浙教版七年级上册期末数学复习讲义-历年真题分类-原卷

【有理数的混合运算】例1：（2020秋•杭州期末）计算：（1）13+（﹣0.25）﹣（﹣4）+|﹣3﹣|；（2）（﹣2）2﹣9；（3）﹣100×．例2．（2021秋•上城区期末）在学习了有理数的运算后，小明定义了新的运算：取大运算“v”和取小运算“Λ”，比如：3v2＝3，3Λ2＝2，利用“加、减、乘、除”以及新运算法则进行运算，下列运算中正确的是．①[3v（﹣2）]Λ4＝4②（avb）vc＝av（bvc）③﹣（avb）＝（﹣a）Λ（﹣b）④（aΛb）×c＝acΛbc【变式训练】1．（2021秋•杭州期末）定义一种新运算：a⊕b＝a2﹣2ab+b2，如1⊕2＝12﹣2×1×2+22＝1，若x⊕（﹣1）＝x⊕3，则x＝．2．（2020秋•钱塘区期末）任意大于1的正整数m的三次幂均可以“拆解”成m个连续奇数的和．例如：23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…以此类推，现已知m3的“拆解数”中有一个数是2077，则m的值是（）A．45 B．46 C．47 D．483．（2020秋•拱墅区校级期末）用“※”定义一种新运算：对于任意有理数x和y，x※y＝xy+a（x+y）+1（a为常数）．例如：2※3＝2×3+（2+3）a+1＝5a+7．若2※（﹣1）的值为3，则a的值为．4．（2020秋•上城区期末）如果有4个不同的正整数a，b，c，d满足（2021﹣a）（2021﹣b）（2021﹣c）（2021﹣d）＝8，那么a+b+c+d的值是．【实数及运算】例：1（2021秋•上城区期末）计算：（1）﹣4﹣（+20）﹣（﹣15）；（2）；（3）32÷（﹣2）3﹣（﹣3）2×；（4）．例2．（2020秋•钱塘区期末）下列说法正确的是（）A．因为（﹣3）2的底数是﹣3，所以（﹣3）2没有平方根 B．因为13的平方是169，所以169的平方根是13 C．一个非负数的算术平方根一定是非负数 D．任何实数都有正、负两个平方根例3．（2020秋•拱墅区校级期末）点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的实数分别是a，b，下列结论错误的是（）A．|b|＜2＜|a| B．1﹣2a＞1﹣2b C．﹣a＜b＜2 D．a＜﹣2＜﹣b【变式练习】1．（2020秋•滨江区期末）计算：（1）|+5|﹣|﹣8|．（2）22+8×（﹣）3+8÷．（3）2×（﹣2）﹣2．（4）25×﹣（﹣25）×+25×（﹣）．（5）；（6）．2．（2021秋•西湖区期末）如图，每个小正方形的边长为1，可通过“剪一剪”，“拼一拼”，将五个小正方形拼成一个面积一样的大正方形，则这个大正方形的边长是．3．（2020秋•下城区期末）若|a﹣2021|+＝2，其中a，b均为整数，则符合题意的有序数对（a，b）的组数是．4．（2020秋•下城区期末）对于实数a，b，定义运算“△”满足：a△b＝k1a2+k2ab+k3b2．若2△（﹣3）＝（﹣3）△2，则（）A．k1＝k2 B．k1＝k3 C．k2＝k3 D．k1+k3＝2k25．（2020秋•江干区期末）阅读材料：数轴上A、B两点分别对应的实数a、b，则|a﹣b|表示A、B两点之间的距离，若a≥b，则|a﹣b|＝a﹣b；若a＜b，则|a﹣b|＝b﹣a．（1）若数轴上A点对应的实数a＝﹣1，且|a﹣b|＝3，则数轴上B点对应的实数b＝．（2）若数轴上A、B两点对应的数分别对应代数式2x2﹣3x﹣1，﹣3x2+2x+4，且点A在B的右边，求A、B两点之间的距离．（3）若数轴上A、B两点对应的数分别为关于x的代数式2x2﹣3x﹣1，mx2+2x+4，且求得A，B两点之间的距离所得结果不含字母x2，求m的值．【列代数式】例1．（2020秋•滨江区期末）一个三角形的每条边上都有相同数目的小球，设每条边上的小球个数为m，则该三角形上小球总数为（结果用含m的代数式表示）．例2．（2021秋•西湖区期末）某企业有A、B两类经营收入．今年A类年收入为a元，B类年收入是A类年收入的2倍，预计明年A类年收入将增加10%，B类年收入将减少10%．则明年该企业的年总收入为元．（用含a的代数式表示）【变式练习】1．（2021秋•拱墅区期末）将长方形Ⅰ，正方形Ⅱ，正方形Ⅲ以及长方形Ⅳ按如图所示放入长方形ABCD中（相邻的长方形，正方形之间既无重叠，又无空隙），已知AB＝m（m为常数），BE＝DN．（1）若DN＝1．①求AM，BC的长（用含m的代数式表示）．②若长方形Ⅰ的周长是正方形Ⅲ的周长的倍，求m的值．（2）若已知大长方形ABCD的周长为12，则能否求出正方形Ⅱ，以及长方形Ⅳ的周长？若能，请求出相应的周长；若不能，请说明理由．2．（2020秋•下城区期末）青藏铁路线上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段．列车在冻土地段、非冻土地段的行驶速度分别是100千米/小时和120千米/小时．（1）列车在冻土地段行驶时，t小时行驶多少千米（用含t的代数式表示）？（2）在格尔木到拉萨路段，列车通过冻土地段比通过非冻土地段多用0.5小时，如果通过冻土地段需要m小时，则非冻土地段的长度是多少千米（用含m的代数式表示）？3．（2020秋•下城区期末）某景区门票上绘制了简易游览图（如图）．从游客中心到观景台有1km山路，从观景台到山顶有2km山路．圆圆同学从导游口中得知：离观景台500m处有一个凉亭，离凉亭200m处有一个小卖部．（1）圆圆同学把这张图中的游览线路抽象成一条数轴，其中游客中心是原点，往山顶方向为正方向，1km为1个单位长度，请在数轴上标出小卖部P所有可能的位置，并用数字表示出来．（2）圆圆同学上山时从游客中心到山顶共用了h小时，下山时从山顶到游客中心的平均速度为v千米/小时，求圆圆同学上山、下山全程的平均速度（用含h和v的代数式表示）．（3）若凉亭在观景台到山顶的途中．方方同学上午8：00从游客中心出发匀速上山，于8：40到达观景台，在观景台停留30分钟后，以同样的速度继续上山，途中又在凉亭休息了15分钟，到山顶游玩了35分钟后下山（下山途中不再停留），为了在下午13：00准时回到游客中心，方方同学下山的速度比上山的速度快a%，求a的值．【找规律型问题】例1．（2021秋•拱墅区期末）观察下列按一定规律排列的n个数：1，3，5，7，9，…．若最后三个数之和是99，则这列数中最大的数为（）A．17 B．19 C．33 D．35例2．（2021秋•滨江区期末）将1，2，4按如图方式进行排列，记（m，n）为该图形中第m行从左往右第n个数，例如图中圆圈中的“2”可以用（3，4）表示．若a＝（2021，9），b＝（5，7），则﹣ab＝（）A．﹣1 B．﹣4 C．﹣16 D．43．（2020秋•拱墅区校级期末）小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图1中棋子围成三角形，其颗数3，6，9，12，…称为三角形数．类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A．2010 B．2012 C．2014 D．2016【变式练习】1．（2020秋•拱墅区校级期末）在同一平面内有n条直线，当n＝1时，如图①，一条直线将一个平面分成两个部分；当n＝2时，如图②，两条直线将一个平面最多分成四个部分．（1）在作图区分别画出当n＝3时，三条直线将一个平面分成最少部分和最多部分的情况；（2）当n＝4时，请写出四条直线将一个平面分成最少部分的个数和最多部分的个数；（3）若n条直线将一个平面最多分成an个部分，（n+1）条直线将一个平面最多分成an+1个部分，请写出an，an+1，n之间的关系式．2．（2020秋•上城区期末）将﹣1，2，﹣3，4，…60这60个整数分成两组，使得一组中所有数的和比另一组所有数的和小10，这样的分组方法有（）A．1种 B．2种 C．3种及以上 D．不存在3．（2020秋•拱墅区期末）观察下列两列数：﹣2，﹣4，﹣6，﹣8，﹣10，﹣12，…﹣2，﹣5，﹣8，﹣11，﹣14，﹣17，…通过探究可以发现，第1个相同的数是﹣2，第2相同的数是﹣8，…．则第10个相同的数是．若第n个相同的数是﹣2018，则n＝．4．（2019秋•上城区期末）如图，一个点表示一个数，不同位置的点表示不同的数，每行各点所表示的数自左向右从小到大，且相邻两个点所表示的数相差1，每行数的和等于右边相应的数字．那么，表示2020的点在第行，从左向右第个位置．【整式加减化简求值】例1．（2021秋•杭州期末）图中的长方形ABCD由1号、2号、3号、4号四个正方形和5号长方形组成，若1号正方形的边长为a，3号正方形的边长为b，则长方形ABCD的周长为（）A．16a B．8b C．4a+6b D．8a+4b例2．（2020秋•杭州期末）若化简代数式（x3+bx2﹣5x﹣1）﹣（2ax3﹣x2+x﹣5）的结果中不含x2和x3项，（1）试求a，b的值；（2）在（1）的条件下，求整式3a2b﹣ab2的5倍与ab2+3a2b的差．【变式练习】1．（2020秋•杭州期末）已知：x﹣3y＝4，那么代数式x﹣3y﹣3（y﹣x）﹣2（x﹣3）的值为（）A．12 B．13 C．14 D．162．（2021秋•杭州期末）在数学课上，老师给出了一道题目：“先化简再求值：（x2+□x﹣1）﹣3（x2﹣2x+4），其中x＝﹣1”，□中的数据被污染，无法解答，只记得□中是一个实数，于是老师即兴出题，请同学们回答．（1）化简后的代数式中常数项是多少？（2）若点点同学把“x＝﹣1”看成了“x＝1”，化简求值的结果仍不变，求此时□中数的值；（3）若圆圆同学把“x＝﹣1”看成了“x＝1”，化简求值的结果为﹣3，求当x＝﹣1时，正确的代数式的值．3．（2020秋•西湖区校级期末）如图1，将7张长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（）A．a＝b B．a＝3b C．a＝2b D．a＝4b4．（2020秋•西湖区校级期末）定义：若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数．（1）3与是关于1的平衡数，5﹣x与是关于1的平衡数．（用含x的代数式表示）（2）若a＝2x2﹣3（x2+x）+4，b＝2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2]，判断a与b是否是关于1的平衡数，并说明理由．5．（2020秋•萧山区期末）已知：x﹣3y＝4，那么代数式x﹣3y﹣3（y﹣x）﹣2（x﹣3）的值为（）A．12 B．13 C．14 D．16【等式的性质、方程的解】例1．（2021秋•西湖区期末）根据等式的性质，若等式m＝n可以变为m+a＝n﹣b，则（）A．a，b互为相反数 B．a，b互为倒数 C．a＝b D．a＝0，b＝0例2．（2021秋•拱墅区期末）已知﹣2是关于x的方程（4﹣ax）＝x﹣3a的解，则a的值为．例3．（2020秋•杭州期末）已知关于x的方程x+2﹣x＝m的解是x＝21，那么关于y的一元一次方程y+23﹣（y+21）＝m的解是y＝．【变式练习】1．（2020秋•上城区期末）小明在解关于x的一元一次方程＝3x时，误将﹣x看成了+x，得到的解是x＝1，则原方程的解是（）A．x＝﹣1 B．x＝﹣ C．x＝ D．x＝12．（2019秋•上城区期末）已知关于x的方程x﹣a＝3x﹣14，若a为正整数时，方程的解也为正整数，则a的最大值是（）A．12 B．13 C．14 D．153．（2020秋•上城区期末）若关于x的方程x﹣3a＝3b的解是x＝2，则关于y的方程﹣y﹣b＝a的解y＝．4．（2020秋•萧山区期末）已知关于x的方程x-5﹣x＝m的解是x＝21，那么关于y的一元一次方程y+16﹣（y+21）＝m的解是y＝．5．（2019秋•滨江区期末）已知关于x的一元一次方程+a＝2020x的解为x＝2020，那么关于y的一元一次方程＝2020（1﹣y）+a的解为．【解一元一次方程】例1．（2019秋•滨江区期末）解方程：（1）5x+5＝9﹣3x（2）（3）【变式练习】1．（2020秋•杭州期末）解方程：（1）3（x﹣2）+8x＝5；（2）．（3）6﹣2（x﹣3）＝x﹣3．（4）x﹣（1﹣）＝．2．（2020秋•江干区期末）小明解一道一元一次方程的步骤如下：．解：6﹣（x+2）＝2（2x﹣5）+6x②6﹣x﹣2＝4x﹣10+6x③﹣x﹣4x﹣6x＝﹣10﹣6+2④﹣11x＝﹣14⑤以上6个步骤中，其依据是等式的性质有（）A．①②④ B．②④⑥ C．③⑤⑥ D．①②④⑥3．（2021秋•滨江区期末）多项式mx﹣n和﹣2mx+n（m，n为实数，且m≠0）的值随x的取值不同而不同，如表是当x取不同值时多项式对应的值，则关于x的方程﹣mx+n＝2mx﹣n的解是．x1234mx﹣n﹣2﹣101﹣2mx+n1﹣1﹣3﹣54．（2020秋•西湖区期末）对于三个互不相等的有理数a，b，c，我们规定符号max{a，b，c}表示a，b，c三个数中较大的数，例如max{2，3，4}＝4．按照这个规定则方程max{x，﹣x，0}＝3x﹣2的解为．5．（2020秋•钱塘区期末）关于x的方程x+2n＝m，有下列说法：①若m＝n＝﹣2021，则方程的解为x＝﹣2021；②若与方程x+2m＝n的解相同，则m﹣n＝0；③若代数式3m﹣6n+2的值是2021，则x＝673；④无论m、n取何值，与方程x﹣m＝3n的解不可能是互为相反数．其中正确的是．（填写序号）【一元一次方程应用】例1．（2020秋•西湖区期末）学校在一次研学活动中，有n位师生乘坐m辆客车，若每辆客车乘50人，则还有12人不能上车；若每辆客车乘55人，则最后一辆车空了13个座位．下列四个等式：①50m+12＝55m﹣13；②50m﹣12＝55m+13；③；④．其中正确的是（）A．①② B．①③ C．③④ D．①④例2．（2020秋•江干区期末）若进价为100元的衣服标价150元出售，若准备降价出售，使利润率为20%，设降价率为x，可列方程为（）A．150x﹣100＝150×20% B．150x﹣100＝100×20% C．150（1﹣x）＝100×（1+20%） D．100（1+x）＝150×20%例3．（2020秋•滨江区期末）为了鼓励市民节约用水，某区居民生活用水按阶梯式水价计费．居民在一年内用水在不同的定额范围内，执行不同的水价，其中水价＝供水价格+污水处理费．具体价格表如下：类别户年用水量（立方米）水价（立方米）供水价格（元/立方米）污水处理费（元/立方米）居民生活用水一户一表阶梯一0～216（含）1.901.00阶梯二216～300（含）2.85阶梯三300以上5.70该区一居民家发现2020年7月份比6月份多用10立方米水，7月份水费为86.4元，比6月份多了55.6元，则该居民家7月份属阶梯二的用水量为（）A．22立方米 B．18立方米 C．13立方米 D．12立方米例4．（2020秋•滨江区期末）A，B两地相距a千米，C地在AB的延长线上，且BC＝千米，D是A，C两地的中点．（1）求AD长（结果用含a的代数式表示）．（2）若BD＝90千米，求a的值．（3）甲、乙两车分别从A，D两地同时出发，都沿着直线AC匀速去C地，经4小时甲追上乙．当甲追上乙后甲马上原路返回，甲返回行驶1小时时发现甲车距D地50千米．已知a＝600千米，求乙车行驶的平均速度．例5．（2020秋•拱墅区校级期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．求∠CON的度数；（2）将图1中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第几秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC？（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．例6．（2020秋•上城区期末）点A，B在数轴上对应的数分别为a，b，且a，b满足|a﹣8|+（b﹣6）2＝0，点P从点A出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向左匀速运动，同时，点Q从点B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动．（1）求出点P运动t（t＞0）秒后在数轴上对应的数（结果用含t的代数式表示）；（2）求PQ相距8个单位时，点P运动的时间；（3）在点P，Q开始运动的同时，又有一点M从点A出发，以每秒3个单位的速度沿数轴向左匀速运动．当运动时间为t秒时，求．【变式练习】1．（2020秋•拱墅区期末）某超市有线上和线下两种销售方式．去年10月份该超市线下销售额比线上销售额多a元．与去年相比，该超市今年10月份线上销售额增长35%，线下销售额减少10%．若该超市今年10月份的销售总额比去年10月份的销售总额增加了10%，则今年10月份线上销售额与当月销售总额的比为（）A． B． C． D．2．（2019秋•上城区期末）某商场年收入由餐饮、零售两类组成．已知2018年餐饮类收入是零售类收入的2倍，2019年因商场运营调整，餐饮类收入减少了10%，零售类收入增加了18%，若该商场2019年零售类收入为708万元，则该商场2019的年收入比2018年（）A．增加12万元 B．减少12万元 C．增加24万元 D．减少24万元3．（2020秋•钱塘区期末）甲、乙两人同时从A，B两地出发赶往目的地B，A，甲骑摩托车，乙骑自行车，沿同一条路线相向匀速行驶，出发后经2.5小时两人相遇．已知在相遇时甲比乙多行驶了75千米，相遇后经1小时甲到达B地．（1）求甲、乙两人行驶的速度．（2）在整个行程中，问甲、乙行驶多少小时，两车相距35千米．4．（2020秋•拱墅区期末）某快递公司每件普通物品的收费标准如表：寄往省内寄往省外首重续重首重续重10元/千克8元/千克15元/千克12元/千克说明：①每件快递按送达地（省内，省外）分别计算运费．②运费计算方式：首重价格+续重×续重运费．首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以0.5千克为计重单位（不足0.5千克按0.5千克计算）．例如：寄往省内一件1.7千克的物品，运费总额为：10+8×（0.5+0.5）＝18元．寄往省外一件3.2千克的物品，运费总额为：15+12×（2+0.5）＝45元．（1）小丁同时寄往省内一件2千克的物品和省外一件2.7千克的物品，各需付运费多少元？（2）小丽同时寄往省内和省外同一件a千克的物品，已知a超过2，且a的整数部分是m，小数部分小于0.5，请用含字母的代数式表示这两笔运费的差．（3）某日小丁和小丽同时在该快递公司寄物品，小丁寄往省外，小丽寄往省内，小丁的运费比小丽的运费多43元，物品的重量比小丽多1.5千克，则小丁和小丽共需付运费多少元？5．（2021秋•上城区期末）在一次知识竞赛中，甲、乙两班各有50位同学参加比赛，每位同学都需要完成三道题的答题，竞赛规则为：“答对一题得10分，不答或者答错扣10分”．（1）请直接写出每位同学所有可能的得分情况；（2）甲班的答题情况为：有2位同学全部答错，全对的人数是答对1题人数的3倍少6人，答对两题的人数是答对1题人数的2倍；乙班的答题情况为：没有同学全部答错，答对一题人数的3倍和答对2题的人数之和等于全部答对的人数．①求甲班全部答对的人数；②请判断甲乙两班哪个班的得分更高，并说明理由．6．（2020秋•西湖区期末）如图，数轴上有A，B两点，A在B的左侧，表示的有理数分别为a，b，已知AB＝12，原点O是线段AB上的一点，且OA＝5OB．（1）求a，b的值．（2）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向数轴正方向匀速运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动，当t为何值时，2OP﹣OQ＝3．（3）在（2）的条件下，若当点P开始运动时，动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度也向数轴正方向匀速运动，当点M追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后点M就停止运动．求点M停止时，点M在数轴上所对应的数．7．（2020秋•杭州期末）数轴上A点对应的数为﹣10，B点在A点右边，甲、乙在B分别以2个单位/秒，1个单位/秒的速度向左运动，丙在A以3个单位/秒的速度向右运动．（1）若它们同时出发，经过5秒丙和乙相遇，求B点表示的数；（2）在（1）的条件下，设它们同时出发的时间为t秒，是否存在t（t＞0）的值，使得甲、乙、丙三个点中的其中一个点，到另外两个点的距离相等．8．（2020秋•江干区期末）2018年10月1日开始实施新的个人所得税政策，个人所得税起征点由原来的每月3500元提高到每月5000元（即工资5000元以下不交税），纳税人每月的工资扣除5000元后所得的余额作为应纳税所得额（不考虑其他因素），根据个人所得税税率表（如下表）计算每月上交的个人所得税．个人所得税税率表级数全月应纳税所得额税率1不超过3000元的3%2超过3000元至12000元部分10%3超过12000元至25000元部分20%4超过25000元至35000元部分25%5……例如：小明妈妈月工资5000元，当月纳税额为0元；小王爸爸月工资9000元，应纳税额为3000×3%+（9000﹣5000﹣3000）×10%＝190元．根据以上信息回答问题：（1）2020年，小明妈妈和爸爸月工资分别为7000元，11000元，分别求他们每月上交的个人所得税．（2）2021年，小明爸爸和妈妈月工资同时增长，小明爸爸说：“2021年我的月工资是你妈妈的两倍．”小明妈妈说：“你爸爸每个月交个人所得税是我的10倍还多40元．”小明爸爸说：“我们的个人所得税的税率级数相对2020年没有变化．”请根据以上对话，求小明爸爸、妈妈2021年的月工资是多少元？（3）若小明爸爸、妈妈的月工资分别为a，b元，其中（17000＜a≤40000），（5000＜b≤8000），爸爸每月的个人所得税是妈妈的m倍，请用a，b的代数式表示m．9．（2020秋•西湖区校级期末）已知∠AOB＝150°，OC为∠AOB内部的一条射线，∠BOC＝60°．（1）如图1，若OE平分∠AOB，OD为∠BOC内部的一条射线，，则∠DOE＝35°；（2）如图2，若射线OE绕着O点从OA开始以每秒15°的速度顺时针旋转至OB结束、OF绕着O点从OB开始以每秒5°的速度逆时针旋转至OA结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动．若运动时间为t秒，当∠EOC＝∠FOC时，求t的值；（3）如图3，若射线OM绕着O点从OA开始以每秒15°的速度逆时针旋转至OB结束，在旋转过程中，ON平分∠AOM，试问：2∠BON﹣∠BOM在某时间段内是否为定值？若不是，请画出图形，并说明理由；若是，请画出图形，并直接写出这个定值以及t相应所在的时间段．（题中的角均为大于0°且小于180°的角）10．（2020秋•上城区期末）七八年级共有92名学生参与元旦表演（其中七年级人数多于八年级人数，且七年级人数不到90名），下面是某服装店给出的演出服装的价格表：购买服装的套数1～45套46～90套91套及以上每套服装的价格60元50元40元如果两个年级分别单独购买服装，一共应付5000元．（1）若七八年级联合购买服装，则比各自购买服装共可以节省多少元？（2）七八年级各有多少名学生参加演出？（列方程求解）（3）如果七年级有10名同学因故不能参加演出，请你为这两个年级设计一种最省钱的购买服装方案．【数轴和线段】例1．（2020秋•拱墅区校级期末）从起始站A市坐火车到终点站G市中途共停靠5次，各站点到A市距离如下：站点BCDEFG距A市距离（千米）4458051135149518252270若火车车票的价格由路程决定，则沿途总共有种不同的票价．例2．（2021秋•上城区期末）如图，D、E顺次为线段AB上的两点，AB＝20，C为AD的中点，则下列选项正确的是（）A．若BE﹣DE＝0，则AE﹣CD＝7 B．若BE﹣DE＝2，则AE﹣CD＝7 C．若BE﹣DE＝4，则AE﹣CD＝7 D．若BE﹣DE＝6，则AE﹣CD＝7例3．（2020秋•杭州期末）如图，点A，B，C是直线l上的三个定点，AB＝3BC，AB﹣BC＝6m，其中m为大于0的常数，若点D是直线l上的一动点，M、N分别是AD、CD的中点，则MN与BC的数量关系是（）A．MN＝2BC B．MN＝BC C．MN＝3BC D．2MN＝3BC例4．（2020秋•下城区期末）在射线AB上截取BC＝2AB，点D是BC的中点，点E是AC的中点，AD＝2．（1）求BE的长；（2）设k为正整数，讨论（k+1）•BD和k•EC的大小．【变式练习】1．（2020秋•滨江区期末）如图，棋盘上有黑、白两色棋子若干，如果在一条至少有两颗棋子的直线（包括图中没有画出的直线）上只有颜色相同的棋子，我们就称“同棋共线”．图中“同棋共线”的线共有（）A．12条 B．10条 C．8条 D．3条2．（2020秋•江干区期末）如图，C、D是线段AB上两点，M、N分别是线段AD，BC的中点，下列结论：①若AD＝BM，则AB＝3BD；②AC＝BD，则AM＝BN；③AC﹣BD＝2（MC﹣DN）；④2MN＝AB﹣CD．其中正确的结论是（）A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④3．（2021秋•拱墅区期末）如图，点O是线段AB的中点，点D是线段AO的中点，点E是线段BD的中点，点F是线段AE的中点．若AB＝8，则DF＝；若OE＝a，则OF＝（用含a的代数式表示）．4．（2021秋•杭州期末）如图，点A，B是直线l上的两点，点C，D在直线l上且点C在点D的左侧，点D在点B的右侧．AC：CB＝2：1，BD：AB＝3：2．若CD＝11，则AB＝．5．（2021秋•滨江区期末）某操作车间有一段直线型向左移动的传输带，A，B两位操作工人站于传输带同侧且相距16米，操作组长F也站在该侧，且到A，B距离相等，传输带上有一个8米长的工具筐CE．（1）如图1，当CE位于A，B之间时，F发现工具筐的C端离自己只有1米，则工具筐C端离A米，工具筐E端离B米．（2）工具筐C端从B点开始随传输带向左移动直至工具筐E端到达A点为止，这期间工具筐E端到B的距离BE和工具筐E端到F的距离EF存在怎样的数量关系，并用等式表示．（你可以在图2中先画一画，再找找规律）6．（2020秋•下城区期末）如图，在数轴上，点A，点B表示的数分别是﹣8，10．点P以2个单位/秒的速度从A出发沿数轴向右运动，同时点Q以3个单位/秒的速度从点B出发沿数轴在B，A之间往返运动．当点P到达点B时，点Q表示的数是．7．（2020秋•江干区期末）在数轴上有一线段AB，左侧端点A，右侧端点B．将线段AB沿数轴向右水平移动，则当它的左端点A移动到和右端点原位置重合时，右端点B在数轴上所对应的数为24，若将线段AB沿数轴向左水平移动，则右端点B移动到左端点原位置时，左端点A在轴上所对应的数为6（单位：cm）．（1）线段AB长为．（2）由题（1）的启发，请你借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄．爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要等30年才出生；你若是我现在这么大，我已经是120岁的老寿星了，哈哈！”则推算爷爷现在的年龄是．8．（2021秋•西湖区期末）已知点A，B，C，D是同一数轴上的不同四点，且点M为线段AB的中点，点N为线段CD的中点．如图，设数轴上点O表示的数为0，点D表示的数为1．（1）若数轴上点A，B表示的数分别是﹣5，﹣1，①若点C表示的数是3，求线段MN的长．②若CD＝1，请结合数轴，求线段MN的长．（2）若点A，B，C均在点O的右侧，且始终满足MN＝，求点M在数轴上所表示的数．【角的计算】例1．（2020秋•杭州期末）将一张纸如图所示折叠后压平，点F在线段BC上，EF，GF为两条折痕，若∠1＝51°，∠2＝20°，∠3的度数．例2．（2021秋•拱墅区期末）如图，点O在直线AB上，射线OC，OD在直线AB的同一侧（其中0°＜∠AOC＜90°，0°＜∠BOD＜90°），射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD．若∠EOD和∠COF互补，则（）A．∠AOC＝60° B．∠COF＝90° C．∠COD＝60° D．∠AOD＝120°【变式练习】1．（2021秋•西湖区期末）若∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为补角，则下列结论：①∠3﹣∠2＝90°；②∠3+∠2＝270°﹣2∠1；③∠3﹣∠1＝2∠2；④∠3＜∠1+∠2．其中正确的是（）A．① B．①② C．①②③ D．①②③④2．（2020秋•西湖区期末）如图，将一副三角板叠在一起使直角顶点重合于点O（两块三角板可以在同一平面内自由转动，且∠BOD，∠AOC均小于180°）．下列结论一定成立的是（）A．∠BOD＞∠AOCB．∠BOD﹣∠AOC＝90° C．∠BOD+∠AOC＝180° D．∠BOD≠∠AOC3．（2021秋•杭州期末）如图，∠AOB，以OA为边作∠AOC，使∠BOC＝∠AOB，则下列结论成立的是（）A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＜∠AOB C．∠AOC＝∠BOC或∠AOC＝2∠BOC D．∠AOC＝∠BOC或∠AOC＝3∠BOC4．（2020秋•下城区期末）已知∠AOB与∠COD互补，射线OE平分∠COD，设∠AOC＝α，∠BOD＝β．（1）如图1，∠COD在∠AOB的内部，①当∠COD＝45°时，求α+β的值．②当α＝3β时，求∠BOE的度数．（2）如图2，∠COD在∠AOB的外部，∠BOE＝45°，求α与β满足的等量关系．5．（2021秋•拱墅区期末）已知∠AOB＝90°，过点O作射线OC，射线OD平分∠AOC．（1）如图1，射线OC在∠AOB的外部（90°＜∠AOC＜180°），①若∠BOC＝30°，求∠BOD的度数．②若∠BOC﹣∠BOD＝15°，求∠BOC的度数．（2）如图2，射线OC在∠AOB的内部（0°＜∠AOC＜60°），若存在射线ON（0°＜∠BON＜30°），使得∠AON﹣∠BON＝∠DON，试求出∠AOD与∠CON之间的等量关系．6．（2021秋•西湖区期末）已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如图①，若∠AOC＝30°，求∠COE，∠DOB的度数．（2）如图①，若∠AOC＝α，求∠DOE的度数（用含α的代数式表示）．（3）将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，探究∠AOC与∠DOE的度数之间的数量关系，并说明理由．7．（2020秋•西湖区期末）已知点A，B，O在一条直线上，以点O为端点在直线AB的同一侧作射线OC，OD，OE，使∠BOC＝∠EOD＝60°．（1）如图①，若OD平分∠BOC，求∠AOE的度数．（2）如图②，将∠EOD绕点O按逆时针方向转动到某个位置时，使得OD所在射线把∠BOC分成两个角．①若∠COD：∠BOD＝1：2，求∠AOE的度数．②若∠COD：∠BOD＝1：n（n为正整数），直接用含n的代数式表示∠AOE．8．（2020秋•江干区期末）已知∠AOB＝3∠BOC，OD、OE分别为∠AOB和∠BOC的平分线．（1）如图1，当OC在∠AOB的内部时，若∠BOC＝20°，求∠DOE的度数．（2）如图2，当OC在∠AOB的外部时，若∠DOE＝22°，求∠AOC的度数．（3）若∠DOE＝n°，求∠AOC的度数．9．（2021秋•上城区期末）如图，点O在直线AB上，∠BOD与∠COD互补，∠BOC＝n∠EOC．（1）若∠AOD＝24°，n＝3，求∠DOE的度数；（2）若DO⊥OE，求n的值；（3）若n＝4，设∠AOD＝α，求∠DOE的度数（用含α的代数式表示∠DOE的度数）．【课后巩固】1．（2020秋•拱墅区校级期末）解方程（组）（1）10+2（x﹣）＝7（x﹣2）；（2）﹣；（3）．2．（2020秋•西湖区校级期末）解方程（组）（1）；（2）．3．（2020秋•江干区期末）如图，AC⊥BC，CD⊥AB，有以下描述：①线段AB是点A、B之间的距离；②垂线段CD的长是点C到直线AB的距离；③图中∠CAB的余角只有两个；④若∠ACD＝α，则∠CBE＝180°﹣α；则判断正确的是（填写序号）．4．（2020秋•上城区期末）定义：当点C在线段AB上，AC＝nAB时，我们称n为点C在线段AB上的点值，记作dC※AB＝n．甲同学猜想：点C在线段AB上，若AC＝2BC；则dC※AB＝．乙同学猜想：点C是线段AB的三等分点，则dC※AB＝．关于甲，乙两位同学的猜想，下列说法正确的是（）A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．两人都正确 D．两人都不正确5．（2020秋•钱塘区期末）平面内有五条直线两两相交，设最多交点个数为a，最少交点个数为b，最多对顶角对数为c，则2a+b﹣c的值是．6．（2020秋•西湖区校级期末）如图1是AD∥BC的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE＝18°，则图2中∠AEF的度数为．7．（2021秋•杭州期末）阅读材料：材料1：如果一个四位数为（表示千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d的四位数，其中a为1～9的自然数，b、c、d为0～9的自然数），我们可以将其表示为：＝1000a+100b+10c+d；材料2：把一个自然数（个位不为0）各位数字从个位到最高位倒序排列，得到一个新的数，我们称该数为原数的兄弟数，如数“123”的兄弟数为“321”．（1）四位数＝；（用含x，y的代数式表示）（2）设有一个两位数，它的兄弟数与原数的差是45，请求出所有可能的数；（3）设有一个四位数存在兄弟数，且a+d＝b+c，记该四位数与它的兄弟数的和为S，问S能否被1111整除？试说明理由．8．（2020秋•拱墅区校级期末）同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km．它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km．现在它们都从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．则B地最远可距离A地km．9．（2020秋•下城区期末）一个密封的长方体容器内装有部分水，液体部分的截面恰好是一个正方形（如图1），液面到容器顶端的距离是6cm．若把该容器横放（如图2），液面到容器顶端的距离是4cm，则这个容器的截面面积是（）A．112cm2 B．160cm2 C．216cm2 D．280cm210．（2020秋•萧山区期末）数轴上A点对应的数为﹣10，B点在A点右边，甲、乙在B分别以2个单位/秒，1个单位/秒的速度向左运动，丙在A以3个单位/秒的速度向右运动．（1）若它们同时出发，经过5秒丙和乙相遇，求B点表示的数；（2）在（1）的条件下，设它们同时出发的时间为t秒，是否存在t（t＞0）的值，使得甲、乙、丙三个点中的其中一个点，到另外两个点的距离相等．11．（2019秋•上城区期末）如图是某月的月历，图中带阴影的方框恰好盖住四个数，不改变带阴影的方框的形状大小，移动方框的位置．（1）若带阴影的方框盖住的4个数中，A表示的数是x，求这4个数的和（用含x的代数式表示）；（2）若带阴影的方框盖住的4个数之和为82，求出A表示的数；（3）