，b＝﹣2＜0，∴此函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．故选：B．4．对于等边三角形，下列说法正确的为（）A．既是中心对称图形，又是轴对称图形 B．是轴对称图形，但不是中心对称图形 C．是中心对称图形，但不是轴对称图形 D．既不是中心对称图形，又不是轴对称图形【分析】直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义分析得出答案．【解答】解：等边三角形，是轴对称图形，但不是中心对称图形．故选：B．5．某厂对一个班组生产的零件进行调查，该班组在8天中每天所出的次品数如下（单位：个）：3，3，0，2，2，3，0，3．那么该班组在8天中出的次品数的中位数与方差分别是（）A．2.5与1.5 B．2与1.5 C．2.5与 D．2与【分析】将已知数据重新排列，再根据中位数和方差的定义求解即可．【解答】解：将这组数据重新排列为0、0、2、2、3、3、3、3，所以这组数据的中位数为＝2.5，平均数为＝2，则其方差为×[2×（0﹣2）2+2×（2﹣2）2+4×（3﹣2）2]＝1.5，故选：A．6．对于命题：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含；②如果一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离．下列判断正确的是（）A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题【分析】根据两圆的位置关系、直线和圆的位置关系判断即可．【解答】解：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含，是真命题；②如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部，那么这两个圆外离或内含，原命题是假命题；故选：A．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．化简：||＝．【分析】要先判断出＜0，再根据绝对值的定义即可求解．【解答】解：∵＜0∴||＝2﹣．故答案为：2﹣．8．计算：x÷（x2﹣x）＝．【分析】先把除法运算写成分式的形式，再根据分式的基本性质进行化简即可．【解答】解：原式＝＝＝．故答案为：．9．函数f（x）＝的定义域为x≠．【分析】函数的定义域，需要使函数有意义，即分母不为0，列出不等式，即可求出x的取值范围．【解答】解：根据题意可得，3﹣2x≠0，即x≠．故答案为：x≠．10．如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么函数值y随x的增大而减小．【分析】画出大致图象即可得到答案；【解答】解：正比例函数的图象经过第二、四象限，大致图象如图：x越大，y越小，故答案为：减小．11．方程组的解为．【分析】根据题意先对第一个式子因式分解，求出x+y的值，即可求解了．【解答】解：∵x2+y2＝（x+y）（x﹣y）．∴将x﹣y＝1代入．∴x+y＝3．∴．∴．故答案为：．12．从1，2，3这三个数中任选两个组成两位数，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好能被3整除的概率是．【分析】画树状图，共有6个等可能的结果，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好能被3整除的结果有2个，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如图：共有6个等可能的结果，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好能被3整除的结果有2个，∴在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好能被3整除的概率为＝，故答案为：．13．为了了解学生用于阅读课外书籍的时间的情况，某校在300名九年级学生中随机对40名学生每周阅读课外书籍所用的时间进行统计．根据调查结果画出频率分布直方图，如图所示（每个小组可包括最小值，不包括最大值），由此可以估计该校九年级学生阅读课外书籍用的时间在6小时及以上的人数约为120人．【分析】求出九年级学生阅读课外书籍用的时间在6小时及以上的人数所占得百分比即可．【解答】解：300×（25%+15%）＝120（人），故答案为：120人．14．如图，在△ABC中，点D在边AB上，∠ACD＝∠B，AD＝2，AC＝，设＝，＝，那么＝﹣．（用向量、的式子表示）【分析】根据＝+，求解即可．【解答】解：∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△ABC，∴AC2＝AD•AB，∴（）2＝AD•AB，∴AB＝3，∴BD＝1，∴BD＝AB，∴＝，∴＝+，∴＝﹣．故答案为：15．如果⊙O1与⊙O2相交，⊙O1的半径是5，O1O2＝3，那么⊙O2的半径r的取值范围是2＜r＜8．【分析】根据数量关系与两圆位置关系的对应情况求得，两圆相交，则R﹣r＜d＜R+r．【解答】解：∵两圆相交，∴圆心距的取值范围是|5﹣r|＜3＜5+r，即2＜r＜8．故答案为：2＜r＜8．16．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，矩形DEFG的顶点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，如果DE＝5，tanC＝，那么AE的长为2．【分析】证明AE＝CG，解直角三角形求出CG，可得结论．【解答】解：∵四边形DEFG是矩形，∴EF∥CD，EF＝DG，∠FGD＝∠FGC＝90°，DE＝FG＝5，∴∠EFB＝∠C，∵AD∥BC，AB＝CD，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠EFB，∴BE＝EF＝DG，∴AE＝CG，在Rt△FGC中，tanC＝＝，∴CG＝2，∴AE＝CG＝2，故答案为：2．17．已知矩形纸片ABCD的边AB＝10，BC＝12（如图），将它折叠后，点D落在边AB的中点处，那么折痕的长为．【分析】先画出图形，构造相似三角形求出MF，再利用勾股定理求解．【解答】解：过点E作EM⊥BC于点M，∵把矩形ABCD折叠，点D与AB中点P重合，点C落在G处，∴EF垂直平分PD，∴∠EDP+∠DEF＝90°，∵∠DEF+∠MEF＝90°，∴∠EDP＝∠MEF，∵∠EMF＝90°，∠A＝90°，∴△ADP∽△FEM，∴．在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，P为AB点，∴AD＝12，AP＝5，EM＝10，∴，∴，在Rt△EMF中，．18．在一个三角形中，如果有一个内角是另一内角的n倍（n为整数），那么我们称这个三角形为n倍角三角形，如果一个三角形既是2倍角三角形，又是3倍角三角形，那么这个三角形最小的内角度数为30°或20°或18°或．【分析】根据2倍角三角形、3倍角三角形的定义，这道题分两种情况去讨论解决．【解答】解：①设最小内角度数为n°，2倍角为2n°，3倍角为3n°，∴n+2n+3n＝180，∴n＝30；②设最小内角度数为n°，2倍角为2n°，3倍角为6n°，∴n+2n+6n＝180，∴n＝20．③设最小内角度数为n°，3倍角为3n°，2倍角为6n°，∴n+3n+6n＝180，∴n＝18．④设最小内角度数为2n°，其余两个角为3n°和6n°，∴2n+3n+6n＝180，∴n＝，∴2n＝．故答案为：30°或20°或18°或．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）先化简，再求值：﹣﹣，其中x＝+1．【分析】根据分式的减法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：﹣﹣＝＝＝＝＝，当x＝+1时，原式＝＝＝＝．20．（10分）已知点A（2，m+3）在双曲线y＝上．（1）求此双曲线的表达式与点A的坐标；（2）如果点B（a，5﹣a）在此双曲线上，图象经过点A、B的一次函数的函数值y随x的增大而增大，求此一次函数的解析式．【分析】（1）把点A（2，m+3）代入y＝求得m，即可求出结果；（2）把点B（a，5﹣a）代入y＝求得a得到B点的坐标，由待定系数法求出一次函数解析式，根据题意舍去不合题意的解析式即可得到此一次函数的解析式．【解答】解：（1）∵点A（2，m+3）在双曲线y＝上，∴m+3＝，解得：m＝﹣6，∴m+3＝﹣3，∴此双曲线的表达式为y＝，点A的坐标为（2，﹣3）；（2）∵点B（a，5﹣a）在此双曲线y＝上，∴5﹣a＝，解得：a＝﹣1或a＝6，∴点B的坐标为（﹣1，6）或（6，﹣1），由（1）知A（2，﹣3），设一次函数的解析式为y＝kx+b，当B（﹣1，6）时，∵一次函数的图象经过点A、B，∴，解得：，∴一次函数的解析式为y＝﹣3x+3，∵k＜0，∴一次函数的函数值y随x的增大而减小，故不合题意，舍去，当B（6，﹣1）时，则，解得：，∴一次函数的解析式为y＝x﹣4，∵k＞0，∴一次函数的函数值y随x的增大而增大，符合合题意，∴此一次函数的解析式为y＝x﹣4．21．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BC，垂足为E．DC⊥BC，DC＝BC＝2，∠ADB＝90°，BD与AE、AC分别相交于点F、G．求：（1）AF的长；（2）AG的长．【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得点E是BC的中点，证明AE∥DC，可得EF是△BCD的中位线，再根据条件证明△ADF是等腰直角三角形，进而根据勾股定理可得结果；（2）由（1）可得AF＝CD＝2，EF＝1，BE＝1，所以AE＝3，根据勾股定理可得AB＝，所以AC＝AB＝，再证明△AFG≌△CDG，可得AG＝CG，进而可得结论．【解答】解：（1）∵AB＝AC，AE⊥BC，∴点E是BC的中点，∴BE＝BC＝2＝1，∵DC⊥BC，∴AE∥DC，∵DC⊥BC，DC＝BC＝2，∴BD＝＝2，∠CBD＝45°，∵点E是BC的中点，∴EF是△BCD的中位线，∴EF＝DC＝1，DF＝BD＝，∵∠CBD＝45°，∴∠AFD＝∠EFB＝45°，∵∠ADB＝90°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴AD＝DF＝，∴AF＝＝2；（2）由（1）可知：AF＝CD＝2，EF＝1，BE＝1，∴AE＝AF+EF＝2+1＝3，∴AB＝＝＝，∴AC＝AB＝，∵AE∥CD，∴∠FAG＝∠DCG，在△AFG和△CDG中，，∴△AFG≌△CDG（AAS），∴AG＝CG，∴AG＝AC＝．22．（10分）小丽的叔叔先用900元从甲批发部购进一种商品，后发现同样的商品乙批发部比甲批发部每件便宜3元，又用1200元钱从乙批发部购进了同样的商品，且比从甲批发部购进数量多了40件．问：乙批发部的这种商品每件几元？【分析】设乙批发部的这种商品每件x元，则甲批发部的这种商品每件（x+3）元，利用数量＝总价÷单价，结合从乙批发部购进的数量比从甲批发部购进数量多了40件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设乙批发部的这种商品每件x元，则甲批发部的这种商品每件（x+3）元，依题意得：﹣＝40，整理得：2x2﹣9x﹣180＝0，解得：x1＝12，x2＝﹣，经检验，x1＝12，x2＝﹣是原方程的解，x1＝12符合题意，x2＝﹣不合题意，舍去．答：乙批发部的这种商品每件12元．23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E是AC的中点，DE的延长线交边BC于点F．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；（2）如果2AE2＝AD•BC，求证：四边形AFCD是菱形．【分析】（1）根据AAS证明△ADE≌△CFE得出ED＝EF，进而可得四边形AFCD是平行四边形；（2）根据2AE2＝AD•BC，可得AE•AC＝AD•BC，所以＝，再证明△ADE∽△CAB，可得∠AED＝∠B＝90°，进而可得结论．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠FCE，∠ADE＝∠CFE，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴ED＝EF，∵AE＝CE，∴四边形AFCD是平行四边形；（2）证明：∵2AE2＝AD•BC，∴AE•AC＝AD•BC，∴＝，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠FCE，∴△ADE∽△CAB，∴∠AED＝∠B＝90°，∴DF⊥AC，∴四边形AFCD是菱形．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（5，0）（如图），经过点A的抛物线y＝x2+bx+5与y轴相交于点B，顶点为点C．（1）求此抛物线表达式与顶点C的坐标；（2）求∠ABC的正弦值；（3）将此抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为D，且△DCA与△ABC相似，求平移后的新抛物线的表达式．【分析】（1）将A（5，0）代入y＝x2+bx+5可得表达式，配方即得顶点坐标；（2）设BC与x轴交于F，过F作FE⊥AB于E，求出EF、BF即可得出答案；（3）设D坐标，用三边对应成比例列方程，求出D的坐标即可得出答案．【解答】解：（1）将A（5，0）代入y＝x2+bx+5得：0＝25+5b+5，解得b＝﹣6，∴抛物线表达式为y＝x2﹣6x+5，∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，∴顶点C的坐标为（3，﹣4）；（2）设BC与x轴交于F，过F作FE⊥AB于E，如图：抛物线y＝x2﹣6x+5与y轴交于B（0，5），设BC解析式为y＝mx+n，将B（0，5），C（3，﹣4）代入得：，解得，∴BC解析式为y＝﹣3x+5，令y＝0得x＝，∴F（，0），∴AF＝OA﹣OF＝，∵B（0，5），A（5，0），∴OA＝OB＝5，AB＝5，∠BAO＝45°，∴AE＝AF•cos45°＝＝EF，∴BE＝AB﹣AE＝，∴BF＝＝，∴sin∠ABC＝＝＝；（3）抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为D，设D（3，m），则平移后的新抛物线的表达式为y＝（x﹣3）2+m，且CD＝m﹣（﹣4）＝m+4，AD＝，AC＝＝2，AB＝5，BC＝3，若△DCA与△ABC相似，只需三边对应成比例，但AC对应边不能是AC，故分三种情况：①若△ABC∽△DCA，如图：，即，解得：m＝﹣，∴