2023年教师资格《初中数学学科知识与能力》模拟真题一

2023年教师资格《初中数学学科知识与能力》模拟真题一

1［单选题］与向量a=(2,3,1)垂直的平面是()。

A.x-2y+z=3

B.2x+y+3z=3

C.2x+3y+z=3

D.x—y+z=3

正确答案：C

参考解析：本题考查空间解析几何中平面的法向量的相关知识。平面的法向量

是垂直于平面的非零向量。在空间直角坐标系中，平面Ax+By+Cz+D=0(A,B,C

不同时为零)的一个法向量为n=(A,B,C)o本题中，向量a=(2,3,1)为平面

2x+3y+z=3的法向量，故垂直于平面2x+3y+z=3。故本题选C。

「A#),

lini—；-=2

2［单选题］设函数f(x)在x=0处连续，且，…x2则()。

A.f(0)=l且f'(0)=2

B.f(0)=0且f'(0)=2

C.f(0)=1且f'+(x)=2

D.f(0)=0>f\(0)=2

正确答案：D

参考解析：

根据题意首先得f(0)=0,由导数的定义,!i!彩2=吧必乎”=/'.(0)=2(其中

t=X2)O

V(-1)nl1-COS-I

3［单选题］常数a>0,则级数\的敛散性为()。

A.发散

B.条件收敛

C.绝对收敛

D.收敛性与a的取值有关

正确答案：C

参考解析：

।2

3.【笞案】却解析:当“T8时，色一Q根据"x-»0时,l-cosx-7『"知，当"T8时,1-cos—~*0因

n2n2n

为为p级数,P=2>1,级数收敛，所以级数，看收氮级数’(1-cos：)也收氮进而可知级数

£(-1)［|-须：)绝对收敛。故本题选C。

则『dxdy=()o

4［单选题］设区域D={(X,Y)|X2+y2W4}以

A.8n

B.2n

C.16Ji

D.4n

正确答案：D

参考解析：根据二重积分的意义，被积函数为1时表示积分区域的面积，所以

=4TTO

5［单选题］已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线为，mx-y=0,

若m在集合｛1,2,3,4,5,6,7,8,9｝中任意取一个值，使得双曲线的离心

率大于3的概率是()

2

A.5

5

B.V

7

c.5

8

D.5

正确答案：c

参考解析：设双曲线的实半轴长为叫虚半轴长为6.

由题意知小=—,e-\/1+m2，当m=1或2

a

时.1<e<3,m在集合11,2,3,4,5,6,7,8,91中任

意取一个值的结果有9种.记“使得双曲线的离心

率大于3”为事件4,则由古典概型的概率计算公

式可得P(A)=1-52=看7。

6［单选题］设A是3阶不可逆矩阵，E是3阶单位矩阵。若齐次线性方程组(A

一3E)x=0的基础解系由两个线性无关的解向量构成，则行列式|A+E|=()

A.16

B.8

C.4

D.2

正确答案：A

参考解析：因为A为3阶不可逆矩阵，所以|A|=0,且0必是A的特征值。又

齐次线性方程组(A—3E)x=0的基础解系由两个线性无关的解向量构成，则矩阵

A-3E有两个相同的特征值0,即A有二重特征值3。故3阶矩阵A的三个特征值

分别为0,3和3,矩阵A+E的三个特征值分别为1,4和4,从而行列式

|A+E|=1•4•4=16。

7［单选题］依据22-1=3,2-1=7,2-1=31,2-1=127,得出结论：当P为素数(质

数)时，2。-1也是素数。这里运用的是()。

A.归纳推理

B.类比推理

C.演绎推理

D.合情推理同时也是演绎推理

正确答案：A

参考解析：推理分为合情推理和演绎推理，演绎推理是思维进程中从一般到特

殊的推理，这种推理以形式逻辑或论证逻辑为依据，有三段论、关系推理等推理

模式；合情推理是一种合乎情理的、似以为真的推理，合情推理包括归纳推理和

类比推理，归纳推理是由个别事实概括出一般结论的推理，是由部分到整体、个

别到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理。本题中，是通过归纳推理得

出结论，没有进行严谨的证明，故该推理过程运用了合情推理中的归纳推理，没

有运用演绎推理。故本题选A。

8［单选题］”对知识的含义有感性的、初步的认识，能够说出这一知识是什么,

能够在有关问题中识别它”，这个教学要求所属的层次是()

A.了解

B.理解

C.掌握

D.灵活运用

正确答案：A

参考解析：了解的同类词有“知道”“初步认识”等。

9［简答题］

求由曲面z=x2+2y2及z=6—2x2-y2所围成的立体的体积。

参考解析：求由曲面z=x2+2y2及z=6-2x-y2所围成的立体的体积。

曲面Q是由z=+2y及2x+y=6-z围成，消掉z得x2+2y2=6-2x-y2,所以可得投影

区域D：x2+y2W2,则围成的立体图形

的体积为：

小广"6-2x2(?+2y2)My

-/)打,利用极坐标运

算,闭区域。可以表示为0WJW中刀WrW

则】2广加广(2-r2)rdr=12・努•广(2r-

JoJo/

10［简答题］

2r

A=212

21」求正交矩阵Q,使得Q'AQ为对角矩阵。

设实对称矩阵L2

参考解析：

A-I-2-2।

IA£-4I=-2A-l-2=(15)。+1产=0,实对称矩阵4的特征值为-1,5。当人=-1时,

-2-2A-1

--2-2I'

(-E-A)=-2-2-2-000，可得实对称矩阵的特征值-I对应的特征向量旬=(-l,l,0)T,q=(-l,

.-2-2-2JL000.

■4-21rio-r

0,1)\当人=5时,(5E-A)=-241T,可得实对称矩阵的特征值5对应的特征向量

.-2-24JL000.

a,=(l,l,l)To

施密特正交化，令4加产0)%卢a广黑%=(；-；1)即为=(1,1,1几单位化,

aIa枢\

，龙

0实对称矩阵A经正交变

-JJ叵

2~67

•-100'

和而。

换。％Q可以得到对应的对角矩阵为0-10，其中公■_——»—.—1,一，-

263

.005.

0跖M

L33」

11［简答题］

一项“过关游戏”规定：在第n关抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的

点数之和大于2n,则算过关。(假设骰子是各面上分别标有1，2,3,4,5,6

的均匀正方体，抛掷骰子落地静止后，向上的点数为出现点数)

(1)某人在这项游戏中最多能过几关？(3分)

(2)连过前三关的概率是多少？(4分)

参考解析:

P⑷-*汽-研明-）=2孑4巡20弋100

362>>4?

由于骰子是均匀的昉我所以蝌后各点数出购可能ft群等的.⑴因骰子出购点数耿施而6：■>2{6x<<2\因此，当

*5时，n次出现的点数之和大于y已不可能.即这是Y不可能事件，过关的概率为0,所以最多只能连过4关.

….5分（口）设事件&为"第n关过关失败’，则对立事件&为"第n关过关成功”.第n关游戏申，基本事件总数为6个,第1关：事件4所含

基本事件数为2（即出现点数为阚2这两种情况），;过此关的微率为：P（j?）=l-P（4）=l--=^.第2关：事件/淅合基本事件数为方程

,163

工一六弓当盼别取2,3,碱证螺麒峻机即有c；+*c；*2+3=6（个）,二越关的廨为：

PR）=1-P（r=>£上.......1吩第3关:事件4所含墓本事件防gy”z=4象分别取3,4,5,6,7,8时的建媾锄

’6"6

°C、、、，一4620

之和,即有C/G"：匕+G+O1-3+6+10+154=56（个）.二幽关的廨为：及幻=>P⑶=i-,=?.

6,2/

一——2420100

…“15分故连过前三关的慨率为：尸（㈤xP（.xP（&尸白；x^=T....20分（说眦第2,3关的基本事件数也可以列举出来）

4'*362724?

12［简答题］

求曲面2-e%+2xy=3在点(1,2,0)处的切平面及法线方程。

参考解析：令F(%,y.z)=z-e*+2xy-3,则有

I(I,2,O)=1(1.2.0)=4,"，i(|,2,O)=2X|＜［.2,0)=2,

£1(10)=1-e,lg.0)=0,切平面方程为4(一

1)+2(y-2)+0-(z-O)=0,化简得2x+y-

4=0,法线方程为宁•=彳=守。

13［简答题］

《义务教育数学课程标准》（2022年版）提出的课程总目标是从哪几个方面进行

阐述的？说说这几方面的关系。

参考解析：《义务教育数学课程标准》（2022年版）提出的课程总目标是从三

个方面具体阐述的，即：通过义务教育阶段的数学学习，学生逐步会用数学的眼

光观察现实世界,会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界

（简称“三会”）。学生能：（1）获得适应未来生活和进一步发展所必需的数学基础

知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。

⑵体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，在探索

真实情境所蕴含的关系中，发现问题和提出问题，运用数学和其他学科的知识与

方法分析问题和解决问题。

⑶对数学具有好奇心和求知欲，了解数学的价值，欣赏数学美，提高学习数学

的兴趣，建立学好数学的信心，养成良好的学习习惯，形成质疑问难、自我反思

和勇于探索的科学精神。

14［简答题］

设R2为二维欧氏平面，F是V到R2的映射，如果存在一个实数p,O<p<l,使得

对于任意的P,Q£R2,有d(F(P),F(Q))Wpd(P,Q)(其中d(P,Q)表示P,Q两

点间的距离)，则称F是压缩映射。

、几22，V(*,y)ER?。

设映射T：R2->R2\23］

(1)证明：映射T是压缩映射。(4分)

limPn

(2)设PO=PO(xO,yO)为R2中任意一点,令Pn=T(%),n=l,2,3,…，求…

(6分)

参考解析：

⑴证明:设P(町办)。切均)是R,上任意两点网7(P)=7((5〃))=(；.W/P),7(Q)=

7((%M))=(,同。d(7(P),7(Q))=J(:孙f)'=』斗(打力尸W

初E%而=；〃P，Q)，即存在满足题意的P=；，所以映射7

是压缩映轨

(2)(方法一)设0(0,0)是二维欧氏空间R?的原点。当P。是原点时,显然有P“=(0,0),YneN.，此时

limP„=(0,0)=Oo当P。不是原点时，因为7(0)=0,所以由(I)得,或心,0代4或匕”0),记&玲,0)=

r>0,则有0Wd(P“,O)W(；1r,因为lim］。)r=0,所以由夹退定理得,limd(P,,O)=0,根据点列极限定义

\iIITZ/I

可期,加匕=0。

综上所述,1而匕=0。

(^-)pn=r(p,1.1)=T(T(pB_2))=-=r(p0)=(—x0,—yoj。

因为lim」~~=O,lim-!-yo=O,所以点列//收敛，且1加匕=(0,0)。

-2"….3i.

15［简答题］

“抽象与具体相结合”是数学教学原则中的内容。

(1)怎样理解数学的抽象性与具体性；

(2)在中学数学教学中如何做到抽象与具体相结合。

参考解析：(1)抽象是指在认识上把事物的规定、属性、关系从原来有机联系

的整体中孤立地抽取出来；具体是指尚未经过这种抽象的感性对象。数学是以现

实世界的空间形式与数量关系作为研究对象的，它抛开了对象的具体内容，具有

高度的抽象性。数学广泛而系统地使用了数学符号，具有字词、词义、符号三位

一体的特性。数学的抽象性必须以具体素材为基础，更以广泛的具体性为归宿。

⑵在中学数学教学中，要做到抽象与具体相结合。第一，要着重培养学生的抽

象思维能力。所谓抽象思维能力，是指脱离具体形象，运用概念、判断、推理等

进行思维的能力。按抽象思维不同的程度，可分为经验型抽象思维和理论型抽象

思维。在教学中，我们应着重发展理论型抽象思维，因为只有理论型抽象思维得

到充分发展的人，才能很好地分析和综合各种事物，才有能力去解决问题。第二，

要培养学生的观察能力，提高学生的抽象、概括能力。在教学中，可通过实物教

具，利用数形结合，以形代数等手段，贯彻抽象与具体相结合的原则。例如，讲

二次函数有关性质时，可先画出图像，再观察图像抽象出有关性质。

16［简答题］

以下为某教师在进行“一元一次不等式组”教学中设计的相关教学活动：

出示例题：小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为72千克，坐

在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在另一端。这时，爸爸

的一端仍然着地，后来小宝借来一副质量为6千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一

端，结果，爸爸被高高地跷起。猜猜看，小宝的体重约多少千克？

教师问学生：“你们玩过跷跷板吗？先看看题，一会儿请同学复述一下。”学生

复述后，基本已经熟悉了题目。接着教师让学生思考：他们三人坐了几次跷跷板?

第一次坐时情况怎样?第二次呢？

学生议论了一会儿，自主发言，很快发现本题中存在的两种文字形式的不等关系：

爸爸体重〉小宝体重+妈妈体重

爸爸体重〈小宝体重+妈妈体重+一副哑铃重量

教师顺势引导：你还能怎么判断小宝体重?学生安静了几分钟后，开始议论。

学生举手：“可以列不等式组。”教师给出提示：“小宝的体重应该同时满足上

述的两个条件。怎么把这个意思表达成数学式子呢？”这时学生们七嘴八舌地讨

论起来，都抢着回答，该教师注意到一位平时不爱说话的学生紧锁眉头，便让他

发言：“可以设小宝的体重为x千克，能列出两个不等式。可是接下来我就不知

道了。”教师听了心中一动，意识到这应是思想渗透的好机会，便解释说：“我

们在初中遇到的许多问题都可以用类似的方法来研究解决，比方说前面列方程

组……”不等教师说完，学生都齐声答：“列不等式组。”全班12个小组都积

极投入到解题活动中了。5分钟后，教师请学生板演，自己下去巡查、指导，发

现学生的解题思路都很清楚，只是部分学生对答案的表达不够准确。于是提议学

生说说列不等式组解应用题分几步，应注意什么。此时学生也基本上形成了对建

立不等式组解题方法的完整认识。

问题：

（1）请结合《义务教育数学课程标准》简要分析该教师的教学过程；（8分）

⑵本节课所蕴含的数学思想方法包括什么？（6分）

（3）请设置一道开放题检测学生对本节知识的掌握情况。（6分）

参考解析：（1）《义务教育数学课程标准》要求，让学生在实际背景中理解问

题涉及的基本数量关系和变化规律，注重使学生经历从实际问题中建立数学模型、

估计、求解、验证解的正确性与合理性的过程。在实际：亡作中让学生学会从具

体问题情境中抽象出数学问题，使用各种数学语言表达问题，建立数学关系式，

获得合理的解答，理解并掌握相应的数学知识与技能，多数教师虽然注意到了这

些，但要做好，仍有一定难度在教学过程中，该教师在课堂教学中设置了几个台

阶，这也正好符合了循序渐进的教学原则。例题贴近学生实际，在教学中又采用

了更亲近的教学语言，有利于激发学生的探究欲望。关注学生的学习状态，随时

采取灵活适宜的教学方法，师生互动，生生互动，课堂教学才更加有效。学生在

学习后，确实感受到“不等式的方法”就像“方程的方法”一样是从字母表示数

开始研究解决的。这种方法可以帮助学生用数学的方式解决实际问题。

⑵化归思想，类比思想。

⑶问题：一次考试共25道选择题，做对一道得4分，做错一道减2分，不做得

。分。若小明想确保考试成绩在60分以上，那么他至少要做对多少题？

17［简答题］

在学习了三个“三角形相似的判定定理”后，某教师设计了一节习题课的教学目

标：

①进一步巩固“三角形相似的判定定理”，并学会灵活应用；

②在解决问题的过程中，学生能感受到图形运动变化的思想，能用运动变化的观

点看问题，感受数形结合思想、分类讨论思想等数学思想；

③学会从题设或结论出发寻求论证思路的分析方法，提高分析问题、解决问题的

能力。

他的教学设计中包含了这样的一道例题：如图，AB±BC,DC±BC,垂足分别为B,

C,且AB=8,

DC=6.BC=14o

B

问题一：BC上是否存在一点P使4ABP与4DCP相似。

问题二：若有这样的点P存在，