2022年度北京时代中学高二数学理月考试卷含解析

2022年度北京时代中学高二数学理月考试卷含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.有下面事件：①如果a,bGR,那a-b=b-a；②某人买彩票中奖；③3+5>10.其

中必然事件有（）

A.②B.③C.①D.②③

参考答案：

C

2.按照程序框图（如右图）执行，第3个输出的数是

A.7B.6C.5D.4

参考答案：

C

略

3.等比数列｛a』的各项均为正数，且=18,贝M°g3%+l°g3°2+…+l°g3a10=

()

A.12B.10C.

log

8D.2+35

参考答案：

B

4.在平面直角坐标系中，两点R(Xl,y.),P2(X2,y2)间的“L-距离”定义为

PR|=|x,-X2|+M-y21.则平面内与x轴上两个不同的定点招，F2的“L-距离”之和等

于定值(大于1FH|)的点的轨迹可以是()

参考答案：

A

【考点】轨迹方程.

【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】设出R,Fz的坐标，在设出动点M的坐标，由新定义列式后分类讨论去绝对值,

然后结合选项得答案.

【解答】解：设E(-c,0),F2(c,0),

再设动点M(x,y),动点到定点民的“L-距离”之和等于m(m>2c>0),

由题意可得：'x+c|+|y|+|x-c+|y|=m,

即|x+c|+1x-c|+21y|=m.

当xV-c,y20时，方程化为2x-2y+m=0；

当x<-c,y<0时，方程化为2x+2y+m=0；

当-cWxVc,y20时，方程化为y=2；

n

当-cWxVc,yVO时，方程化为y二c-2；

当xNc,y20时，方程化为2x+2y-m=O；

当x2c,yVO时，方程化为2x-2y-m=0.

结合题目中给出的四个选项可知，选项A中的图象符合要求.

故选：A.

【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是正确

分类，是中档题.

5.设。＞0且“wl,贝i]“函数/（x）=a"在R上是减函数”，是“函数g（x）=（2-。）.在R

上是增函数”的（）

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

参考答案：

A

6.已知等差数列（%）的公差为2,若ai,成等比数列，则%等于（）

A-4B—6C-8D-10

参考答案：

B

略

7.若直线过点（1,2）,（4,2+后），则此直线的倾斜角是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

参考答案：

A

8.抛物线y2=12x上与焦点的距离等于6的点横坐标是（）

A.1B.2C.3D.4

参考答案:

c

【考点】抛物线的简单性质.

P

【分析】由抛物线y'12x可得2P=12,解得p.可得焦点F（2,0）,准线1的方程为x=

P.P

-2.设所求点P的坐标为（x°,y°）,利用PF|=x02即可得出.

【解答】解：由抛物线y2=12x可得2P=12,解得p=6.

二焦点F（3,0）,准线1的方程为x=-3.

x卢

设所求点P的坐标为（X”％）,则|PF|=x。2=x0+3.

V|PF|=6,.*.x»+3=6,解得x0=3.

故选：C.

9.已知向量・=（-Z3）,6=那么•，等于（）

A.-13B.-7C.7D.13

参考答案：

D

5+3）'

10.若卜的展开式中各项系数和为1024,则展开式中含x的整数次塞的项共有

（）

A2项B3项c5项D6项

参考答案：

B

略

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.在平面直角坐标系灯中，直线7=工+白是曲线・工的切线，则当。＞0时，实数

b的最小值是.

参考答案：

-1

12.已知两条直线4：以+3y3=0,/2:4x+6y-1=。.若乙，则°=；

参考答案：

a-2

略

13.甲、乙、丙三位同学被问到是否看过4,B,C三本书时，甲说：我看过的比乙多，但

没看过C书；乙说：我没看过8书；丙说：我们三人看过同一本书.由此可判断乙看过的

书为.

参考答案：

A

【分析】

结合丙的话和甲的话，可确定乙看过一本书，甲看过两本书4"；结合丙的话和乙的话，

可确定乙看过的书.

【详解】由丙的话可知，每个人至少看过一本书

由甲的话可知甲看过两本书，为4“；乙看过一本书

二・三个人看过同一本书，且乙没看过万二乙看过/

本题正确结果：A

【点睛】本题考查逻辑推理的相关知识，属于基础题.

14.若y=(加-1)/+2松+3是偶函数，则%=.

参考答案：

0

略

15.已知圆c经过点4LD和8(2,-2)，且点C在直线x-«y+l=°上，则圆C的方

程__________________

参考答案：

16.AB是抛物线y=x2的一条弦，若AB的中点到x轴的距离为1,则弦AB的长度的最大值

为.

参考答案：

£

17.设抛物线Ch=2孙»>0)的焦点为尸，准线为/,力为C上一点，已知以F

为圆心，E4为半径的圆F交/于A。两点，若A3DF为等边三角形，UD的面

积为6,则P的值为,圆夕的方程为.

参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.求垂直于直线3工-4y-7=°,且与两坐标轴构成周长为io的三角形的直线方程

参考答案：

样由所求直线能与坐标轴围成三角形，则所求直线在坐标轴上的截距

不为0,故可设该直线在x轴、,尸轴上的截距分别为a,b,又该直线垂直于直线

3x-4j-7=0,且与两坐标轴构成周长为10的三角形，故有

b_4

=

(a3T巩jo所以所求直

Ja|+|i|+Va2+i2=10b=—b=——

3I3

线方程为4x+3y-10=0或4x+3y+10=0.

略

3x23y2

19.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F,点F是双曲线：5-7=1的一个焦

点;

(1)求抛物线C的方程;

(2)过点F任作直线1与曲线C交于A,B两点.

①求底?神的值；②由点A,B分别向(x-2)各引一条切线切点分别为P、Q,记

a=/AFP,3=ZBFQ,求cosa+cosB的值.

参考答案：

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质.

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析：(1)由已知条件推导出双曲线的焦点用(-2,0),F2(2,0),抛物线C焦点

PP

坐标F(20),从而得到2=2,由此能求出抛物线的C的方程.

(2)①根据抛物线方程可得焦点F的坐标，设出直线的方程与抛物线方程联立消去x,设

A,B的坐标分别为(x“y。(X”yj根据韦达定理可求得y*?进而求得x凶的值进而可

得答案.

②对直线1的斜率分存在和不存在两种情况：把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根

与系数的关系及抛物线的定义即可得出.

3x23y2

解答：解：(1)双曲线C'：5-7=1中，

57

Va2=3,b2=3,/.c=2,

，双曲线的焦点用(-2,0),F2(2,0),

3x23y2

•.•抛物线C：y?=2px(p>0)与双曲线C'：5-7=1的一个焦点相同，

P

且抛物线C：yJ2Px(p>0)的焦点坐标F(2,0),

P

，2=2,解得p=4,

・••抛物线的C的方程是y2=8x.

(2)①根据抛物线方程y2=8x可得F(2,0)

设直线1的方程为x=my+2,将其与C的方程联立，消去x得y?-8my-16=0

设A,B的坐标分别为(xi,yi)(X2,y2)

则y"-16

22

因为‘1=8x1,y2=8x2,所以X1X2=4,

0A?OB=xiX2+yiy2=-12.

②当1不与x轴垂直时，设直线1的方程为尸k(x-2),

代入抛物线方程得-(4k2+8)x+4k2=0,

设A(xi,yt),B(X2,yz)，则X1+X2=2k+4,XiXf=4

|ppI|FQI11--------勺+-2+4-------------2k__]

2

•.・cosa+cosB=E+7^T=Xi+2x2+2=(xJ2)(X2+2)=2(2k+8)=2,

1

当1与x轴垂直时,cosa+cos8=2,

1

综上，cosa+cosP=2.

点评：熟练掌握点到直线的距离公式、圆的标准方程及切线的性质、分类讨论的思想方

法、直线的方程与抛物线的方程联立并利用根与系数的关系及抛物线的定义是解题的关

键.

20.(本题10分)如图一边长为48cm的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的

小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体容器。所得容器的体积V(单位：

是关于截去的小正方形的边长x(单位：加)的函数。(1)随着x的变化，容积

V是如何变化的？

⑵截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？

参考答案：

(1)XEIOSJ是增加的：XEe「4)」是减少的。

(2)*=曲」最大值为8192c加.

“金"=1

21.设椭圆a短(a>ft>0)经过点M书及，鸟是椭圆M的左、

右焦点，且旅用的面积为了

(1)求椭圆”的方程；

(2)设0为坐标原点，过椭圆M内的一点(a‘)作斜率为大的直线,与椭圆M交于),

〃两点，直线04,。8的斜率分别为A,G,若对任意实数上，存在实用，使得

'+求实数m的取值范围.

参考答案：

(1)设”的焦点片(F，°),鸟(G°),

』曲=也,

，X面积为32,222,.,.c=l

33

=1

7p§=4.乙/]

由『二6'+1,得1小=%.•.椭圆*的方程为43

（2）设直线J的方程为六h+t,由・得（柩，）,♦血+2-12=°,

W4?-12

设义，「J,"（一』），则与F-3«41?f一3+姆.

戋3=与五=上/出£=9幺±羽=2*-齐

毛巧不巧叩上一3

吁23,_3（T）

由\*&=*七对任意比成立，得/-3,.,.M,

又（0"）在椭圆内部，.♦.04?<3,.•.IRN2,即

22.（本小题满分13分）

已知几何体力一改即的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等

腰直角三角形，正视图为直角梯形.

（1）若几何体力-比£。的体积为16,求实数4的值；

（2）若a=l,求异面直线。E与<8所成角的余弦值；

（3）是否存在实数a,使得二面角/-£）£-8的平面

角是45。，若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由.

参考答案:

1,(。+4)4_

Vrr--4-----=16/.-a=2

(1)体积32；……3分

(2)法一：过点3作交EC于尸，连接力尸，则/尸阴或其补角即为异

面直线。后与48所成角，在△班F中，AB^442,*•=〃=J16+9=