高中数学解析几何椭圆性质与定义

椭圆的性质及应用一、圆锥曲线圆锥与平面的截线通常有：圆、椭圆、双曲线、抛物线，其中的椭圆、双曲线、抛物线叫圆锥曲线，其中抛物线是圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线，双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线，圆是圆锥面与垂直于轴的平面相截而得的曲线，其他平面截取的则为椭圆。圆锥曲线有一个共同的定义：即：圆锥曲线是到定点距离与到定直线间距离之比为常值的点之轨迹。二、椭圆的定义椭圆是平面上到两定点的距离之和为常值的点之轨迹，也可定义为到定点距离与到定直线间距离之比为一个小于1常值的点之轨迹。椭圆的第一定义：平面内与两定点F、F'的距离的和等于常数2a(2a>|FF'|)的动点P的轨迹叫做椭圆。即：│PF│+│PF'│=2a，其中两定点F、F'叫做椭圆的焦点，两焦点的距离│FF'│叫做椭圆的焦距。若2a=|FF'|，为线段，若2a<|FF'|，不存在。PFPFF`现设P的坐标为（x,y），F的坐标为（C,0）整理可得：定义：则椭圆的方程可表示为：椭圆在方程上可以写为标准式，(a>b>0)，这样的椭圆长轴在x轴上，焦点在X轴时，若，(a>b>0)，这样的椭圆长轴在y轴上。焦点在y轴时。有两条线段，a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长，当a>b时，焦点在x轴上，焦距为，焦距与长、短半轴的关系:椭圆的第二定义由椭圆的第一定义：可到椭圆方程为：将代入，可得：所以：由此可得：所以可得椭圆的第二个定义：平面上到定点F距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合（定点F不在定直线上，该常数为小于1的正数）,其中定点F为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线（该定直线的方程是）。常数e是椭圆的离心率。注意：准线和焦点对应，左准线对应左焦点，右准线对应右焦点下面我们介绍第二定义的几何说明：可以找到两个球，它们均满足：和圆锥相切于一个圆，与截面相切于一个点。一个在截面和圆锥顶角之间（即截得的圆锥体的内切球，小球），另一个在截面与圆锥顶角异侧（即圆锥体外切球，大球）。两个球与截面相切的两个点即是两个焦点，两个球与圆锥相切的两个圆，那两个圆所在的两个平面（它们是平行的）分别与原来的截面的交线即是两条准线。通过三角函数的知识应该可以证明截得的图形上的点到焦点和到相应准线的比值为定值设P为截面与圆锥交线上的动点，两个球与截面的交点为固定点，即为椭圆的焦点，平面与平面的交线为固定直线，即为椭圆的准线。E为大球和截面的交点，显然PP1为动点到定直线的距离，设大的球心为O，PE和PP2为大球外一点P到大球的两个切线，所以有PE=PP2思考为什么PE一定为切线，（PE为截面内的直线，而截面与球仅仅一个交点）椭圆的第三定义：椭圆的其他定义根据椭圆的一条重要性质也就是椭圆上的点与椭圆短轴两端点连线的斜率之积是定值（）可以得出：平面内与两定点的连线的斜率之积是常数k的动点的轨迹是椭圆，此时k应满足一定的条件，也就是排除斜率不存在的情况。三、.圆锥曲线的几何性质：1.椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ，y=bsinθ5．点P与一定点F(2，0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．三、例题讲解例1：求出椭圆方程和长轴顶点、焦点、准线方程；解：因为把椭圆向右平移一个单位即可以得到椭圆所以问题1中的所有问题均不变，均为长轴顶点、焦点、准线方程分别为：，；长轴顶点、焦点、准线方程分别为：，；思考：求出椭圆方程准线方程例2、设AB是过椭圆右焦点的弦，那么以AB为直径的圆必与椭圆的右准线（）A.相切B.相离C.相交D.相交或相切分析：如何判断直线与圆的位置关系呢？解：设AB的中点为M，则M即为圆心，直径是|AB|；记椭圆的右焦点为F，右准线为；过点A、B、M分别作出准线的垂线，分别记为由梯形的中位线可知又由椭圆的第二定义可知即又且故直线与圆相离例3、已知点为椭圆的上任意一点，、分别为左右焦点；且①求的最小值②求的最小值③求的最小值①分析：应如何把表示出来解：左准线：，作于点D，记由第二定义可知：⇒⇒故有所以有当A、M、D三点共线时，|MA|+|MD|有最小值：即的最小值是变式1：的最小值；解：变式2：的最小值；解：DDAF111MF211②其最小值=10-AF2课堂练习：已知的右焦点，点M为椭圆的动点，求的最小值，并求出此时点M的坐标。例4.已知，为椭圆上的两点，是椭圆的右焦点．若，的中点到椭圆左准线的距离是，试确定椭圆的方程．解：由椭圆方程可知、两准线间距离为．设，到右准线距离分别为，，由椭圆定义有，所以，则，中点到右准线距离为，于是到左准线距离为，，所求椭圆方程为．例5．方程表示什么曲线？解：；即方程表示到定点的距离与到定直线的距离的比常数（且该常数小于1）方程表示椭圆例6、（06四川高考15）如图把椭圆的长轴AB分成8等分，过每个等分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，F是椭圆的一个焦点，则=解法一：，设的横坐标为，则不妨设其焦点为左焦点由得解法二：由题意可知和关于轴对称，又由椭圆的对称性及其第一定义可知，同理可知，，故例7.动圆与定圆C1：（x+1）2+y2=36内切,与定圆C2：（x-1）2+y2=4外切，求圆心M的方程。椭圆练习题1．椭圆第二定义的应用：例1．设是椭圆上任意一点，为其左焦点，求的最值．例2．在椭圆上求一点，使它到两焦点的距离之积为16．例3．已知A、B是椭圆上的两点，是其右焦点，若，中点到椭圆左准线的距离为，求椭圆方程．例4．已知椭圆，问能否在轴下方的椭圆弧上找到一点M，使M到下准线的距离等于M到两焦点的距离的比例中项？若能找到，求出此点坐标；若不能找到，请说明理由．例5．一个椭圆的焦点是和，长半轴长是３，求这个椭圆的方程．例6．已知椭圆方程为是椭圆内的两点，Ｐ是椭圆上任意一点，求：（1）的最小值；（2）的最大值和最小值．例7．已知是椭圆的两个焦点，Ｐ是椭圆上一点，且．求的面积．

椭圆点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.若在椭圆外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.椭圆(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：,(,).设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、