2023年高考数学第49讲 圆锥曲线中的最值与范围问题

第49讲圆锥曲线中的最值与范围问题一函数思想的运

用

一、知识聚焦

1求解直线与圆的最值问题的两种基本思路

(1)代数法:利用平面几何中的有关公式,构造函数,把问题转化为函数的最值,然后根据

函数最值的求法进行求解，在转化过程中常用到向量的数量积、韦达定理、换元等知识和方

法.

(2)几何法:找到所求式的几何意义,在坐标系中与圆建立联系,分析其与圆的位置变化

情况,找到最大值、最小值的取值点.

2圆的最值问题的两种常见形式

若尸(x,y)是定圆C:(x-a)2+(y-b)2=，上的一动点，如何求和上这两种

形式的最值的方法：

(1)代数法:求如+的最值通常是先设mx+ny^t,与圆方程联立，化为一元二次

方程，由判别式等于0,求得f的两个值,一个为最大值,一个为最小值;求上的最值通常先设

X

f=2,则y=比，与圆方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0,求得f的两个值,一个

X

为最大值，一个为最小值.

(2)几何法：求mx+ny的最值通常是先设mx+ny-t,圆心到直线

/nx+f的距离为d十'"由d=r即可解得两个f值，一个为最大值,一个为

J"y-lm2+n2

最小值;求上的最值，而上的几何意义即点P与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最

xx

大值和最小值.

3圆锥曲线中的最值问题以及变量的取值范围问题的求解

由于此类问题大都是综合性问题，解题灵活，技巧性强，涉及代数、三角函数、平面几何

方面的知识.

(1)代数法:运用函数思想建立目标函数,求解最值或参变量的取值范围,常把有关问

题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用配方法,均值不等式、函数的单调性或三

角函数的有界性等解之.求参数的范围时，往往是先根据已知条件建立等式或不等式,再求参

数的范围.

(2)几何法:注意题中图形的几何特征，充分考虑图形的性质，常须扣住圆锥曲线的定点并和

平面几何有关结论巧妙结合.

二、精讲与训练

【核心例题】1(1)若点A在圆C:(x-l)2+(y+2)2=4上运动，点5在y轴上运动，贝I］对

定点M3,2)而言，|A4+依|的最小值为.

x2

(2)已知点P(0,1)椭圆一+：/=m{m>1)上两点A,B满足AP=2PB,则当机=.

4------

时，点B的横坐标的绝对值最大.

【解题策略】

本例两小问都与向里有关，通常，将向重问题坐标化.是向重中求最值的常用方法.第⑴问还可

以利用囿的参数方程将问题转化为三角函数的最阊问题或进一步挖掘图形的几何意义将问

题转化为定直线上的动点与定圆圆心两点之间的距离.第(2)问则采用最常见的函数结合配

方法或基本不等式求解最值.

(1)【解法一】设A(x，x),8(0,%),则P4+P3=(%—6,y+%-4),若设厂=

|PA+|,则由题意可得(玉一6)2+(y+%-4)2=，，即点A在以。(6,4-必)为圆心，

厂为半径的圆D:(x-6)2+(y+%—4『=r2上.

22

由圆。与圆。有公共点A可得/-+2膜A|=^/(6-1)+(6->'2)5,

从而匚.3.故|PA+P8|的最小值为3.

［解法二1由点A在圆C上，可设A(1+2cos0,-2+2sin6),5(0,t),

则PA+PB=(2cos6—5j+2sin。-6).

故IPA+1=J(2cos。-5)2+(/+2sin6-6>阊(2cos0—5y5-2cos^?3.

故|PA+PB|的最小值为3.

【解法三】设点B'为点B关于点P的对称点，如图497所示，则

\PA+PB\=PA-PB=BA.

由于点8'在直线x=6上，点A在圆。：。一1)2+(>+2)2=4上可得BA25—2=3.

⑵【解法一】设A(%,y),B(X2，%)，由P(°，D和AP=2P8得

X1=-2x2,yt+2y2=3,(1)

由题意知x；+4y：=4m,(2)

=4m.(3)

将⑴式代人(2)式消去和y,得X；+(3—2y2了=m.(4)

m4-3

再利用(3)(4)两式消去々，得％=y—，

从而考=+；0加-9=一;(加―5)2+4.

故〃2=5时，点B的横坐标的绝对值最大.

［解法二］设A(%,x),8(々,%)，直线$人8$的方程为y=依+1(根据对称性，可仅考虑

女>0).

联立方程组卜+4y得0+4女2)f+8"+"4利=0

y=kx+l'7

4-4m

可知％+w==

1+4-'

8kQ1

又玉二一2%，故无2==-j——2,当且仅当女=上时有%=2.

1+4公

k

又^_空=X］%2=-2,，可解得加=5.

变式训练

⑴椭圆f+4(y-a)2=4与抛物线x?=2y有公共点,则a的取值范围.

⑵椭圆(+得=1上的点到圆/+。-6)2=1上的点的距离的最大值是()

A.11B.旧C.5A/5D.9

2_

(3)如图49—2所示A,B是椭圆C:二+V=1上两点，且IA81=G，求一AOB面积的最大

3

【核心例题】2已知圆C经过点A(—2,0),8(0,2),且圆心在直线y=x上，且直线

I:y=Ax+l与圆C相交于P,Q两点。

(1)求圆C的方程.

(2)过点(0,1)作直线4与/垂直,且直线4与圆。交于M,N两点，求四边形尸MQN

面积的最大值。

【解题策略】

第（2）问，求四边形PMQV的面积，关键在于选择合适的参数作自变量，通常选择直线/

的斜率上为参数，结合图形特征得到函数S=/（攵），进而求其最大值,但运算量很大，如果能够

抓住题中所给的曲线是圆的情况，运用垂径定理和幻股定理，则可拓得较为简捷的解法.

【解】：（1）设圆心C（a,a）泮径为r•圆经过点A（-2,0）,B（0,2）,

，|AC|=|BC|=/•，解得a=0==2".圆。的方程是x2+/=4.

当直线I的斜率k=（）时，则/,的斜率不存在，此时S='x2石x4=4g；

2

当直线/的斜率左。0时，设4：y=——x+1,

k

y=kx+\,

则4

f+J=4,

=饮2-4(1+巧(-3)

-2k

代入消元得（1+严）》2+2Ax-3=（）,.•」玉+巧=---7

'\+k2

一3

药“2=7-

l+k2

，4公+12公+12J+,J16/+12

|PQ|=Jl+L卜-9|=Jl+k)•

\+k21+k2

i-

16-

同理得到|MN|=.+*.二+12Jl+k712k2+16

1+(1+&2

](1+公)J(16后2+12)(12女2+16)

S=g|PQ||MN|=gx

1J16(4/+3)(3"2+4)2yli2k4+25/

+12

--X~~

21+公i+k2

12(k4+2k2+\)+k2

=2、一=2、12+4卜-12+———

k4+2k2+]VA+2%"=2J/+2+1

k2

"2+2+5晶2卜土

4,.-.52.12+-=2X-=7.当且仅当攵=±1

V42

时等号成立.

四边形PMQN面积的最大值为7.

【解法二】设圆心。到直线14的距离分别为d,d）,四边形PMQN的面积为S

•.•直线//都经过点（0,1）且可知股勾定理有d「+d2=1。

又根据垂径定理和勾股定理得到

\PQ\=2x74-t/2,1|=2x74-e/,2,而S=；|PQ||MN|,即

2222222

s=1X2Xj4-</,X2X^4-d=2^16-4(</l+t/)+r/14/=+,广<2^12+^=7

当且仅当4=d时等号成立.

四边形PMQN面积的最大值为7.

变式训练

已知椭圆E的两个焦点为6(—1,0),6(1,0),且椭圆与直线y=x-行相切.

(1)求椭圆E的方程.

(2)过点K作两条互相垂直的直线4,，2,与椭圆分别交于点P,Q及求四边形尸MQN面

积的最大值与最小值.

v-2

【核心例题】3设椭圆'一+丁=I的两个焦点是6(—c,0),£,(c,0)(c>0).

m+l

(1)设E是直线y=x+2与椭圆的一个公共点，求使得|班|+|匹|取最小值时椭圆的方程.

(2)已知N(0,-1)，设斜率为4(人工0)的直线/与条件(1)下的椭圆交于不同的两点A,B,点

Q满足AQ=Q3,且N。•A8=0,求直线I在>轴上截距的取值范围.

【解题策略】

在研究直线与曲线相交问题时，需要有判别式大于零或大于等于零这一条件进行保证.本题无

论对于第⑴问还是第((2)问的解答过程中都必须牢军抓住这点.一般而言，解决有关最值问

题或求范围时，首先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率，截距等)，建立目标函数，然后

利用有关函数或不等式的知识与方法求解.

【解】(1)由题意知机+1>1,即加>0.

'y=x+2

由,工2，得(5+2)x?+4(^7+l)x+3(/n+1)=0.

-^—+>2=1

,/n+1

由A=16(/?2+1)2-12(/?7+2)(m+1)=4(〃z+l)(/%-2)>。，解得机.之2或〃2W—1(舍去)，

此时制+|£闾=2j瓶1…26,当且仅当m=2时环|+怛可取得最小值26.此时

2

椭圆方程为土+9=1.

3

(2)设直线/的方程为丁=丘+九

r2o2=a

由方程组"7消去招得\(1+3%2)/+63+3/2_3=0.

y=kx+t

直线/与椭圆交于不同的两点ABo

.•.△=(6公)2—4(1+3/)(3产—3)>0,?<1+3公①

6kt

设AB的坐标分别为(玉,y),(