2023年广东省茂名市第一高级中学高三数学理月考试题含解析

2023年广东省茂名市第一高级中学高三数学理月考试

题含解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1已知〃山…3>1},尸=的7>21则%〜

A.[,+oo)B.(0,)

C.(0,+oo)D.(—oo,0]U[,+oo)

参考答案：

A

1-i

2.复数“-2+1(i为虚数单位)的虚部为

333

(A)5(B)5(C)-5(D)5

参考答案：

C

略

3.设了(工)是定义在R上的奇函数，当XS知(X)=2/-X,则/(1)=

A.-3B.一

1C.1D.3

参考答案：

A

略

4.

ab

已知况力都是负实数，则。+以+不的最小值是()

5

A.6B.2(点-1)c.

2亚-1D,2(企+1)

参考答案：

答案：B

/(x)=sin(x+—)g(x)=cos(x-x)册/八〃八一/▼、

5.已知函数2,2,设力")=八。§8)，则下列说法不

正确的是

7T7T

3xeRJ(x+-)=g(x)Vxe/?,/(x--)=g(x)

A.2B.2

c.^xeR,h(rX)=hfy:)上功ce凡恤+%)=区。

参考答案：

c

,(©=卜尸0<KM3,

6.已知函数l|x-4|,x>3,若函数M力〃力-H+Z有三个不同的零点,

则实数加的取值范围是()

参考答案:

函数h(x)=f(x)-mx+2有三个不同的零点,

即为f(x)-mx+2=0有三个不同的实根，

可令y=f(x),y=g(x)=mx-2,

分别画出y=f(x)和y=g(x)的图象,

A(0,-2),B(3,1),C(4,0)，

则g(x)的图象介于直线AB和AC之间，

介于

kAB<m<kAc,

1

可得:<m<1.

故选：A.

7.已知集合A={-1,0,1,2},B={x|0WxW2},贝ijACB=()

A.{-1,0,1,2}B.{0,1,2}C.{0,1}D.{1,2}

参考答案：

B

【考点】交集及其运算.

【分析】根据交集的定义写出AHB即可.

【解答】解：集合A={-1,0,1,2},

B={x|0WxW2},

贝|JACB={O,1,2).

故选：B.

8.由直线丁=T和曲线，=#-4?+4x-2围成的图形的面积为

221_1

A.2B.4C.9D.12

参考答案：

D

9.已知圆(x-a)2+y2=i与直线y=x相切于第三象限，则a的值是()

A.-y/2B.&C.-2D.2

参考答案:

A

6

(JA/X--L)

10.已知/为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式J1的展开式中含

X'3的系数是

A.192

C.-42D.-192

参考答案:

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志（每种

至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是（用数字作答）.

参考答案：

266

由题知，按钱数分10元钱，可有两大类，第一类是买2本1元，4本2元的共C32cJ种方

法；第二类是买5本2元的书，共Cg5种方法.

245

共有C3C8+C8=266（W）.

12.已知三棱锥/-SCO,OAOB.0C两两垂直且长度均为6,长为2的线段

⑷的一个端点M在棱。4上运动，另一个端点州在内运动（含边界），则

加”的中点F的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为

参考答案：

-36--

6或6

13.已知逸》，C三点在半径为5的球O的表面上，是边长为4V5的正三角形，则球

心O到平面Z5C的距离为.

参考答案：

3

设平面ABC截球所得球的小圆半径为厂，则2r=—・0*=8,故『4,则球心。到平面ABC

的距离为庐7、=3,故答案为3.

14.设函数/“）一^+”4.若对任意实数a,不等式/（8$a）go,

/（2-sin向20恒成立，则占=.

参考答案：

1

2

a+i

15.复数~~»对应的复平面上的点在第象限.

参考答案：

四

略

16.已知集合"=(2,3},/={-19,2)则“=.

参考答案：

“，3)

{,♦D1

17.若n是公比为2的等比数列，且4=】，则

239(用数字作答)

参考答案：

1013

10,3因为号+1=2.所以数列管+1}是以2为百项.2为公比的等比数列.

所以6+l)+(号+D+(号+1)+…+借+1)=2痣^=2"-2=忖22.

所以叽+号+%+…+?=1022-9=1013.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

12

18.(2016?广元一模)已知函数f(x)=7aX+bx(aWO),g(x)=l+lnx.

(I)若b=l,且F(x)=g(x)-f(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；

(II)设函数g(x)的图象G与函数f(x)的图象&交于点M、N,过线段MN的中点T

作x轴的垂线分别交G、C?于点P、Q,是否存在点T,使G在点P处的切线与C2在点Q处

的切线平行？如果存在，求出点T的横坐标，如果不存在，说明理由.

参考答案：

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程.

【分析】(I)先求函数F(x)的解析式，因为函数F(x)存在单调递减区间，所以F'

(x)<0有解，求出a的取值范围；

(II)利用反证法证明设点P、Q的坐标分别是(x“yl,(X”y?),0<x,<x2.假设

G在点M处的切线与C2在点N处的切线平行.求出函数的导数，求得切线的斜率，通过构

造函数，求导数判断单调性，结论即可得证

12

【解答】解：(I)b=l时，函数F(x)=g(x)-f(x)=l+lnx-2ax_x)x>0(

1ax2+xT

则F'(x)=x-ax-1=-x

因为函数F(x)存在单调递减区间，所以F'(x)VO有解，即ax2+x-l>0,有x>0的

解.

①a>0时，y=ax2+x-1为开口向上的抛物线，y=ax2+x-1>0总有x>0有解；

②aVO时,y=ax?+x-1为开口向下的抛物线,而尸ax"+x-1>0总有x>0的解；

A<<o

则△=l+4a>0,且方程y=ax"+2x-1=0至少有一个正根，此时，4a

1_

综上所述，a的取值范围为(-W,0)U(0,+8).

(II)设点M、N的坐标是(xi,yD,(X2,y2),OVxiVx2,

町+入2

则点P、Q的横坐标为-2,

,__2_

k1—x+又一I

1X叼十-2X1+X2

G点在P处的切线斜率为跖2，

a(x1+x2)

k2=ax+bIXi+xz=2+b

G点Q处的切线斜率为跖-y-

假设G点P处的切线与Q在点Q处的切线平行，则k,=k2

9a(x<+x)

—7—二一十j2b

即X1+X2'，则

2(X-X,)„

-----21-----~~An(x楙0-x；)+b(x2-x1)

z1

Xj+x22z1

(x2+bx2)-(yxj+bxj)=y2-y1=lnx2-lnx1

x

2(-2-1)

x2x1

Irr-

x1x

1+—2

X1

x2

t=--i-2(1)

则11+t,t>l

设XU①

节,t>l

人r(t)=Int

令

22

则t(t+i)t(t+l)

因为t>l时，r(t)>0,所以r(t)在(1,+8)上单调递增.

故r(t)>r(1)=0

h.t>2(t-l)

则1+t.这与①矛盾，假设不成立.

故3在点P处的切线与C2在点Q处的切线不平行.

【点评】本题主要考查导数的几何意义，考查导数是运算，以及利用导数研究函数的性

质，综合性较强，运算量较大，考查学生的运算能力.

4""比'2~*'4}5={和2-初十+2«2-加一1<0

19.设集合

(1)当"2时，求力的非空真子集的个数;

(2)若工口3,求实数根的取值范围.

参考答案：

解：化简集合人=[*2工段5),集合3={#-痢+1)。-2用-1)刘

(1)•.•xeZ,=(-2-10,1,2,3,4.5)(A的非空真子集数为2®-2=254个.

(2)①!^-2时，E-OG人；

②当水一2时，(2期+】H府-〔卜2+用＜0,所以B=R配+】•爬T),因此，要

'2w+lS-23

«=­0冽06

BQA,则只要Ia-1452,所以m的值不存在；

③当m>—2时，B=（m-l,2m+l），因此，要BqH,则只要

w-1S-2

=>-1<w<2

2w+l<5

综上所述，知m的取值范围是：m=-2或74附42

X-I+争

Ig

'■万（为参数），以原点。为极点，以轴为非负

20.在平面直角坐标系下，直线

半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线0的极坐标方程为夕—4ms0

（I）写出直线的普通方程和曲线。的直角坐标方程;

（H）若直线与曲线C交于4,6两点，求k48］的值.

参考答案：

（I）直线:x-"l=°,曲线C：（x-2『"-4；（H）|心|=国

【解析】

试H分析：（I>4£rttf>傅mOil方11为*由0-45©・0,M边同集以0.将曲

线C的鼻修处库方穆为口・2）'・4，（U）将■线JMtfW方程代入I®线Cfl』窗受旨方窿样

竹T♦（到・4,即FS-3・0,由鼻线用的几何蚁如，

加J*.痴.

析：（I）・线通为X—y-1-0,1EF”・・r-E-I—…….…8—2分

由0_4OK4?-0./"CDSJ-O.9-4x-0o（x-2）1-4

即曲线C的直角坐标方程为

（X-2）'+V・4.................5分

（II）把直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得

停T+（争）",即「_扬_3-0,

设方程■。的两根分别为4，G,则

⑷I=R-4|=J（4-代勺=54..................................................................................10

分

考点：极坐标与参数方程(互化)、直线参数几何意义.

o2

21.(14分)已知双曲线C：a-b=1(a>0,b>0),B、F?分别是它的左、右焦点，A

(-h0)是其左顶点，且双曲线的离心率为e=2.设过右焦点艮的直线1与双曲线C的

右支交于P、Q两点，其中点P位于第一象限内.

(1)求双曲线的方程；

1

(2)若直线AP、AQ分别与直线x='交于M、N两点，求证：MF2±NF2；

(3)是否存在常数入，使得NPF2A=ANPAFz恒成立？若存在，求出X的值，若不存

在，请说明理由.

参考答案：

【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题.

【专题】：圆锥曲线中的最值与范围问题.

【分析】：(1)由题可知：a=l.由于a-‘，可得c=2.再利用b2=c2-a?即可.

(2)设直线1的方程为：x=ty+2,另设：P(x“y。、Q(x2,y2).联立

x=ty+2,可得根与系数的关系.又直线AP的方程为xl+i,解得

(1,_包__)(1,…工_)一一

M22(xi+1).同理解得N22(x2+1),只要证明MFz'NF8o即

可.

(3)当直线1的方程为x=2时，解得P(2,3).易知此时△AF?P为等腰直角三角形，可

得：入二2.

当NAF2P=2NPAF,对直线1存在斜率的情形也成立.利用正切的倍角公式、斜率计算公

式、双曲线的方程、正切函数的单调性即可证明.

（1）解：由题可知：a=l.

/.c=2.

.-.b2=c2-a2=3,

2

2_y_

・,.双曲线C的方程为：X3T1.

（2）证明：设直线1的方程为：x=ty+2,另设：P（X,,y,）,

Q(X2,y2)・

3x2-y2=3

联立x=ty+2,化为(3t2-1)y2+12ty+9=0.

-12t9

yi1+2y93=­t2o_—1•1yt2y93=t~23-—1

y=-77（x+1）1

又直线AP的方程为xl+1,代入x=2,

（1,,）

解得M22（X]+l）.

y=—^7（x+1）1（/，5J：）

x+1

同理，直线AQ的方程为2，代入x=2,解得NZ^x2+U

k-Q_3yl、_f3-3y2

MF；

2叼2(x.+l),NF2_2G2+I)

14一，

__99yly2

>.MF2-NF2=4+4(X1+l)(x2+l)

99yly2

_44(ty.+l)(ty+l)

—1c9.

9____________________________

-2+t

=4+4[ty1y2(yi+y2)+11

9X—I—

9________311Z2______9-i-

d-u0

4,29-12t八、-44

4(t2X—i-3tx---+9)

3tz-l3t-1

.,.MF2±NF2.

(3)解：当直线1的方程为x=2时，解得P(2,3).易知此时AAF2P为等腰直角三角

形,

,71打

其中有2七，NPAF23，也即：X=2.

下证：NAF2P=2NPAF?对直线1存在斜率的情形也成立.

V1

2X771

2yj(xi+l)

ZtanNPAF?2kpA

1-2

tan2NPAFz=l-taj/PAF^l-k*22

X]+l二(X[+1)