2023届北京市丰台区高三年级上册数学期末试题（解析版）

2023届北京市丰台区高三上学期数学期末试题

一、单选题

I.已知全集。=R,集合A={x|-l<x4O},则如A=()

A.(-oo,-l)u(0,-H»)B.(^o,-l]u(0,+co)

C.(t®,—1)U【O,+8)D.(-oo,-l]u[0,+oo)

【答案】B

【分析】根据补集概念求解即可.

【详解】因为U=R,A={x|-l<x<0},

所以aA={x|xW-l或x>0}.

故选：B

2.已知复数2=3+。，则在复平面内，复数2对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】先化简复数，求出共辗复数，即可得结论.

【详解】因为z=i(l+i)=-l+i,

所以5=-1—i,

所以2对应的点为在第三象限，

故选：C.

3.在卜［的展开式中，常数项为()

A.-24B.24C.-48D.48

【答案】B

【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0求出，将厂的值代入通项

求出展开式的常数项.

【详解】二项式展开式的通项为7；M=(-2)'C；xj,令4一2r=0,解得r=2,所以展开式

的常数项为］=4C：=24

故选：B

4.已知向量3=(2,©石=(Z1),则“2=应”是"£///'的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由2/历可求出2=士应，再由充分性和必要性的定义即可得出答案.

【详解】若2/小，则2xl_/P=0，解得：入=土丘.

所以4=&■=>“//B,而推不出2=

故“人=夜"是1〃斤’的充分而不必要条件

故选：A.

5.下列函数是偶函数，且在区间(0,1)上单调递增的是()

A.y=l-x2B.y=tanx

C.y=xcosxD.y=e*+e-*

【答案】D

【分析】利用函数奇偶性和在区间上单调递增逐项分析.

【详解】选项A由令y=l-V的定义域为R,

且/(-x)=l-(-x)2=l-x2，

由函数为二次函数开口向下，对称轴为y轴，

所以在(0,+8)单调递减，故函数在区间(。,1)上单调递减，

故A错误，

=的定义域为卜Ixw5+farMez],关于原点对称

且/(-x)=tan(-X)=-tanX=-f(x),

所以y=tanx为奇函数，故选项B错误，

由、=口。5》的定义域为R,

且/(-x)=(-x)cos(-x)=-xcosx=-f(x),

所以y=xcosx为奇函数，故c错误，

由y=e*+e-，的定义域为R,

且/(-x)=eT+e，=/(x),所以

y=为偶函数,

Vxp^e(O,l),s,^<x2f

所以/(%,)-f5)=e*+e』一(e-+e』

.11

=eA1-er2+----------

ev'e"2

=(e*-e1l—

IAeY

因为5,%£（0,1）,且为＜々,

因为）,=?1在区上单调递增,

所以e"-e"<0,l<eA,<e,l<e^<e,

所以1-士>0,

eY

故/。）一/（马）＜0,

所以y=e、+e-，在区间（0,1）上单调递增，

故选：D.

6.已知抛物线＜7:卜2=20工3＞0）过点41,艰）,焦点为F.若点8（肛0）满足|AF|=|8F|,则机的值

为（）

A.2B.V2+1C.2或-1D.&+1或1-0

【答案】C

【分析】由抛物线C:y2=2px（p＞0）过点A（l,夜），可求出P,即可表示出尸Q,。卜再由IA用=|防|,

即可求出，〃的值.

【详解】因为抛物线C:y2=2px（p＞0）过点A（l,72）,

所以2=2p=p=l,

，〃=2或，〃=-l.

故选：C.

7.已知函数f（x）=31og2X-2（x-l）,则不等式f（x）＞0的解集是（）

A.(1,4)B.(r0,l)U(4,+oo)

C.(0,1)54,+8)D.(0,4)

【答案】A

【分析】将不等式问题转化为函数图象问题，结合图象求得正确答案.

【详解】依题意/(幻=31”/-2(犬-1)>(),log2x>j(x-l),

)'=log/jf4

2

由2(八解得卜0或?

y=4(x-i)1%=。l%=2

2

画出y=log2x,>=§(x-l)的图象如下图所示，

由图可知，不等式/(x)>0的解集是(1,4).

故选：A

8.设双曲线C*京K-的右焦点为凡过点尸的直线/平行于双曲线C的一条渐近线,

与另一条渐近线交于点尸，与双曲线C交于点Q,若Q为线段"的中点，则双曲线C的离心率为

()

1_B,也口•竽

A.C.夜

22

【答案】C

【分析】首先根据题意得到直线/：y=g(x-c),与另一条渐近线联立得到根据。为线

段尸产的中点得到。(手再代入双曲线方程求解即可.

I44a)

【详解】由题知：尸(。,0),平行的一条渐近线为y=

a

则直线/：y=3(l-。),

bey

2^J

b

y=——x

a

因为。为线段灯的中点，所以。

(3cbe、X2v2—r2"0

把。(IF卜入/方=1得：阵一呼十

a"o

化简得=1，即5=2,则6=^/^.

136＜r1：6。,cr

故选：C

9.如图，在四棱锥P-4BCD中，底面A8C£＞是边长为3的正方形，平面A6CD,点M为底

面上的动点，例到的距离记为d,若|MC|=2d,则点M在底面正方形内的轨迹的长度为()

AB

cC2兀cLc3无

A.2B.—C.-\/5D.—

34

【答案】B

【分析】在平面中求得M点的轨迹方程，从而求得轨迹的长度.

【详解】由于平面ABCROMu平面ABCD,所以

所以0M=d,|MC|=2J.

在正方形A3C£＞中，建立平面直角坐标系如下图所示，

C(3,0),设M(x,y),则疆翳=；,网=4|网2,

(x-3)2+y2=4x2+4y2,x2+y2+2x-3=0,(x+1)2+y2=4,

所以M点的轨迹是以E(-LO)为圆心，半径为2的圆.

由(x+l)~+y2=4令x=0,解得y=±百，

则F（0,-⑹，由于阿=1,所以"EF=’,

所以M点的轨迹在底面正方形内的长度是

10.市场占有率指在一定时期内，企业所生产的产品在其市场的销售量（或销售额）占同类产品销

售量（或销售额）的比重.一般来说，市场占有率会随着市场的顾客流动而发生变化，如果市场的

顾客流动趋向长期稳定，那么经过一段时期以后的市场占有率将会出现稳定的平衡状态（即顾客的

流动，不会影响市场占有率），此时的市场占有率称为“稳定市场占有率有A,B,C三个企业都

生产某产品，2022年第一季度它们的市场占有率分别为：40%,30%,30%.经调查，2022年第二

季度4,B,C三个企业之间的市场占有率转移情况如下图所示：

若该产品以后每个季度的市场占有率转移情况均与2022年第二季度相同，则当市场出现稳定的平衡

状态，最终达至犷稳定市场占有率”时，A企业该产品的“稳定市场占有率”为（）

A.45%B.48%C.50%D.52%

【答案】D

【分析】根据市场占有率转移情况求得正确答案.

【详解】最终达到“稳定市场占有率''时，A企业该产品的“稳定市场占有率”为：

0.4x（］-0.3-03）+0.3x0.6+0.3x0.6=0.52=52%.

故选：D

二、填空题

11.函数/（X）=一：+Jx+1的定义域是

【答案】{巾"1且"0}

2r_1*0

【分析】根据题意得到"八求解即可.

x+l>0

2''140

【详解】由题知：二八=x"l且XHO.

x+l>0

故答案为：{x|x±-l且XHO}.

12.己知集合4={（犬,丫）|*一丫一，*=0,X,'€1<},B={（x,y）k2+y2_2x+2y=o,x,yeR},若AcB为

2个元素组成的集合，则实数m的取值范围是.

【答案】（0,4）

【分析】集合A表示直线上的点，集合B表示圆上的点，根据直线和圆相交计算得到范围.

【详解】集合A表示直线犬-丫-加=0上的点，

集合B表示圆（x-炉+（），+1）2=2上的点，圆心为例（1,-1）,半径/?=&,

AcB为2个元素组成的集合，故直线和圆相交，即d=

V2

解得0<zn<4.

故答案为：（0,4）

13.己知函数f（x）=sin（ox+E）0>0）,若/⑶=/[]），且在区间（右5）上有最小值无最大

值，则。=.

【答案】4

【分析】根据三角函数的对称性、最值求得正确答案.

【详解】由于若=且/（X）在区间（看，；）上有最小值无最大值，

IT7TJT

所以一（t）-\—=2E—,co=6k—2,左wZ,

362

由于刃>0,所以。的值为4.

故答案为：4

14.已知函数/(x)=〃Inx-(x-1尸(a£R)存在两个极值点X,出(玉<Z)，给出下列四个结论:

①函数/(用有零点；

②〃的取值范围是,:+8);

③%>1；

④/⑸>0.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①©

【分析】求出函数定义域以及导函数/(x)=-直二型由/⑴=0可说明①正确；由已知,

/'(x)=0有两个不同的正数解，根据二次函数根的分布即可求出。的范围，判断②；根据求根公式,

解出巧，结合②中解出的。的范围，可得到工2<1，即③错误；根据导函数得出函数的单调性，结合

③的解析，可得/(迎)>/(1)=0,即④正确.

【详解】由已知可得，f(x)定义域为(0,+8),尸(x)=0-2(x-l)=-直二四三.

XX

对于①，因为/(l)=alnl-(l-l)2=0,所以1是函数/(x)的一个零点，故①正确；

对于②，因为函数存在两个极值点和超，所以/'(x)=0有两个不同的正数解芭,电，即方程

21—2x-a=0有两个不同的正数解不三，

%1+x2=1>0

,m--<a<0,故②错误;

则应满足，X\X2=5>°

A=(-2)2-4x2x(-«)=8a+4>0

对于③，解方程北―。可得士注答L生磬，因为…，所以寸土萼

由②知所以0<2a+l<l,所以故③错误；

对于④，由汽x)>0可得，即2/_2》-4<0,所以西<*<*,所以“X)在(4马)上单调递增；解

r(x)<0可得，0<x<百或*>电,所以f(x)在(0,%)上单调递减,在(w，+00)上单调递减.

由③知g<X2<l,所以，(％)>/(1)=0,故④正确.

故答案为：①④.

三、双空题

15.在等差数列｛4｝中，公差d不为0,4=9,且%%，%成等比数列，则，___________;当

«=时，数列｛。“｝的前”项和S”有最大值.

【答案】-25

【分析】根据等比数列得到必=4%，解得d=—2,再计算火=1>0,4=<0,得到答案.

【详解】4,4,%成等比数列，故即(9+3d)2=9x(9+4”),

解得d=-2或2=。(舍).

=9—2(〃—1)=11—2〃，at=9>0,as=1>0,a6=—1<0,

故〃=5时，S,,有最大值.

故答案为：-2;5

四、解答题

16.如图，已知正方体ABC。-ABCR中，点E是棱8c的中点.

⑴求证：8。〃平面OGE；

(2)若点F是线段BR的中点，求直线OF与平面DGE所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵也

3

【分析】（1）连接CD,交G。于连接E4,证明即可.

（2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，平面QGE的法向量为］=（2,-1,1）,根据向量的夹角公

式计算得到答案.

【详解】（1）如图所示：连接c。交G。于H,连接E"，

H是CR中点,E是8c的中点，敬BD"HE,

”Eu平面DC.E且BD,<z平面。GE,故叫〃平面D&E；

（2）以分别为x/，z轴建立空间直角坐标系，如图所示:

设正方形边长为2,则。（0,0,0）,E（l,2,0）,G（0,2,2）,尸（1,1,1）,

nDE=x+2y=0

设平面Z）GE的法向量为］=（x,y,z）,贝小'___',

n-DCt=2y+2z=0

取y=T得到分=(2,—1,1),而=(1,1,1).

M.叫—2

直线3尸与平面。GE所成角的正弦值为kos（兀丽，V2

3

17.在AABC中，2asinB=垃1>.

⑴求A;

Q）若b=2也,从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的

面积.

条件①：cosC=———；

10

条件②：〃=2；

条件③：sin8=—

5

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）4=3或4=与；

44

（2）答案见解析.

【分析】（1）由正弦定理边化角可得sinA=XZ,即可求出结果；

2

（2）若选①：根据已知可得C为钝角，则A为锐角，sinC=MZ>sinA,三角形唯一，根据两角

10

和的正弦公式可求出sin8=@,根据正弦定理求出〃的值，根据S,.c=；"sinC即可求出面积；

若选②：根据正弦定理可求出sin8=1,8为直角，三角形唯一确定，可求出C=A,即可求出

SVA5C=<〃C=2；若选③：由sinA>sin8，可知人=^或4=¥，有两解•

【详解】（1）由2asin3=血力可得，2sinAsin8=0sin8.

因为sinBwO,所以sinA=受，又0<4<兀，所以4=：或4=当.

244

（2）若选①：cosC=-'叵.

10

因为0<C<兀，所以C为钝角，A为锐角，

又sinC=71-cos2C-3^^>sinA=sin（兀一A）,

又5<兀一人<兀，所以。<九一4,即A+C<TI,所以AABC存在且唯一确定.

则A=（,由A+B+C=TT可得8=TC—（A+C）.

0

sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=-------X

2I10J2105

,.,2y/2x也

bsmA

根据正弦定理‘可得，a=2=26,

sinAsmBsinCsinB6

5

所以。=1x2\/5x2A/2X3^^=6;

2210

若选②：4=2.

因为b=2a>a，所以A=m由正弦定理三=二可得，.bsinA2A^XT1，

4sinAsin8sm8=------=-----^=1

a2

jr

因为0<3<兀，所以8=彳，所以AABC存在且唯一确定.

2

TV|

则C=TI-A-B=a=A,所以c=a=2,SVABC=-ac=2-

若选③：sinB=@.

5

因为sinA=^>sinB,所以4>8,此时A=/或4=2，

244

所以，此时"WC存在但不唯一.

18.非物质文化遗产(简称“非遗”)是优秀传统文化的重要组成部分，是一个国家和民族历史文化

成就的重要标志.随着短视频这一新兴媒介形态的兴起，非遗传播获得广阔的平台，非遗文化迎来

了发展的春天.为研究非遗短视频受众的年龄结构，现从各短视频平台随机调查了1000名非遗短视

频粉丝，记录他们的年龄，将数据分成6组：U0,20),[20,30),[30,4()),[40,50),[50,60),[60,70],并整

理得到如下频率分布直方图：

⑴求a的值；

(2)从所有非遗短视频粉丝中随机抽取2人，记取出的2人中年龄不超过40岁的人数为X,用频率估

计概率，求X的分布列及数学期望E(X)；

(3)在频率分布直方图中，用每一个小矩形底边中点的横坐标作为该组粉丝年龄的平均数，估计非遗

短视频粉丝年龄的平均数为，”，若中位数的估计值为附，写出m与〃的大小关系.(结论不要求证明)

【答案】(l)a=0.018

(2)分布列详见解析，£(%)=0.6

(3)«>m

【分析】(1)根据频率之和为1求得

(2)根据二项分布的知识求得分布列以及数学期望.

(3)根据平均数、中位数的求法求得加，〃，并比较出两者的大小关系.

【详解】(1)(0.004+0.012+0.014+0.024+0.028+a)xl0=l,

解得a=0.018.

(2)不超过40岁的人的频率为(0.004+0.012+0.014)x10=0.3,

所以X~B(2,0.3),X的可能取值为0」,2,

P（X=0）=C；x0.3°x0.72=0.49,

P（X=1）=C；x03xO.71=0.42,

p（X=2）=C；x0.32x0.7°=0.09,

所以X的分布列为:

X012

P0.490.420.09

所以E(X)=2x0.3=0.6.

(3)租=15x().04+25x().12+35x0.14+45x0.24+55x0.28+65x().18=46.4岁.

0.04+0.12+0.14=0.3,0.04+0.12+0.14+0.24=0.54,

0225145

所以鹿=40+^x10=40+—=—>m.

0.2433

19.已知椭圆E:二+¥=1(“">0)过点4(-2,0),离心率为巫.

a2b22

⑴求椭圆E的方程；

⑵设点尸(2,加)(加>0),直线附与椭圆E的另一个交点为C,O为坐标原点，B为椭圆E的右顶点.记

直线OP的斜率为公，直线3c的斜率为以，求证：尤•心为定值.

22

【答案】(1)工+工=1

42

(2)证明见解析

【分析】(1)根据过点和离心率计算得到椭圆方程.

m2

(2)计算直线方程，联立方程得到C点坐标，再计算仁=：,k2=--,相乘得到答案.

2m

【详解】⑴椭圆£:捺+卷=13>"0)过点A(-2,0),离心率为冬

故a=2,e=—=—=,c=V2>b=\Ja2-c2=>/21椭圆方程为土+匕=1.

a2242

m/八

y=1(x+2)

(2)的，=：，直线AP：y=?(x+2),联立方程,

42

得到(8+也丁+4m2x+4/-32=0,

方程的一个解为-2,故另外一个解为十

2

16—2加2m\16-2m18m16-2m8"?

当x=-----r时,y=--------------：+2即C

8+〃r-4I8+m.28+加8c+2'8c+疗?)

8m

8+/2m

8(2,0),左=£UPF-1,得证

16-2/n2

8+/

20.已知函数/(x)=lnx+sinx.

⑴求曲线y=〃x)在点(1J⑴)处的切线方程;

⑵求函数/*)在区间口,e］上的最小值；

⑶证明函数fM只有一个零点.

【答案】(l)(l+cosl)x-y-l+sinl-cosl=()

⑵八l)=sinl

(3)见解析

【分析】(1)对Ax)求导，求出/6=sinlJ'(l)=l+cosl,由点斜式方程即可求出答案；

(2)令g(x)=r(x)=J+cosx,g〈x)=-5-sinx,得出g(x)在［l,e］的单调性，结合零点存在性

定理可得“X)在xe(l,a)上单调递增，在x«a,e)上单调递减，再比较/⑴J(e)的大小，即可得

出答案.

(3)利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理，讨论0<xWl,I<x4万和万时，/(x)

的正负，即可得出证明.

【详解】(1)/(x)=lnx+sinx的定义域为(0,+8),

故f\x)=—+cosx,/(l)=sinl,/,(l)=l+cosl,

所以曲线y=/(x)在点(11⑴)处的切线方程为：y-sinl=(l+cosl)(x-l),

化简得：(l+cosl)x-y-l+sinl-cosl=0

(2)令g(x)=r(x)=g+cosx,g<x)=-J-sinx,

当工£［l,e］时，(g(^)="4-sinx<0,

所以g(x)在［l,e］上单调递减，且g⑴=l+cosl>0,

1

g(/e)\=—1+cosev—+cos2——^=1----1--<0,

ee3e2

所以由零点存在定理可知，在区间［Le］存在唯一的。，使g(a)=r(a)=0

又当时，g(x)=r(x)>0；当x«a,e)时，g(x)=ff(x)<0；

所以/(x)在x«l，a)上单调递增，在上单调递减，

又因为/⑴=lnl+sinl=sinl,/(e)=Ine+sine=l+sine>/(1),

所以函数在区间U,e］上的最小值为〃l)=sinl.

(3)/(x)=lnA：4-sinx,xe(0,+oo),

若0<xWl,ff(x)=—+cosx>0,

x

所以/(X)在区间(0,1］上单调递增，又〃l)=sinl>0,/^j=-l+sinl<0,

结合零点存在定理可知，〃x)在区间(0』有且仅有一个零点，

若l<x<4，则lnx>0,sinx20,则/(x)>0,

若x>“，因为lnx>ln万>1N-sinx,所以/(x)>0,

综上，函数在(0,+8)有且仅有一个零点.

【点睛】利用导数研究函数的零点，一方面利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断;

另一方面，也可将零点问题，转化为函数图象的交点问题，利用数形结合判断.

21.设4为正实数，若各项均为正数的数列｛4｝满足：VneN\都有见”之%+2.则称数列｛%｝为

尸(㈤数列.

(1)判断以下两个数列是否为P(2)数列：

数列A：3,5,8,13,21；

数列B：log?5,n,5,10.

⑵若数列也｝满足a＞0且6的汨一而i,是否存在正实数2,使得数列也｝是P（/l）数

列？若存在，求2的取值范围；若不存在，说明理由.

（3）若各项均为整数的数列｛%｝是P⑴数列，且｛%｝的前m（＞n*2）项和q+/+4+…+%为150,求

4+的最小值及取得最小值时am的所有可能取值.

【答案】（1）数列A是，数列8不是；

（2）不存在，理由见解析；

（3）答案见解析.

【分析】（1）根据定义验证％.「4,22是否恒成立，即可判断;

（2）假设存在，则由已知包+i=〃,+J〃+3-J〃+l可推得2+i＜2.

当•时，2+1＜白＜4，

这与假设矛盾，所以不存在;

（3）根据已知推出，旧可+1,进而推出品士机，am_t＜am-l,L,at,相加可推

得4”2”^+?一；根据基本式,

结合题意可得4"的最小值不小于30.进而得出m的范围，得到

m22

所有可能的整数解.分情况讨论，得出数列，即可得到金的所以可能的取值.

【详解】（1）根据定义，尸（2）数列应满足V〃eN*,都有+2,

即4+广22恒成立.

对于数列A：有5-3=222,8-5=3