五年级奥数-长方形、正方形的周长（剖析版）

第04讲长方形、正方形的周长教学目标教学目标 熟悉掌握基本图形周长的求法熟悉运用分解、平移、合并等技巧成基本图形，利用长方形、正方形周长计算的公式求解。能够分析图形的特点，提高几何图形的思维能力知识梳理知识梳理一、基本概念及公式周长：封闭图形一周的长度就是这个图形的周长。长方形周长=（长+宽）×2正方形周长=边长×4二、方法技巧对于基本的长方形和正方形图形，可以直接用公式求出它们的周长和面积。对于一些不规则的比较复杂的几何图形，我们可以采用转化的数学思想方法分解、平移、合并等技巧成基本图形，利用长方形、正方形周长计算的公式求解。典例分析典例分析考点一：平移法例1、有两个形同的长方形，长7厘米，宽5厘米，把他们按下图的样子重叠在一起，这个图形的周长是多少厘米？7厘米7厘米7厘米7厘米5厘米7厘米【解析】这是一个不规则的图形，我们可以利用平移线段的方法，将这个图形转化为正方形（如下图所示），原来长方形的长就是转化后正方形的边长，要求原来图形的周长，只要求得边长是7厘米的正方形的周长即可。周长=7×4=28（厘米）例2、下面是一个楼梯的侧面，如果在楼梯上铺地毯，求地毯的长度【解析】如果把每层台阶的宽度向上移到和最上层台阶同样高的地方，把每层台阶的高度向右移到和最下层的台阶长度一致的地方（如下图），这样楼梯侧面图就转化为一个长方形，然后我们利用长方形周长计算公式求出此图形的周长。周长=4×2=8（米），故地毯的长度为8米。例3、下图由1个正方形和2个长方形组成.求这个图形的周长201592015950【解析】将其图形左边的边长往左平移，图形右边的边长往右平移，与矩形长平行的边长向上方的平移可得到右图矩形，长方形的周长就是不规则图形的周长=（50+20+9+15)×2=188cm例4、求下面这个图形（每个小正方形的顶点恰好在另一个正方形的中心，且边相互平行）的周长？【解析】如下图，把原图形外周围凹进行的线段平移出来，围成了一个正方形，原图形周长就等于转换图围成的正方形的周长。从图中可以看出这个围成的大正方形的边长就等于1个小正方形的边长加上小正方形边长一半的7倍。这个大正方形的边长为：2+2÷2×7=9（厘米）所以原图形的周长就等于：9×4=36（厘米）2、有5张同样大小的纸如下图（a）重叠着，每张纸都是边长6厘米的正方形，重叠的部分为边长的一半，求重叠后图形的周长。思路与导航根据题意，我们可以把每个正方形的边长的一半同时向左、右、上、下平移（如图b），转化成一个大正方形，这个大正方形的周长和原来5个小正方形重叠后的图形的周长相等。因此，所求周长是18×4=72厘米。考点二：合并法例1、如下图所示,长方形长4厘米,宽2厘米.现沿其对角线BD对折得到一几何图形,试求图形阴影部分周长。【解析】阴影部分周长=三角形DEF的周长+三角形BFC的周长=(DE+DF+EF)+(BF+CF+BC)，观察一下，可以利用合并，得阴影部分周长=（DF+FC）+(EF+BF)+(DE+BC)=CD+BE+DE+BC=4+4++3+3=14厘米例2、用一个长8厘米、宽4厘米的长方形与7个边长为4厘米的正方形，拼成一个大正方形。拼成的大正方形的周长是多少？

【解析】将长方形和小正方形面积合并起来，先由大正方形的面积，求出其边长，再求出这个大正方形周长。大正方形的面积就是拼成大正方形的8个图形的面积之和：8×4+4×4×7=144（平方厘米），对144分解因数：144=12×12，即正方形的边长为12。所以正方形的周长为：12×4=48（厘米）考点三：分解法例1、如图,在长方形ABCD中,EFGH是正方形.如果AF=10厘米,HC=7厘米,那么长方形ABCD的周长是多少厘米?【解析】长方形ABCD的周长=(AB+BC)×2。既然不能直接求AB、CD长度，那就转化分解为题目已知的长度。AB=AF+BF,在长方形BFGC中BC=FG,BF=CG。在正方形EFGH中FG=HG,故BF=CG,BC=HG。AB+BC=AF+CG+HG=AF+CH=10+7=17厘米，所以长方形ABCD周长=17×2=34厘米例2、下图是由4个一样的长方形和1个周长是4分米的小正方形拼成的一个边长是11分米的大正方形，每个长方形的长与宽各是多少分米？周长是多少分米？【解析】大正方形的边长可以分解为小长方形的长与宽之和，也可以分解为2倍的小长方形宽与小正方形的边长。所以小长方形的宽是（11-4）÷2=3.5（分米），小长方形的长=11-3.5=7.5（分米)。周长=11×2=22(分米）实战演练实战演练课堂狙击1、如图一，一个正方形分成甲、乙两部分，比较甲、乙两部分周长的长短，求出乙的周长。【解析】如下图二，把原图中，乙图凹进去的四条线段平移出来，正好与外围四条线段围成了一个正方形与原正方形重合，乙图的周长就等于原正方形的周长：5×4=20。如上图三，把原图中，甲图凹进去的两条线段平移出来，正好与外围四条线段围成了一个长方形，甲图的周长就等于这个长方形的周长。通过对比，这个长方形的每条边长都小于5，所以甲图的周长比乙图的周长要短。2、一个正方形被分成6个大小、形状完全一样的长方形，每个长方形的周长是14厘米。原正方形的周长是多少厘米？【解析】解题的关键是充分利用图形中隐藏的条件：正方形四边相等，正方形的边长既等于被分成的长方形的长，又等于这个长方形的宽的6倍。所以被分成的长方形的长是宽的6倍。如果把长方形宽的长度看着1份，长就是6份，周长就是14份，则小长方形的宽为：14÷（1+6+1+6）=1（厘米）；长为：1×6=6（厘米）所以原正方形的周长：6×4=24（厘米）3、由16个同样大小的正方形组成的一个“5”字形，如果这个图形的面积是400平方厘米，它的周长是多少厘米？【解析】每个小正方形的面积为：400÷16=25（平方厘米），把25分解因数：25=5×5，即每个小正方形的边长为5厘米如果把小正方形的边长看着1个单位长度。通过平移，题中图形的周长就相当于一个长为7个单位长度，宽为4个单位长度的长方形周长，再加上4条长为3个单位长度的线段的长度。原图形的周长为：（4+7）×2+3×4=34（份）；34×5=170（厘米）另：也可以直接数出题中图形的周长是由34个小正方形边长围成。4、下图是一个零件的平面图，图中每一条最短线段均长5厘米，零件长45厘米，高30厘米。这个零件的周长是多少厘米？【解析】将不规则图形平移到右图，得到一个大长方形与10条最短线段。周长=（30+45）×2+10×5=200厘米5、用同样的长方形瓷砖，在一盆盆景的周围镶成大正方形的边框，边框的周长是264cm,里面小正方形的面积是900平方厘米。求每块瓷砖的周长。【解析】大正方形的边长可以分解为小长方形宽与2倍的小长方形长之和，也可以分解为小正方形边长与2倍的小长方形宽之和。小正方形的面积是900平分厘米，分解质因数900=30×30，所以小正方形的边长是30厘米。大正方形的边长=264÷4=66厘米。故小长方形宽=（66-30）÷2=18厘米。小长方形的长=（66-18）÷2=24厘米。所以小长方形的周长为（18+24）×2=84厘米6、一块长方形木板，沿着它的长度不同的两条边各截去4厘米，截掉的面积为192平方厘米。现在这块木板的周长是多少厘米？【解析】把截掉的192平方厘米分成A、B、C三块（如图），其中AB的面积是192－4×4=176（平方厘米）。把A和B移到一起拼成一个宽4厘米的长方形，而此长方形的长就是这块木板剩下部分的周长的一半。176÷4=44（厘米），现在这块木板的周长是44×2=88（厘米）课后反击1、有5张同样大小的纸如下图（a）重叠着，每张纸都是边长6厘米的正方形，重叠的部分为边长的一半，求重叠后图形的周长。【解析】根据题意，我们可以把每个正方形的边长的一半同时向左、右、上、下平移（如图b），转化成一个大正方形，这个大正方形的周长和原来5个小正方形重叠后的图形的周长相等。因此，所求周长是18×4=72厘米。2、求下列图形的周长。（单位：厘米）【解析】从图中可以看出，整个图形的周长由八条线段围成，其中四条横着，四条竖着。其中上面三条横着的线段和是10厘米，那么这样四条横着的线段和是10+10=20（厘米），四条竖着的线段和是8×2+2×2=20（厘米）所以，整个图形的周长是20+20=40（厘米）3、已知下图中，甲是正方形，乙是长方形，整个图形的周长是多少？【解析】从图中可以看出，整个图形的周长由六条线段围成，其中三条横着，三条竖着。三条横着的线段和是（a＋b）×2、三条竖着的线段和是b×2。所以，整个图形的周长是（a＋b）×2＋b×2、即2a＋4b。4、如图8所示，在正方形中ABCD，BC=4BM．若梯形AMCD的周长比三角形ABM的周长大12，求正方形的边长。【解析】因为AB=CD，AM是梯形AMCD与三角形ABM共有的边，所以梯形AMCD的周长-三角形AB的周长=CM+AD-BM=12。又因为MC=4BM，则CM=3BM，AD=BC=4BM，于是6BM=12，解得BM=2，所以AB=8。直击赛场直击赛场1、从长方形纸片上裁掉两个正方形ABCD和正方形CEFG，其中正方形ABCD的面积是49平方厘米，求余下的长方形纸片DGFH的周长【解析】长方形纸片DGFH的周长=2（DG+GF）=2CD，恰好是正方形ABCD的边长的2倍．因为正方形ABCD的面积是49平方厘米，所以正方形ABCD的边长是7厘米，2×7=14（厘米）．故长方形纸片DGFH的周长是14厘米10+12=222、求下图的周长（单位厘米）10+12=221919【解析】平移图中的部分线段后，可得到如图上长方形，长方形的周长就是所求图形的周长．则图可得，长方形的宽是19厘米，长是10+12=22（厘米）．