2023年高考数学第19讲 解几最值求有妙法构造函数多方出击

第19讲解几最值求有妙法，构造函数多方出

击

一、攻关方略

与圆锥曲线有关的最值或范围问题大都是综合性问题，解法灵活，技巧性强，涉及代数函

数、三角函数、平面几何等方面的知识求最值常见的解法有几何法和代数法两利J若题目的

条件和结论能明显体现几何特征及意义，如与圆锥曲线的定义相关或涉及过焦点的弦长、焦

半径、焦点三角形等，则考虑利用图形性质来解决；若题目的条件和结论能体现一种明确的

函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值圆锥曲线中的最值问题的载体是

直线与圆锥曲线的关系，特别是相交所引出的图形的最值问题，大致可分为两类：①涉及距

离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些

元素存在最值时求解与之有关的一些问题本讲重点放在用目标函数法求最值的策略。

建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题是一种常规方法，其关键是选取适当的变量建立

目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值。

运用目标函数法解此类题的难点体现在两个方面①如何建立目标函数。关键要把相关图形的

特点吃透，变量可以是直线的斜截、距、曲线上的动点坐标、变动的线段等等，通常所得到

的解析式的形式不会太简单，对下一步的求解会带来困难②对所求得的目标函数如何求其最

值。常常需要进行再次构造为常见函数并运用相应的【解题策略】解之，比如转化为二次函

数或三角函数的最值问题，然后利用配方法、基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界

性等，尤其是对复杂函数解析式的再构造，其方法并非唯一不同的构造必有多种不同的解

法，或繁或简，通过解题经验的积累，尽可能找到最为巧妙的构造，得到最为简捷的解法。

真可谓：

解几最值求有妙法，

构造函数多方出击。

思维发散或繁或简，

纵横联结枝繁叶茂。

二、例题展不

例1已知点4(0,-2),椭圆E:5+4=l(a>">0)的离心率为是椭圆E的

a"h"2

右焦点，直线AF的斜率为羊,。为坐标原点.

(1)求E的方程；

(2)设过点A的直线I与椭圆E相交于P,Q两点，当OPQ的面积最大时，求I

的方程.

【解题策略】

解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科，代数方法当然离不开比较复杂的计

算，高考命题特别提出多考想，少考算”，突出考查学生分析推理、转化的数学逻辑思维能力

如何在解析几何中避免繁杂、冗长的计算，即简化计算，也就成了处理这类问题的难点与关

键解析几何题目中常用的简化运算的技巧有：圆锥曲线的概念、条件等价转化、以形助数、

设而不求以及通过构造以巧妙的方法减少运算量等。本例第(1)问，根据已知条件，利用基

本量求椭圆方程；第(2)问，先建立△OPQ面积的函数表达式，再求最值。其中函数变量的

选取尤为重要，不同的解析式有不同的求最值的方法

策略一由弦长公式求PQL由点到直线距离公式求d,由S=；|PQHZ得解析式，

换元法转化为用基本不等式求最值和/的方程

策略二由SPOQ=SAOQ-SAOP得函数解折式再进一步求解

策略三利用坐标法求解析式再进一步求解：

⑴解：设F(c,0),由条件知，一=」-,得c=JJ.又

c3

£=且,；.&=2,户=/一/=1,故E的方程为—+/=1.

a24

(2)【解法一】当LJ_x轴时，不合题意，故设L将y=kx-2代人椭圆方程，整理得

(4攵2+1卜2一［6近+12=0.

则4=(16%)2-48(4f+1)=16(4公_3)当△>(),即^>|时由弦长公式得

_______________________________---

IPQ|—|x1—x,|=Jl++%)~-—\ji+k~-----7----

2

又由点到直线的距离公式得点。到直线I的距离d=.

ViTF

八八八”如c八…,1L7T4,4k2—324y14k2-3

二AOPQ的面积S=一|PQ\xd--\\+k-----；-------1------------------------

224k2+14A2+1

贝ij4k2=t2+3且f>0,

当/=；,即t=2时，_OPQ的面积最大.此时*—3=2,解得k=±*

故所求直线I的方程为y=^-x-2或y=-^-x-2.AQ_L

22

工474o得（4公+1卜2—16日+12=0,玉+々=原12

由＜

4公+1'内々-41+1

sPQQ=s八。2-王|=J（N+工2）_一4%々=3

N十1

则4k2=t2+3且t＞0,

当t=~,即，=2时，—。尸。的面积最大.此时*—3=2,解得kd

t，

故所求直线/的方程为y=gx—2或y^-^x-2.

【解法二】

设直线/:丁=丘一2交椭圆E于R%,y）,Q（%，必）。且P在线段AQ上。

由〈、辰3'得（4%2+1%2-16入+12=0,%+看=,中）二——

x2+4y2-4=0'）।24尸+1।-4公+1

3

由△＞（）得k\0,~.

4

则SPQQ=S-S=1X2|X-X|=加|+%2）2-4中2=—青].同【解法

ADQAOP2I

一】得所求直线I的方程为y=-x-2或y=--x-2.

22

【解法三】

y=—2

设I的方程为y=kx-2,与椭圆方程联立得—2'

x+4y=4,

消去y整理得（4公+1卜2一]6自+12=0.

贝I]X]+/=4女2],西工2=4攵21,且由△＞（）,得

设点P、Q的坐标分别为（5,y）,（9,必），点。的坐标为（0,0），用坐标法求

..OPQ

x\y1

的面积s可表示为s=—9%1.

2o01

glx%-|=（［王（3-2）一%（例-2）］=%一x|

即S2

4左2+1

同【解法一】得所求直线I的方程为y=-x-2或y=--x-2.

22

22

例2已知椭圆的方程为、+十=1,月，鸟分别为椭圆的左、右焦点，线段PQ是椭圆上

过点F2的弦，则./片。内切圆面积的最大值为.

【解题策略】

求三角形内切圆面积的最大值即求内切圆半径的最大值。问题就集中到对三角形的研究，

三角形的一条边是过椭圆右焦点的一条弦，就涉及利用直线与椭圆的位置关系，势必设出PQ

所在直线方程，再深入求解，三角形面积可用其内接圆半径r来表示，也可以用

5闺用瓦一%|求出

策略一设直线方程的“点斜式”别忘了对斜率不存在时的讨论。求.P£Q面积关于k的

表达式可用S=|PQ|d（其中d为Fl到直线PQ的距离），而面积的又一表示形式为

S=L（三角形周长）xr（r为内切圆半径）题中各元素的关系就理顺了

2

策略二由于《（1,0）,可设直线方程为了=/政+1如此可以避免对斜率存在与否的讨论，

求,P"Q面积关于m的表达式可用5=；忻图|y％]，再运用导数法求最大值

【解法二】

如图19—1所示，设PF{Q的内切圆的半径为r,则SPFiQ=”|+以|+

|PQ|）"=4r

S1

:.r=^-.当直线$PQ$的斜率不存在时，易得|P。|=3,此时SPM].

\F}F2\-\PQ\=3,:.r=^;当直线PQ的斜率为k时，直线PQ的方程为y=k（x-l）.

22

将y=Z（x—1）代人y+^-=l,并整理得：（4公+3）/一8A2%+4公—12=0.设

〜~8k24左2—12

。（内，乂），。（工2，%），则%+“2=4心2；，中2=4心2;.

^TK十J^TK十D

图19-1

=ji+%2.ja-x2)~=ji+女，,Ja+*2)2—4中2

弘2丫虫2i212(公+1)

=J1+左2•

ZFTir软2+34公+3

2|%|

点F到直线$PQ$的距离d=

ty]k2+1

2\2

则S^=^\PQ\-d=n\k\yJk+\(S

PF,则PFQ

4k2+312)(4攵2+37

k2(k2+1)

-————^-r，设”=X+i,u=r

[3俨+1)+左2]

UV_1且〃_公+1

(3〃+v)2-9义y+上+6,「k2

Vu

设《…，设即生+*,则a）=9/

uV

当，>1时，r(0>0,/.9—+-+6>/(1)=16

Vu1

/o、2

1°c3

则

I12J<百二^APF,Q<3,，r<-

3

综上，当直线PQ垂直于x轴时，AP耳。的内切圆半径/"取得最大值i，

9

■,•片。的内切圆面积的最大值为7乃.

16

评注:上述解法中若用焦半径公式求IPQI则可以减少运算，有

|PQ^ia-ex^+ia—exA-la—eix,+%,）=4---—^——=—+—=1,

V"、27V124公+34/+33

并整理得（3m2+4）/+6噂，—9=0,

设P（&y）,。（赴,%）,则%+必=y％=一5^7^,

；•SA晔=g|6闾I*-%I=J（M+y2）2-4y%12』府+112

3m2+421

3y]m+\H—/

\m2+1

—----------，令t=ylm24-1..1.

3，川+1|丁1—

\Jm2+1

设/⑺=3，+；则广⑺=3->

则当，>1时,r⑺>o,

yjm2+lG[1+OO）,.-.36n。+1+-F^=.J（l）=4（当m=0时等号成立）,

yjnr+1

•,■S&PFiQ的最大值为3.

S33

此时r="产=7,即r的最大值为：.

444

9

，的内切圆面积的最大值为；7乃.

16

例3、(3017年高考数学浙江卷第21题)如图19-2所示，已知抛物线/=y，点

4W、呜'*抛物线上的点p®y)(—］过点，作直线”的垂线，垂足

为。.

(1)求直线AP斜率的取值范围；

(2)求1PAiIPQI的最大值.

解题策略本例两问以直线与抛物线的位置关系为载体，考查范围与最值的求解，可以有多种解

法，特别是第(2)问，更是妙思巧解迭出.

第⑴问

策略一

利用直线的斜率公式及X的取值范围求解

根据图形分析，抓住极端位置，利用导数确定抛物线在点A处

策略二

切线斜率及直线A6的斜率，从而确定开区间上斜率的范围

策略三

转化为直线AP与抛物线在区间内有实数解，由一元二次方程在内有交点运用

方程理论求解

第⑵问

策略一

先联立直线AP与3Q的方程，得出点。的横坐标，并表示出|B4|、|PQ|,然后构造函数求

IE4IPQI的最大值

策略二

由弦长公式求IAPI,利用勾股定理求|AQ|,而IPQHAQIIAPI,从而得|PA||PQI解析式，

运用导数求最大值

策略三

运用两点间距离公式求IAP||PQ|.再进一步求解

策略四

利用AP,AQ共线，6Q,AQ垂直得方程组求气,进一步求${|PQ|}$,而|AP|易求，再结合导数

法求解

策略五

运用向量运算实现转化，运用导数或四元均值不等式或配方法求解

束:蜡八

运用向量数量积的几何意义求解

策略七

使用极化恒等式，构造以中点M为圆心的圆与抛物线相切求解

策略八

构造以A8为直径的圆，利用相交弦定理求解

策略九

利用直线AP的参数方程的几何意义求解

策略十

直接运用向量数量积坐标运算结合均值不等式求解

人---11O

(1)解法一设直线AP的斜率为k,k=一小=

x+—

2

直线AP斜率的取值范围是(-1,1).

解法二由题意可知，直线AP的斜率介于抛物线在点A处切线斜率与直线AB的斜率之

间.由于y=V的导函数y=2x,y|x=_i=-1,

即抛物线在点A处切线的斜率为-1,又直线AB的斜率为1.

故直线AP斜率的取值范围是(-1,1).

解法三设直线AP的斜率为k,则直线AP的方程为了一；=女［》+；］

一/

1=n

y—Kx4—2k.+1

由.4I2人得关于x的一元二次方程为/一日------=0.

,4

由题意可知，上述方程在区间内有实数解.

A=(-A:)2-4xlxf-^lj>0

1-k3

---<------<一解得一1＜攵＜1.

22x12

2A+1

>0

4

故直线AP斜率的取值范围是(-1.1).

,1,1八

kx-y+—k+—=Q,

-24

⑵解法一联立直线AP与BQ的方程

93

x+ky——k——=0.

-42

-k2+4G+3

解得点Q的横坐标是q="-

|E4|=Jl+12(x+；仅一女+

=ViT淳(%+1),IPQ1=ViT尸(q_x)=_1)(1/

VF+1

■.\PA\\PQ\=-(k-l)(k+\)3.

令f(k)=Tk-W+1)3vf'{k)=-(4k-2)(女+1)2

•••/(幻在区间(一1,；)上单调递增，(g,1]上单调递减.

127

因此，当％=q时，1PAiIPQI取得最大值”.

216

解法二设A(x”yJ、0(马,%)，设直线AP：y=Z(x+g]+；，联立抛物线方

[xt+x2=k

程f=y得W一日一左一=0,由韦达定理得]1，

24x,Xj=­k—

I1-24

AP\=J1+P宙_/I=(左+1)J1+L

|AQI=J|A8|2_|%]=等12,

“2+]

••.IPAIIPQ\=\PA\(\AQ\-\AP\)

2

=(k+1)71+A:12，+D-(k+1)J1+1=(1-巧(1+%)2

令/(&)=(1-&2/1+&)2=一伙一[)伏+1)3,以下同解法一

解法三设A(X|，x)、。(马，%)、。(工3，%)・

设直线AP:y=Z(x+g]+：,联立抛物线方程炉=y得f_履_；%_；=o

Xj+%2=k,x、———,X-,=k+3

y=^+―,^2+^+—I

274I24j

222

•'.IAP|=y/(x,-x2)+(y,-y2)=(女+l)y/l+k

••,点Q坐标为左(x,+；)+(),H.AQ-BQ=O,

_-k2+4k+3_9k2+Sk+l

T=不可,.』=4俨+1)，

•'-IPQ\=#3一/)2+(%-%『

・•.|PA|-|PQ|=(1—二)(1+62.

令/（X）=（l—公/1+左）2=_（左_1）伏+］）3,以下同解法一

解法四：设尸）（_（</<,）,Q（七，%）

•••AP与A。共线,

-4/+20/+3

由此,求得点。横坐标为七=

2(4/一4f+5)

16

记g("二5(-16〃+24/2+⑹+3),则短⑺=(1—。(2,+1)2

27

•1•当♦=1时取得最大值.此时g«)max=—

16

解法五：|PA||PQ|=-PAPQ=—PA(P3+5。),PABQ=O

”川及・麻丽=1+黑7卜卜-提-4卜+班刊

令y(x)=(x+g)[|—q(-：<%<(此函数求最大值的方法有多种).

(1V

方法1:7'(%)=4x+—(1-x),

k2)

.•・当一；<X<1时，0,f(x)单调递增；

3

当1<X<2时，r(x)vO,/(x)单调递减.

27

当尤=1时，/(%)取得最大值，且"(矶陋=/⑴=/.

16

27

・・.|PA||PQ|的最大值为7T.

(1Yf3

方法2:7(x)=x+---x

<2JV2

27

「(四元均值不等式).

316

19

当且仅当一+x=-—3x,即％=1时取等号,

22

27

•.IPAII尸。|的最大值为7.

16

(l?f3、

方法3:/(x)=|x+不--x

\2)\27

=-x4+—x2+x+—=-(x2—l)2-■-(x-1)2+—„27

216v721616

当且仅当》2-1=0,工一1=0得8=1€取等号.

27

.•■IPAIIPQ|的最大值为二.

16

解法六:•••IPQI是所在PQ上的投影，

PA||PQ|=-PA-PQ=-PA-PB设)(一g<.<!).

则9/8=。+,,/2」]0_3户_2]=/4_3/2__2_

(24A24)216

33

记g。)=「一，一；7,则,(，)=。一1)(2，+1)2,

216

/、27

..・当，=1时,^(0^=-—,

16

27

・・.|PA||PQ|的最大值为二.

16

解法七：IPQI是在PQ上的投影,・・.|PA||PQ|=-PA・PQ=-PAP3

.2-2

取AB中点/，则由极化恒等式可得PA-P5=PM-BM.

•••|8"|是定值，」.要求PA最小值，只要求的最小值.

以M为圆心作圆使得圆和抛物线相切，此时|PM|最小.

(1V(5丫

设圆M:x——+y——=a(a>0),

I2jV4；

(iA2(5、2

与抛物线方程V=y联立得x——+%2--=a(a>0)

II4；

设2(马,%)，则抛物线在点P处的斜率为左2=(/)'［、=2%.

25

%2---

,•k2kMp=-1,•:=-1,得/二］

*2-二

-2

.2-22727

・・.可得尸（1,1）,m\PA\\PQ\=PM—即|B4||PQ|的最大值为.

16t716T

解法八：由题意易得点。在以A