专训15.3.1 解分式方程+相关类型题-简单数学之2021-2022学年八年级上册考点专训（解析版）（人教版）

专训15.3.1解分式方程+相关类型题一、单选题1．（2021·山东省泰安第十五中学八年级月考）下列方程不是分式方程的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程进行判断．【详解】解：A、方程分母中含有未知数x，是分式方程，故本选项不符合题意；B、方程分母中不含有未知数x，不是分式方程，故本选项符合题意；C、方程分母中含有未知数x，是分式方程，故本选项不符合题意；D、方程分母中含有未知数x，是分式方程，故本选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了分式方程的定义，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．2．（2021·山东省泰安第十五中学八年级月考）已知方程：①；②；③；④．这四个方程中，分式方程的个数是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分母中含有未知数的方程叫分式方程，根据定义解答．【详解】解：根据定义可知：①②③为分式方程，故选：C．【点睛】此题考查分式方程的定义，熟记定义是解题的关键．3．（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学九年级期中）方程的解是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：5（x+3）=x-1，

去括号得：5x+15=x-1，

解得：x=-4，

检验：把x=-4代入得：（x-1）（x+3）≠0，

∴分式方程的解为x=-4．故选：C．【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．4．（2021·湖南·新化县东方文武学校八年级期中）若关于x的方程有增根，则m的值是（）A．3 B．2 C．1 D．任意值【答案】B【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到x=1，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．【详解】解：，方程两边都乘以，得，∵原方程有增根，∴最简公分母，解得x=1，当x=1时，m=2，故m的值是2．故选：B．【点睛】增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．5．（2021·河南淇县·八年级期中）若分式方程有增根，则它的增根为()A．0或13 B．1 C．1或-2 D．3【答案】C【分析】本题依据增根的定义，使最简公分母（x-1）（x+2）=0，且能够使整式方程成立，即可求出原方程的增根．【详解】解：去分母得x（x+2）=m，∵分式方程有增根，最简公分母（x-1）（x+2）=0，∴解得x1=1，x2=-2．当x=1时，得m=3，符合题意；当x=-2时，得m=0，符合题意；∴原分式方程的增根为1或-2．故选：C．【点睛】本题考查了分式方程的增根．确定增根可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定可能的增根；②化分式方程为整式方程；③把可能的增根代入整式方程，使整式方程成立的值即为分式方程的增根．6．（2021·重庆市育才中学九年级月考）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的积为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先解关于x的一元一次不等式组，再根据其解集是x≤a，得a≤9；再解分式方程，根据其有非负整数解，同时考虑增根的情况，得出a的值，再求积即可．【详解】解：由不等式组得：，∵解集是x≤a，∴a9；由关于y的分式方程得a-y+y-2=3y-4，∴，且，∵有非负整数解，∴，且，解得：，且，∴-2a＜9，且，∴能使y有非负整数解的a为-2，1，7，它们的积为：-217=-14．故选：C．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，考核学生的计算能力，解题时注意分式方程一定要检验．7．（2021·河南·八年级期末）如果关于x的方程的解为非负数，且关于x，y的二元一次方程组解满足，则满足条件的整数a有（）个．A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】先解分式方程求出a的取值范围，然后由二元一次方程组求出a的范围，最后求出a的值．【详解】解：解方程，得，，，但当时，是增根，，，且，由二元一次方程组得，，足，，，，，且，为整数，满足条件的整数a有，，，0，故选：D．【点睛】本题考查了分式方程与二元一次方程组，能熟练解方程是解题的关键8．（2021·重庆实验外国语学校九年级月考）关于x的分式方程有整数解，且关于y的不等式组有解，则所有满足条件的正整数a的和是（）A．6 B．12 C．14 D．20【答案】A【分析】先用a表示出分式方程的解，再根据整数解求出a的可能值，然后再通过不等式组进一步确定a的值，最后求和即可．【详解】解：∵∴y＜，y≥∵关于y的不等式组有解∴不等式组的解集为≤y＜，∴＜，即a-3＜5，可得a＜8由有整数解,可得：x=,即a为偶数∵x≠-1∴x≠6∵正整数a∴a=2或a=4∴4+2=6．故选A．【点睛】本题主要考查了解分式方程、解不等式组等知识点，正确求解分式方程成为解答本题的关键．9．（2021·重庆一中九年级月考）若关于的不等式组有且仅有4个整数解，且关于的分式方程解为整数，则符合条件的所有整数的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】解不等式组可确定4个整数解，从而可确定a的范围及整数a的值，再解分式方程，根据条件即可确定整数a的个数．【详解】解不等式组每个不等式得：由题意得：所以不等式组仅有的4个整数解为0，1，2，3∴解得：因a为整数，故a取值为：-1，0，1，2，3解关于的分式方程，得∴a+6=5，6，7，8，9∵分式方程的解为整数∴a+6=6或9此时对应a的值为：0和3但当a=0时，y=2，它是分式方程的增根，所以满足条件的整数a只有1个故选：A．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组和解分式方程，利用不等式组的解含有整数解与分式方程的解为整数，确定参数的取值范围，要注意的是，求出a的值后要检验分式方程的解是否是增根．10．（2020·江苏·南通市新桥中学八年级月考）已知关于x的方程的解不大于1，则a的取值范围是（）A．且 B．且 C．且 D．且【答案】B【分析】先把分式方程化为整式方程求出，再根据分式有意义的条件和分式方程的解不大于1列出不等式求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∵关于x的方程的解不大于1，∴∴且，故选B【点睛】本题主要考查了解分式方程，分式有意义的条件，分式方程的解，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．11．（2021·四川宣汉·八年级期末）若数使关于的不等式组有且仅有五个整数解，且使关于的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为（）A．－3 B．－2 C．1 D．－1【答案】A【分析】先求出不等式组的解集，根据只有五个整数解确定出a的取值范围，解分式方程后根据解为非负数，可得关于a的不等式组，解不等式组求得a的取值范围，即可最终确定出a的范围，将范围内的整数相加即可得．【详解】解：解不等式组，得，∵由于不等式组只有五个整数解，即只有五个整数解，∴这五个整数解为1，2，3，4，5，∴，∴；解分式方程，得，∵分式方程的解为非负数，∴，∴a≤2且a≠1，∴且a≠1，符合条件的所有整数为：-1，0，-2，和为：-1+0+（-2）=-3，故选A．【点睛】本题考查含有参数的不等式组和含有参数的分式方程的应用，熟练掌握不等式组的解法、分式方程的解法以及解分式方程需要注意的事项是解题的关键．12．（2021·河北·献县教育体育局教研室八年级期末）若关于的分式方程有增根，则的值是（）A． B．-1 C．1 D．【答案】D【分析】首先解出分式方程的解，然后根据增根找到的值，代入分式方程的解中求解即可．【详解】，解得．∵关于的分式方程有增根，，，，解得，故选：D．【点睛】本题主要考查分式方程，掌握增根产生的原因是关键．13．（2021·浙江越城·七年级期末）已知关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣2或﹣3 D．0或3【答案】C【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．【详解】解：两边都乘以x（x﹣3），得：x（x+m）﹣x（x﹣3）＝x﹣3，整理，得：（m+2）x＝﹣3，解得：，①当m+2＝0，即m＝﹣2时整数方程无解，即分式方程无解，②∵关于x的分式方程﹣1＝无解，∴或，即无解或3（m+2）＝﹣3，解得m＝﹣2或﹣3．∴m的值是﹣2或﹣3．故选C．【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法，注意分母不等于0的条件．二、填空题14．（2021·四川邛崃·八年级期末）若关于的一元一次不等式组的解集为；且关于y的分式方程有负整数解，则所有满足条件的m的整数值之和是__________．【答案】-8【分析】化简一元一次不等式组，根据解集为得到m的取值范围，解分式方程，根据解是负整数，且不是增根，确定整数m的取值，从而求解．【详解】解：∵，解不等式①，得：，解不等式②，得：，又∵不等式组的解集为，∴；分式方程去分母，得：，解得：．又∵分式方程有负整数解，且，∴符合条件的整数m可以取-7，-1，其和为-7+(-1)=-8，故答案为：-8．【点睛】本题考查分式方程的解，一元一次不等式组的解；熟练掌握分式方程的解法，一元一次不等式组的解法，对分式方程切勿遗漏增根的情况是解题的关键．15．（2021·四川渠县·八年级期末）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是_______．【答案】m＜-2且m≠-4【分析】首先解方程求得方程的解，根据方程的解是正数，即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围．【详解】解：∵关于x的方程有解，∴x-2≠0，去分母得：2x+m-x+2=0，即x=-m-2，根据题意得：-m-2＞0且-m-2≠2，解得：m＜-2且m≠-4．故答案是：m＜-2且m≠-4．【点睛】本题主要考查了分式方程的解的符号的确定，正确求解分式方程是解题的关键．三、解答题16．（2021·全国·八年级课时练习）小明解方程的过程如下：方程两边都乘，得．解这个方程，得．所以是原方程的根．你认为小明的解法对吗？为什么？【答案】不对，见解析【分析】解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．【详解】解：不对；方程两边都乘2x-1，得：x-2+（2x-1）=-1.5．解这个方程，得x=．经检验x=是该方程的增根，所以该分式方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．17．（2021·湖南·衡南县北斗星中学八年级期中）.解方程（1）＝（2）＝2+．【答案】（1）无解；（2）【分析】（1）根据分式方程的性质，首先去分母并求解，再经检验，即可得到答案；（2）根据分式方程的性质，首先去分母并求解，再经检验，即可得到答案．【详解】（1）去分母得：解得：经检验是增根∴分式方程无解；（2）去分母得：，解得：，经检验，时，∴是分式方程的解．【点睛】本题考查了分式方程、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握分式方程的性质，从而完成求解．18．（2021·江西婺源·八年级月考）解方程：【答案】x＝－4．【分析】移项后通分，在方程两边都乘以得出整式方程，求出方程的解，最后进行检验即可求解．【详解】解：原方程化为，∴，∴，∴，解得x＝－4．经检验：是原方程的根，所以原方程的根为：【点睛】此题考查的是解分式方程的方法和步骤，本题较复杂，但是经过适当变形后，还是可以将其视为普通的分式方程进行求解，熟练掌握分式方程的基本解法是解决问题的关键．19．（2021·吉林·长春市第八十七中学八年级期中）解方程：（1）（2）【答案】（1）；（2）原方程无解【分析】（1）先去分母，然后再求解方程即可；（2）两边同乘（x+2），然后再求解方程即可．【详解】解：（1）去分母得：，去括号得：，解得：，经检验是原方程的解，∴原方程的解为；（2）去分母得：，去括号，移项得：，解得：，经检验：当时，分母为0，∴原方程无解．【点睛】本题主要考查分式方程的求解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键，注意分式方程要检验．20．（2021·全国·八年级课时练习）解方程：（1）；（2）；（3）【答案】（1）；（2）无解；（3）【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：（1），去分母得：x+1=1，解得：x=0，检验：把x=0代入得：x2-1≠0，∴x=0是分式方程的解；（2），去分母得：1+3(x-2)=x-1，解得：x=2，检验：把x=2代入得：x-2=0，∴x=2是分式方程的增根，∴分式方程无解；（3）去分母得：2(2-x)=x+3+2，解得：x=-，检验：把x=-代入得：x+3≠0，∴x=-是分式方程的解．【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．21．（2021·河北联邦国际学校八年级月考）计算或解分式方程：（1）（2）（3）（4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）原方程无解．【分析】（1）直接利用分式的基本性质进行计算求解即可；（2）先利用平方差公式和完全平方式将原式变为，然后利用分式的基本性质进行化简即可；（3）先把分式方程变为整式方程，然后解方程，最后进行检验即可；（4）先把分式方程变为整式方程，然后解方程，最后进行检验即可．【详解】解：（1）；（2）；（3）∵∴，∴，解得，经检验是原方程的解；（4）方程两边同时乘以得：，∴，解得，经检验不是原方程的解，∴原方程无解．【点睛】本题主要考查了解分式方程，分式的化简和分式的加减运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算方法．22．（2021·山东·济宁市实验初中八年级月考）解方程：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）无解．【分析】（1）先去分母、去括号，然后移项合并，系数化为1，再进行检验，即可得到答案；（2）先去分母、去括号，然后移项合并，系数化为1，再进行检验，即可得到答案．【详解】解：（1），方程两边同时乘以，得，去括号，得，移项合并，得，系数化为1，得；检验：把代入中，；∴原分式方程的解为；（2），方程两边同时乘以，得，去括号，得，移项合并，得，系数化为1，得；检验：把代入中，；∴原分式方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法，注意解分式方程需要检验．23．（2021·全国·八年级课时练习）解方程：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）无解；（3）【分析】（1）将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．（2）将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．（3）将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：（1）；去分母得：x+4=4，解得：x=0，

检验：把x=0代入得：（x+4）（x-4）≠0，

∴x=0是分式方程的解．∴原分式方程解为：x=0（2）；去分母得：3x-（x+2）=0，

整理得：3x-x-2=0，

解得：x=1，

检验：把x=1代入得：x（x-1）=0，

∴x=1不是分式方程的解．∴原分式方程无解（3）解：去分母得：2-x-1=x-3，

整理得：-x-x=-3+1-2，

解得：x=2，

检验：把x=2代入得：x-3≠0，

∴x=2是分式方程的解．∴原分式方程无解为x=2【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．24．（2021·山东青岛·八年级单元测试）观察下列算式：，，（1）由上可以类似地推出：（2）用含字母n的等式表示（1）中的一般规律（n为非零自然数）；（3）用以上方法解方程：．【答案】（1）（答案不唯一）；（2）；（3）x＝2【分析】（1）仿照已知等式推理得出下一个等式即可；（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）利用拆项的方法化简方程，求出解即可．【详解】解：（1）由上可以类似地推出：；故答案为：（答案不唯一）；（2）根据题意可得：它的一般规律是；（3）将方程化为：，即，解得：，经检验是原分式方程的解，∴原方程的解为．【点睛】此题考查了解分式方程，以及规律型：数字的变化类，熟练掌握拆项的方法是解本题的关键．25．（2021·全国·八年级课时练习）解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）无解【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：（1）两边同乘（x−2），得：3＋x＝−2（x−2），去括号得：3＋x＝−2x＋4，移项合并得：3x＝1，解得：，经检验，是原方程的解；（2）两边同乘（x−1）（x＋1），得：−4＝−1，去括号得：＋2x＋1−4＝−1，移项合并得：2x＝2，解得：x＝1，经检验，x＝1是原方程的增根，则原方程无解．【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．26．（2021·湖南·衡阳市华新实验中学八年级月考）已知关于的分式方程，若此方程的解是正数，求的取值范围．【答案】且【分析】根据分式方程的解法，解出，再根据题意列出不等式求解即可．【详解】解：∵去分母得：解得：因为方程的解为正数，∴∴，又∵，∴∴，∴m的取值范围为：且【点睛】本题考查了根据分式方程解的情况求分式方程中的参数，解题的关键是掌握分式方程的解法，并且注意分式方程增根的问题．27．（2020·江苏·南通市新桥中学八年级月考）若关于x的分式方程无解，求m的值．【答案】m的值是-0.5或-1.5．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程求出m的值或未知数的系数为0，求出m即可．【详解】解：方程两边都乘x(x-3)，得，即，当2m+1=0时，这个方程无解，此时m=-0.5，关于x的分式方程无解，故x=0或x-3=0，即x=0或x=3，当x=0时，代入(2m+1)x=-6，得(2m+1)·0=-6，此方程无解，当x=3时，代入(2m+1)x=-6，得(2m+1)·3=-6，解得m=-1.5，综上所述，m的值是-0.5或-1.5．【点睛】本题考查了分式方程的无解，一种方程的系数为零，一种是增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．28．（2021·浙江东阳·七年级期末）关于x的分式方程：．（1）当m＝3时，求此时方程的根；（2）若这个关于x的分式方程会产生增根，试求m的值．【答案】（1）x=-5；（2）-4或6【分析】（1）把m=3代入分式方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．【详解】解：（1）把m=3代入方程得：，去分母得：3x+2x+4=3x-6，解得：x=-5，检验：当x=-5时，（x+2）（x-2）≠0，∴分式方程的解为x=-5；（2）去分母得：mx+2x+4=3x-6，∵这个关于x的分式方程会产生增根，∴x=2或x=-2，把x=2代入整式方程得：2m+4+4=0，解得：m=-4；把