平面与平面垂直（第一课时）教学设计-高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

平面与平面垂直（第一课时）教学设计内容和内容解析1.1.内容

二面角及二面角的平面角的概念，平面与平面垂直的定义及判定定理.1.2.内容解析

内容的本质:空间中,基本图形位置关系的研究，主要是以某两种图形的位置关系为前提(定义研究相应的充分条件(判定)和必要条件(性质).平面与平面垂直的判定定理,反映了两个平面在具备了什么条件下它们互相垂直的问题，是充分条件.平面与平面垂直的性质定理，反映了两个平面在垂直的条件下，能够推出一些什么结论，是必要条件.无论是性质还是判定,都是“空间确定的位置关系”.研究时，都是从其本身的组成元素或与之有关的相关元素(点、直线、平面)出发，研究它们之间的位置关系.这里“空间中基本图形的位置关系就是性质"是发现性质的指导思想，是研究空间图形位置关系的“思维之道”，也是提高学生从数学的角度发现和提出问题能力的重要契机.蕴含的思想和方法:通过类比平面几何中研究直线与直线互相垂直的方法，借助“空间问题平面化”的思想，按照直观感知、操作确认和抽象概括的方式得出二面角的平面角的定义.渗透了数学研究的一般思路,体现了化归、类比、联想等数学思想方法.

对平面与平面垂直的判定和性质的研究,是从与这两个平面有关的基本元素(点、直线、平面)出发,考虑其位置关系，这也体现了研究空间基本图形位置关系的基本套路.两个平面垂直的判定定理和性质定理的探究,是平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与直线垂直等位置关系的转化，体现了立体几何研究中由简单到复杂，由易到难的研究思路.

知识的上下位关系:在研究了空间直线、平面平行关系,直线与平面垂直关系的基础上,本单元继续研究平面与平面的垂直关系.本单元是空间图形位置关系最后的内容,其内容研究过程既体现了研究立体图形判定和性质的基本思路和方法，应用它们解决问题，也体现了不同内容之间的相互转化.

育人价值:概念的形成主要依靠对感性材料的抽象概括,对已有知识的类比模仿，通过设置研究问题引导学生运用类比思想,类比平面内直线与直线垂直的定义过程，自然引入二面角的概念,进而定义平面与平面垂直.这样的处理方式，渗透了数学研究的一般思路，以使学生养成前后一致、逻辑连贯地思考问题的习惯.在掌握概念的同时，让学生领会化归、类比联想等数学思想方法的运用，学会如何建立完善的认知结构,从而提升研究能力.

平面与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的发现以及性质定理的证明过程，体现了直观感知、确认操作、推理论证的立体几何研究的基本方法.在经历对典型实例的观察实验、猜想等活动后,以问题为引导，让学生经历从实际背景中抽象出数学模型，从现实生活空间抽象出几何问题的过程,有利于提升学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理的数学核心素养.在对空间平面与平面垂直关系研究的过程中,注重通过问题引导学生构建具体的研究方法，体会研究图形的位置关系,就是对它们的组成元素之间位置关系的研究,培养学生发现和提出问题的能力.

教学重点:两个平面互相垂直的定义过程；两个平面互相垂直的判定定理及其推导过程.

二、单元目标和目标解析

2.1.单元目标

(1)能说出二面角的定义及理解定义二面角的平面角蕴含的数学思想，理解空间平面与平面垂直的定义;探索空间平面与平面垂直的判定定理和性质定理,并会应用它们解决简单空间图形垂直关系命题的证明;

(3)结合二面角及其平面角的定义，平面与平面垂直的判定定理的发现过程,体会定义一个几何对象,研究空间图形位置关系的基本思路和方法,提升学生的直观想象核心素养.

2.2.目标解析

达成上述单元目标的表现是:

(1)学生能通过直观感受生活中的二面角实物图,通过类比平面几何中利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直的方法，通过类比直线与平面所成的角的学习经验,借助“空间问题平面化”的思想,按照直观感知、操作确认、抽象概括的方式得出二面角的平面角的定义；能在具体情境中利用定义作出二面角的平面角；能运用类比的思想，归纳出空间中两个平面互相垂直的定义.

(2)学生能通过直观感受生活中的实例，类比直线、平面平行关系的判定以及直线与平面垂直的判定，归纳猜想出平面与平面垂直关系的判定方法，再通过简单的推理分析进行验证得出判定定理；学生能通过探究，归纳出平面与平面垂直的性质定理，再通过推理分析进行证明;学生能通过面面垂直的判定和性质定理的综合应用,掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系及转化，并应用它们解决面面垂直的有关具体问题.

(3)学生能结合二面角的平面角的定义过程，体会类比思想以及定义一个数学对象的基本方法，体会空间高维问题向低维问题的转化；结合平面和平面垂直的判定定理和性质定理的探究，体会直观感知、操作确认、推理论证的研究立体几何问题的基本方法；结合定义二面角的平面角、探究平面与平面垂直的判定、探究并证明性质定理的过程，提升直观想象、逻辑推理的数学核心素养.

三、教学问题诊断分析

平面与平面垂直需要“二面角”的概念,二面角定量地反映了两个平面相交的位置关系.度量一个量时，必须考虑“存在性"与“唯一性”问题，因此如何刻画二面角的大小是一个难点.突破本难点需要引导学生根据已有经验，用“平面化”的思想来定义两个(半)平面所成的角，即用“平面角”来度量“二面角”，从而按照直观感知、操作确认、抽象概括的方式得出二面角的平面角的定义.

本单元是空间图形位置关系最后的内容,其内容研究过程既体现了研究立体图形判定和性质的基本思路和方法，应用它们解决问题，也体现了不同内容之间的相互转化,有时需要综合应用相关内容解决问题，这对学生来讲也是一个难点.教学时要针对问题具体分析,分析其中直线、平面平行、垂直关系,按照从复杂到简单、从空间到平面的研究思路，寻找应用相关判定定理和性质定理的条件，从而解决问题.运用性质定理解决问题时运用了同一法证明问题,对学生来说是个难点.教学时需要引导学生分析已知条件,结合要证明的问题，分析应用性质定理的条件.四、教学支持条件分析现实世界中的各种物体都以其特有的形状、大小和位置存在于我们周围,其中与学生最接近的就是学生所在的教室，在教学中无论是平面与平面垂直关系的判定定理还是性质定理，都引导学生将基本图形的位置关系在生活中找到对应的实例，加强直观性，以更好地培养学生的直观想象素养.

教学中可以通过观察各种几何教学实物模型,使学生能将基本图形的位置关系在模型中找到对应的实例,其中长方体又是一个基本的数学模型,它是最基本的几何体.无论是平面与平面垂直关系的定义、判定还是性质定理，都可以在长方体中找到对应的图形.因此在教学中要充分利用长方体模型教具.利用PPT等教学课件,使几何体增强了直观性，增大了课堂容量，帮助学生更好的认识立体图形的结构特征,发现其中的基本位置关系,为逻辑推理提供几何直观.

五、课时教学设计（第一课时）

5.1.教学内容

二面角及二面角的平面角的概念；平面与平面垂直的定义及判定定理.

5.2.教学目标

(1)能说出二面角的定义及理解定义二面角的平面角蕴含的数学思想；

(2)能说出空间平面与平面垂直的定义；

(3)探索平面与平面垂直的判定定理；

(4)能应用判定定理证明平面和平面垂直的简单问题，能求简单的二面角.

5.3.教学重点与难点

教学重点:两个平面互相垂直的定义过程，两个平面互相垂直的判定定理.

教学难点:(1)如何刻画二面角的大小，即理解二面角的平面角的定义；

(2)发现并验证直线与平面垂直的判定定理.5.4.教学过程设计

引言上节课,我们学习了空间直线与平面垂直的内容,研究了直线与直线垂直和直线与平面垂直之间的联系与转化.类比研究空间直线、平面平行关系的过程，接下来我们应该研究什么关系?当然是平面与平面的垂直关系!前面我们研究每种关系时是按照什么顺序进行的?按照定义、判定、性质的顺序,这就是我们这两节课的内容.下面,我们先来研究两个平面垂直的定义,之前有过类似的定义垂直的学习经验可借鉴吗?

师生活动:教师和学生一起完成此过程。引出新课内容,启发学生联系旧知，如图1.

5.4.1.通过类比形成二面角的概念

问题1大家回顾一下直线与平面垂直、直线与直线垂直的定义过程.

师生活动:师生对话，引导学生回顾.直线与平面垂直的定义是直线与平面内任意直线都垂直，这里利用了直线与直线的垂直来刻画直线与平面垂直，直线与直线垂直是基础.

在平面几何中，先定义了角的概念,利用角来刻画两条相交直线的位置关系,进而研究两条直线垂直这种特殊情况.即我们按照如图2的顺序定义直线与直线垂直.

设计意图:通过回顾平面内直线与直线垂直的定义过程,使学生能通过类比找到研究平面与平面垂直的思维过程,这样的处理方式，渗透了数学研究的一般思路，以使学生养成前后一致、逻辑连贯地思考问题的习惯.

追问1如图3,显然两个平面垂直是两个平面相交关系中的一种特殊情况,类比平面几何中定义直线与直线互相垂直的方法，定义两个平面垂直前要先研究什么问题呢?

师生活动:教师提出问题,引导学生通过类比想到要先研究两个平面相交的一般情况,即两个平面所成角的问题.接着引出在生活中我们也会遇到很多两个平面所成角的问题.

例如,书本翻开的过程中两张纸面呈一定的角度，教室的门在打开的过程中与墙面成一定的角度,在生产实践中，如图4，修筑水坝时，为了使水坝坚固，

必须使水坝面和水面成适当的角度,等等.实际上,两个平面相交时，它们的相对位置可由两个平面所成的“角”确定，我们将这些角称为二面角.那么怎样定义二面角呢?设计意图：教师设计问题，使学生通过类比已有垂直知识，找到研究新问题的途径，自然引入为了定义两个平面互相垂直,需要先研究两个平面所成角的问题.又从学生所熟悉的实际向题切入，以增加学生对二面角的感性认识，从而使学生了解数学来源于实际生活;同时引导学生体会知识的形成过程，使学生经历从直观感知到理论抽象生成概念,增养学生数学抽象核心素养.

追问2平面几何中角的定义是什么?

师生活动:师生对话，从平面内一点出发的两条射线所组成的图形叫作角.这里又包含射线的概念，即一条直线上的一个点把这条直线分成两部分，这两部分称为射线.类似的，空间中平面与平面所成的角如图5.

(1)半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分,这两部分通常称为半平面.

(2)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角.这条直线叫作二面角的棱,这两个半平面叫作二面角的面.

二面角的面法和表示方法如图6.

设计意图:概念的形成主要依靠对感性材料的抽象概括,对已有知识的类比模仿，设置学生的最近思维发展区,不将书中的定义生硬地教给学生,通过设置研究问题引导学生运用类比思想，类比平面内直线与直线垂直的定义过程，自然引入二面角的概念,进而定义平面与平面垂直.在掌握概念的同时,让学生领会化归、类比联想等数学思想方法的运用，学会如何建立完善的认知结构，从而提升研究能力.

5.4.2.活动探究二面角的平面角的概念及范围

问题2二面角的大小定量地反映了两个平面相交的位置关系，如何度量二面角的大小呢?不妨回顾一下异面直线所成的角和直线与平面所成的角的定义.

师生活动:将异面直线平移后两相交直线所成的角即为异面直线所成的角,这里我们是用平面角来刻画空间线线角,斜线与其在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角.这里利用了直线与直线所成的平面角来刻画空间线面角.

设计意围:教师启发引导，通过类比定义直线与平面所成角的定义,引出利用平面角刻画二面角的目标，深刻体会把立体图形的问题转化为平面图形问题去研究的化归与转化思想方法，以及用特殊位置关系来处理一般位置关系的方法,为二面角的平面角的探究做铺垫.追问1二面角是空间图形,寻找什么样的平面角来刻画二面角合适呢?

追问2我们通常说“把门开大一些”,是指哪个角大一些?

师生活动:教师动手翻转门演示，让学生直观感受,为定义引入做铺垫。之后请学生动手操作，在卡纸折叠成的二面角上画出自己认为适合的平面角.把学生的画法汇总，提出以下四种画法.学生没有提到的方法,教师可以以问题形式呈现.并引导学生分析每一种情况，帮助学生理解所选平面角必须满足“存在性”和“唯一性”这一本质.

(1)如图7(1),在一个平面内取一点,过该点作一条射线；再在另一个平面内取点作一条射线,这两条射线所成的角.

点评:这种做法的问题是得到的可能不是平面角.(2)如图7(2),过棱上一点在两个半平面内分别任意作一条射线.

点评:度量一个量时，必须考虑“存在性”与“唯一性”问题。如果在二面角的棱上任取点,从这一点出发,分别在两个半平面内任作一条射线,虽然它们可构成一个平面角,但这样的角的大小会由于所作的射线的位置不同而改变，因而不具有“唯一性”.

(3)如图7(3),过棱上一点在两个半平面内分别作一条与棱成60°的射线.

点评:首先一个面内经过棱上一点可以作两条与棱成60°的射线,这样所作的角不是唯一确定的，接着举例说明，如图8(1)、图8(2),分别取其中两条来刻画二面角，会出现当两个半平面重合或合成一个平面时，分别与0°或180°矛盾的情况，从而使学生理解为什么一定要选垂线,体会用特殊研究一般的方法.(4)如图7(4),过棱上一点在两个半平面内分别作一条垂直于棱的射线.

点评:学生可能会提出所作射线与二面角的棱垂直这种方法,教师不妨提出问题：在棱上取不同点时所作角的大小相等吗?教师引导学生分析,因为在一个平面内经过棱上一点只能作棱的一条垂线，所以过棱上一点所作的角是唯一确定的.另外,由等角定理可知，在棱上取不同点时所作角的大小相等，与棱上点的选择无关，这样的角不仅是存在的,而且是唯一的.并且当两个半平面重合成合成一个平面时，如图8(3)、图8(4),与0°或180°的情况相吻合,因此，可以刻面二面角的大小.教师用多媒体展示二面角的平面角随着二面角张开幅度变化而变化的过程.

二面角的平面角:如图9,取二面角的棱上任意一点为垂足，过点在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.

二面角的平面角必须具备三个条件(师生共同总结归纳):

(1)角的顶点在棱上.

(2)角的两边分别在两个半平面内.

(3)角的两边分别与棱垂直.

追问3二面角的平面角所在平面与二面角的棱有什么关系?

师生活动:如图10,二面角的平面角就是垂直于二面角的棱的平面与二面角相交所得两条射线

(端点重合)所成的角.二面角的大小是用平面角来度量的，即由两条特殊的射线所成角来度量,这是一种转化的思想方法.

设计意图:平面与平面垂直需要“二面角”的概念,二面角定量地反映了两个平面相交的位置关系，但是如何来刻画二面角的大小是一个难点.学生在参与探讨刻画二面角大小方法的过程中，通过探究，共同讨论,变单向传递为多向交流,这样既发挥了学生主体作用，又有利于学生自我反思纠错意识的形成和创新能力的培养。经过师生共同研讨,学生不仅学会了二面角的平面角的定义和二面角的度量方法,而且让学生体会了数学的严谨性，了解如何给数学概念下定义.

5.4.3.平面与平面垂直的定义

追问4你能用卡纸折出一个30°的二面角吗?二面角的平面角的范围是什么?师生活动:教师让学生通过折纸实验,理解二面角的平面角的定义，分析得到二面角平面角的范围，理解0°与180°二面角的区别.

(1)当两个半平面重合时，平面角为0°；

(2)当两个半平面合成一个平面时,平面角为180.追问5你认为如何定义平面与平面垂直呢?师生活动：通过类比直线与直线垂直的定义，学生应该容易回答,之后教师给出定义。并引导学生理解用直线与直线垂直来刻画平面与平面垂直这一本质，直线与直线垂直是基础.

平面与平面垂直：一般地,两个平面与相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作:.

面面垂直的画法:如图11,画两个垂直平面，通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.

设计意图:定义了二面角的平面角，类比直线与直线垂直的定义,进而联想到两个面的垂直也即是两个半平面的垂直.既培养了学生分类思想和思维的严谨性,又自然引入平面与平面垂直的定义.

追问6你能在生活中找到平面与平面垂直的例子吗?

师生活动:教师组织学生观察教室的墙面与地面、门面与地面等.观察长方体，如图12,指出构成二面角的面、棱,通过平面角判断平面与平面垂直.

设计意图:通过观察身边的实例，感受平面与平面垂直这一位置关系的重要性,同时通过具体应用理解定义.

5.4.4.探究、发现平面与平面垂直的判定定理问题3有方法判断平面与平面是否垂直吗?师生活动:学生回答，教师解释“定义给出了两个平面垂直的充要条件，所以可以用定义判断”.即找到二面角的平面角并证明其是直角.

设计意图:理解定义的本质，同时为说明判定定理的正确性做思维铺垫.追问1根据我们之前的学习经验，研究判定方法应该是探寻两个平面在具备了什么条件下它们互相垂直的问题，而且是最少条件，从而实现简化的目的，那么有没有判定面面垂直的其他方法呢?

师生活动：引导学生观察身边的现象.

(1)在实际生活中，你见过工人师傅怎样判断两个平面垂直吗?如图13,建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直.如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为墙面垂直于地面，否则他就认为墙面不垂直于地面.这种方法说明了什么道理?

(2)类似的结论也可以在长方体中发现。如图14,在长方体中,平面经过平面的一条垂线，此时,平面垂直于平面.

设计意围:通过直观感知启发学生的思维.

追问2通过对师生活动(1)(2)的观察，猜想满足什么条件才能使平面与平面垂直?

师生活动：通过直观感知，学生猜想得到两个平面垂直的判定定理.

猜想：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.

追问3如图15，如果两个平面与相互垂直，根据定义，二面角的平面角是90°,观察平面角所在的直线，你能发现图中的空间基本图形有怎样的相互关系?能否得到猜想的结论.

师生活动:在通过直观感知的基础上，引导学生分析,研究判定是探寻两个平面在具备了什么条件下它们互相垂直的问题，这样的条件实际上是从空间基本图形的相互关系来反映的，而从定义出发是关键.由定义发现，直线必垂直平面这一特殊位置关系.设计意图:在直观感知的基础上，引导学生进行分析,研究判定是探寻充分条件，而且是最少条件,从而实现简化的目的.而这样的条件实际上是从空间基本图形的相互关系来反映的.更加重要的是，无论是判定还是性质,从定义出发是关键.追问4猜想正确吗?简单说明理由.

师生活动:带领学生写出已知条件的符号语言，如果证明,教师引导学生分析,简单说明理由.如图15，目前证明面面垂直的方法只有利用定义，即证明二面角的平面角是直角.已知直线与平面垂直，根据性质定理可得直线与直线垂直，即垂直交线，这样要想得到二面角的平面角只需要在平面内过垂足作交线的垂线即可，此时由直线与平面垂直的性质可知⊥,所以二面角的平面角是直角，即.

平面与平面垂直的判定定理:如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.

强调定理的符号语言:.

这个定理说明,可以通过直线与平面垂直得到平面与平面垂直.

设计意图:这一定理在本章不要求证明，但在此处可以结合定义对此判定定理的正确性进行说明，以使学生确认定理的正确性，体会数学的严谨性，培养学生严谨的数学思维习惯和逻辑推理的核心素养.结合判定定理的得出过程，可以让学生进一步体会直线与平面垂直向平面与平面垂直的转化，体会直观感知、操作确认、推理论证的研究立体几何的一般过程，提升学生的直观想象核心素养.

5.4.5.巩固运用平面与平面垂直的判定定理例1如图16,在正方体中,求证:平面⊥平面.追问1看到要证明的结论,你能想到用什么方法?追问2你能发现在平面与平面中有哪些直线与垂直有关吗?师生活动：教师引导学生共同完成.证明:因为是正方体,所以⊥平面；因平面,所以；又因为在正方形中,,,平面

,平面，所以平面.因为平面，所以平面⊥平面.

把平面与平面垂直转化为证明直线与平面垂直问题的难点是如何找到垂线，关键是充分挖掘已知条件中的垂直关系.

设计意图：例1是平面与平面垂直判定定理的应用,把证明平面与平面垂直问题转化为证明直线与平面垂直问题的难点在于如何在一个平面内找到另一个平面的垂线.通过对判定定理的具体应用,培养学生逻辑推理以及数学符号语言的表达能力.

追问3例