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文档简介
22.3实际问题与二次函数第1课时:抛掷问题与几何图形最值第二十二章
学习目标1)根据实际问题,找出变量之间存在的关系,列出函数关系式并确定自变量的取值范围。2)通过二次函数顶点公式求实际问题中的极值。重点列出二次函数关系式,并确定自变量的取值范围。难点通过二次函数顶点公式求实际问题中的极值。利用二次函数解决抛掷问题06【分析】画出函数的图像h=30t-5t2(0≤t≤6),可以看出这个函数图象是一条抛物线的一部分。而我们已知二次函数与对称轴的交点,可以得到二次函数的最大值(或最小值)。小球运动的时间是3s时,小球最高.最大高度是45m.例1从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6).小球的运动时间是多少时,小球最高?小球运动中的最大高度是多少?利用二次函数解决抛掷问题3米4米4米
例2
提示:判断球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上.3米4米4米xy运用二次函数知识解决实际问题的步骤:1.分析题意,把实际问题转化为数学问题,画出图形.2.根据已知条件建立适当的平面直角坐标系.3.选用适当的函数解析式求解.4.根据二次函数的解析式解决具体的实际问题.抽象转化数学问题运用数学知识解决问题实际问题(二次函数解决抛掷问题)
(二次函数解决抛掷问题)例题2把一个足球垂直地面向上踢,t(秒)后该足球的高度h(米)适用公式h=20t-5t2.(1)经多少秒后足球回到地面?(2)圆圆说足球的高度能达到21米,方方说足球的高度能达到20米.你认为圆圆和方方的说法对吗?为什么?1)解:当h=0时,20t−5t2=0,解得:t=0或t=4,答:经4秒后足球回到地面;2)方方的说法对,理由:将h=21代入公式得:21=20t−5t2,移项得5t2−20t+21=0,由判别式计算可知:△=(−20)2−4×5×21=−20<0,此方程无解;将h=20代入公式得:20=20t−5t2,解得:t=2,∴足球确实无法到达21米的高度,能达到20米,故方方的说法对.例题3足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出,足球飞行的路线是一条抛物线.不考虑空气阻力,足球距离地面的高度h(单位:m)与足球被踢出后经过的时间t(单位:s)之间的关系如下表:下列结论:①足球距离地面的最大高度为20m;②足球飞行路线的对称轴是直线t=4.5;③足球被踢出9s时落地;④足球被踢出1.5s时,距离地面的高度是11m.其中正确结论的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4(二次函数解决抛掷问题)【详解】解:由题意,抛物线的解析式为y=ax(x﹣9),把(1,8)代入可得a=﹣1,∴y=﹣t2+9t=﹣(t﹣4.5)2+20.25,∴足球距离地面的最大高度为20.25m,故①错误,∴抛物线的对称轴t=4.5,故②正确,∵t=9时,y=0,∴足球被踢出9s时落地,故③正确,∵t=1.5时,y=11.25,故④错误,∴正确的有②③,故选B.利用二次函数解决几何图形最值问题例3用总长为60m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长x的变化而变化。当x是多少时,场地的面积S最大,最大面积是多少?矩形区域xx
利用二次函数解决几何图形最值问题例4如图,用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18m,这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大?最大面积是多少?实际问题中求解二次函数最值问题时,函数的最值要考虑自变量的取值范围:1)当自变量的取值包含顶点时,函数的最值在函数的顶点处取得;2)当自变量的取值不包含顶点时,函数的最值一般在端点处取得,此时要考虑函数的增减性。利用二次函数解决几何图形最值问题例5如图,在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆,围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃,设花圃的宽AB为x米,面积为S平方米。(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围;(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大,最大值是多少?(3)若墙的最大可用长度为8米,则求围成花圃的最大面积。ABCDxxxx24-4x1)S=x(24-4x)=-4x2+24x(0<x<6)
3)∵墙的可用长度为8米∴0<24-4x≤8∴4≤x<6∴当x=4cm时,S最大值=32平方米(二次函数解决几何图形最值问题)
(二次函数解决几何图形最值问题)例题2用一条长为40cm的绳子围成一个面积为S的长方形,S的值不可能为()A.20B.40C.100D.120
(二次函数解决几何图形最值问题)例题3用长为6m的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框,要使做成的窗框的透光面积最大,则该窗的长,宽应分别是多少?
x
用二次函数解决实际问题的一般步骤:1.审:仔细审题,厘清题意;2.设:找出题中的变量和常量,分析它们之间的关系,与图形相关的问题要结合图形具体分析,设出适当的未知数;3.列:用二次函数表示出变量和常量之间的关系,建立二次函数模型,写出二次函数的解析式;4.解:依据已知条件,借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题;5.检:检验结果,进行合理取舍,得出符合实际意义的结论.22.3实际问题与二次函数第2课时:销售问题与拱桥问题第二十二章学习目标1)根据实际问题,找出变量之间存在的关系,列出函数关系式并确定自变量的取值范围。2)通过二次函数顶点公式求实际问题中的极值。重点列出二次函数关系式,并确定自变量的取值范围。难点通过二次函数顶点公式求实际问题中的极值。利用二次函数解决销售问题某产品现在售价为每件60元,每星期可卖出300件。市场调查反映:如果调价,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元,请问:1)题中调整价格的方式有哪些?2)如何表示价格与利润之间的关系?涨价和降价利润=每件产品利润×销售数量利用二次函数解决销售问题某产品现在售价为每件60元,每星期可卖出300件。市场调查反映:如果调价,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元,请问:3)如何定价才能使每周利润最大化并确定x的取值范围?【销售最大利润问题关键】先通过价格与利润关系得到二次函数的关系式,根据函数图象及性质求最大值。①设每件涨价x元,则此时每星期少卖______件,实际卖出________________件,此时每件产品的销售价为__________元,每周产品的销售额___________________元,此时每周产品的成本______________元,因此周利润合计为:
当产品单价涨价5元,即售价65元,最大利润为6250元10x
60+x(60+x)(300-10x)40×(300-10x)利用二次函数解决销售问题某产品现在售价为每件60元,每星期可卖出300件。市场调查反映:如果调价,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元,请问:3)如何定价才能使每周利润最大化并确定x的取值范围?【销售最大利润问题关键】先通过价格与利润关系得到二次函数的关系式,根据函数图象及性质求最大值。②设每件降价x元,则此时每星期多卖______件,实际卖出________________件,此时每件产品的销售价为__________元,每周产品的销售额___________________元,此时每周产品的成本______________元,因此周利润合计为:20x
60-x(60-x)(300+20x)40×(300+20x)
当产品单价降价2.5元,即售价57.5元,最大利润为6125元利用二次函数解决销售问题某产品现在售价为每件60元,每星期可卖出300件。市场调查反映:如果调价,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元,请问:3)如何定价才能使每周利润最大化并确定x的取值范围?【销售最大利润问题关键】先通过价格与利润关系得到二次函数的关系式,根据函数图象及性质求最大值。当产品单价降价2.5元,即售价57.5元,最大利润为6125元。当产品单价涨价5元,即售价65元,最大利润为6250元。当产品售价60元,利润6000元。综上所述,当涨价5元时利润最大,最大利润6250元(利用二次函数解决销售问题)例题1某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:如果调整价格,每涨1元,每星期要少卖8件;每降价1元,每星期可多卖12件.已知商品的进价为每件40元.
(1)设每件涨价x元,每星期售出商品的利润为y元,求出y关于x的函数关系式;
(2)设每件降价x元,每星期售出商品的利润为y元,求出y关于x的函数关系式;
(3)问如何定价才能使利润最大?
解:(1)y1=(60+x-40)(300-8x)=-8x2+140x+6000=-8(x-8.75)2+6612.5,
(2)y2=(60-x-40)(300+12x)=-12x2-60x+6000=-12(x+2.5)2+6075,
(3)当售价定为68.75时,利润才能达到最大值6612.5.(利用二次函数解决销售问题)
例题二某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表:已知日销售量y是售价x的一次函数.(1)直接写出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式;(2)要使每日的销售利润最大,每件产品的售价应定为多少元?此时的日销售利润是多少?(3)若日销售利润不低于125元,请直接写出售价的取值范围.(利用二次函数解决销售问题)
例题二某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表:已知日销售量y是售价x的一次函数.(1)直接写出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式;(2)要使每日的销售利润最大,每件产品的售价应定为多少元?此时的日销售利润是多少?(3)若日销售利润不低于125元,请直接写出售价的取值范围.(利用二次函数解决销售问题)例题三某文具店购进一批纪念册,每本进价为20元,出于营销考虑,要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元,在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x(元)之间满足一次函数关系:当销售单价为22元时,销售量为36本;当销售单价为24元时,销售量为32本.(1)求出y与x的函数关系式;
(利用二次函数解决销售问题)例题三某文具店购进一批纪念册,每本进价为20元,出于营销考虑,要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元,在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x(元)之间满足一次函数关系:当销售单价为22元时,销售量为36本;当销售单价为24元时,销售量为32本.(2)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时,每本纪念册的销售单价是多少元?(2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时,每本纪念册的销售单价是x元,根据题意,得(x-20)y=150,即(x-20)(-2x+80)=150.解得x1=25,x2=35(舍去).答:每本纪念册的销售单价是25元.(利用二次函数解决销售问题)例题三某文具店购进一批纪念册,每本进价为20元,出于营销考虑,要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元,在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x(元)之间满足一次函数关系:当销售单价为22元时,销售量为36本;当销售单价为24元时,销售量为32本.(3)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元,将该纪念册销售单价定为多少元时,才能使文具店销售该纪念册所获利润最大?最大利润是多少?(3)由题意,可得w=(x-20)(-2x+80)=-2(x-30)2+200.∵售价不低于20元且不高于28元,当x<30时,y随x的增大而增大,∴当x=28时,w最大=-2×(28-30)2+200=192(元).答:该纪念册销售单价定为28元时,能使文具店销售该纪念册所获利润最大,最大利润是192元.利用二次函数解决拱桥问题如图是一座抛物线形拱桥,当拱桥顶离水面2m时,水面宽4m。水面下降1m,水面宽度为多少?水面宽度增加多少?2m4mx0y
新建坐标轴位置不同,所列方程不同利用二次函数解决拱桥问题如图是一座抛物线形拱桥,当拱桥顶离水面2m时,水面宽4m。水面下降1m,水面宽度为多少?水面宽度增加多少?2m4mx0y
利用二次函数解决拱桥问题如图是一座抛物线形拱桥,当拱桥顶离水面2m时,水面宽4m。水面下降1m,水面宽度为多少?水面宽度增加多少?2m4mx0y
利用二次函数解决拱桥问题如图是一
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