数学建模：投资收益和风险的模型

投资收益和风险的模型摘要在现代商业、金融的投资中，任何理性的投资者总是希望收益能够取得最大化，但是他也面临着不确定性和不确定性所引致的风险。而且，大的收益总是伴随着高的风险。在有很多种资产可供选择，又有很多投资方案的情况下，投资越分散，总的风险就越小。为了同时兼顾收益和风险，追求大的收益和小的风险构成一个两目标决策问题，依据决策者对收益和风险的理解和偏好将其转化为一个单目标最优化问题求解。随着投资者对收益和风险的日益关注,如何选择较好的投资组合方案是提高投资效益的根本保证。传统的投资组合遵循“不要将所有的鸡蛋放在一个蓝子里〞的原则,将投资分散化。一问题的提出某公司有数额为M〔较大〕的资金，可用作一个时期的投资，市场上现有5种资产〔〕(如债券、股票等)可以作为被选的投资工程，投资者对这五种资产进行评估，估算出在这一段时期内购置的期望收益率〔〕、交易费率()、风险损失率()以及同期银行存款利率〔=3%〕在投资的这一时期内为定值如表1，不受意外因素影响,而净收益和总体风险只受,,影响，不受其他因素干扰。现要设计出一种投资组合方案,使净收益尽可能大,风险尽可能小.表1投资工程期望收益率风险损失率交易费率存银行300272.41221.62255.24.5232.26.5211.52其中二问题假设及符号说明2.1问题假设(1)总体风险可用投资的这五种中最大的一个风险来度量；(2)在投资中,不考虑通货膨胀因素,因此所给的的期望收益率为实际的平均收益率；(3)不考虑系统风险,即整个资本市场整体性风险,它依赖于整个经济的运行情况,投资者无法分散这种风险,而只考虑非系统风险,即投资者通过投资种类的选择使风险有所分散；(4)不考虑投资者对于风险的心理承受能力。2.2符号说明：购置第种资产的资金数额占资金总额的百分比；：购置第种资产的资金数额；：存银行的金额；：交易费用；：净收益；：总体风险；：第种投资的净收益率。三模型的分析与建立令交易费用则净收益为总体风险为约束条件为可以简化约束条件为同时将代入，得略去M,原问题化为双目标决策问题:〔3.1〕以下设，否则不对该资产投资。四模型的求解4.1固定使最小的模型固定使最小，将模型〔3.1〕化为，〔4.1〕此模型又可改写为令，表示第种投资的净收益率，则必大于,否则,假设,则不对投资,因为对该工程投资纯收益率不如存银行,而风险损失率又大于存银行。将从小到大排序,设最大,则易见对模型〔4.1〕的可行解必有.当时,所有资金都存银行,;当时,所有资金用于购置,；当时,有如下结论[7]。结论：假设0.03<R<，是模型〔3.2.2〕的最优解,则[7]。而对于固定收益使风险最小的模型来说，这结论也可换句话说：在前5项投资总额一定的前提下，各项投资的风险损失相等即时，总体风险最小[8]。证：设是满足的一组解，即。显然此时为总体风险。由于前5项投资总额M是一定的，只要改变其中一项的值，便会导致总体风险增加。〔比方说将的值增加为会使得，总体风险显然增加；反之，假设减小的值，必然会导致另外一项或几项的值，总体风险自然增加。〕因此,当时，可按以下步骤求出最优解：1〕将〔1〕式和〔2〕式消去；2〕将代入解出Q；3〕由，，求出最优解。所以，我们算得如下结果:〔1〕时，；〔2〕时，；〔3〕时，，，，，，。事实上应用Lingo软件可算得如下结果:表1收益最小风险度投资的资金百分比〔〕0.03000.00001.00000.00000.00000.00000.00000.00000.04000.00020.93970.01040.01560.00480.01130.01660.05000.00050.87930.02070.03110.00960.02260.03320.06000.00070.81900.03110.04670.01440.03390.04980.07000.00100.75870.04150.06220.01910.04530.06640.08000.00120.69840.05190.07780.02390.05660.08300.09000.00150.63800.06220.09330.02870.06790.09960.10000.00170.57770.07260.10890.03350.07920.11620.11000.00200.51740.08300.12450.03830.09050.13280.12000.00220.45710.09330.14000.04310.10180.14940.13000.00250.39670.10370.15560.04790.11310.16600.14000.00270.33640.11410.17110.05270.12450.18250.15000.00300.27610.12450.18670.05740.13580.19910.16000.00320.21580.13480.20230.06220.14710.21570.17000.00350.15540.14520.21780.06700.15840.23230.18000.00370.09510.15560.23340.07180.16970.24890.19000.00400.03480.16600.24890.07660.18100.26550.20000.00460.00000.18970.28460.08760.10970.30360.21000.00620.00000.25890.38840.11950.00000.21320.22000.00930.00000.38580.41600.17810.00000.00000.23000.01310.00000.54710.18000.25250.00000.00000.24000.01700.00000.70840.00000.27220.00000.00000.25000.02090.00000.87010.00000.11600.00000.00000.26/1.010.02380.00000.99010.00000.00000.00000.00004.2固定Q使R最大的模型固定Q使R最大，将模型〔3.2.1〕化为，〔3.2.3〕对于每一个Q，用模型〔3.2.3〕都能求出R,由净收益率,直观上想到越大,应尽量大,这种想法是正确的,可将其写为如下结论。结论[7]：设是模型〔3.2.3〕的最优解,假设,，则。证明：反证法。假设，，而。选取充分小的正数，使得，。令，，当时，令，则，且，。则才是最优解，因此不是模型〔3.2.3〕的最优解。此处矛盾，则结论成立，证毕。由此结论,我们可将从大到小排序,使最大的k应尽量满足,假设还有多余资金,再投资次大的,。对于不同的Q,会有不同的投资方案,我们可以算出Q的临界值,从而确定各工程的投资值。因此，设,则可用下面的方法算出各临界值，，，，。只有一种投资时,。当有两种投资时,将，代入，得。同理可得：，于是得最优解：当时，。当时，。当时，。当时，。当时，。当时，。当时，。当然，我们也可以换个角度来考虑上面这个模型。为了能够给不同风险承受能力的投资者提供某种风险水平下的最优投资组合的决策方案，我们必须确定最优收益值和最小风险度的值之间的对应关系。因此，我们将模型〔3.2.3〕改写成如下形式：，为此编写MATLAB程序〔见附录〕，从风险度开始，以每次增加0.001的风险度进行搜索[5]。根据附录中程序一，最优收益值和最小风险度以及投资额分配之间的对应关系计算结果列表如下：风险度最优收益投资的资金百分比〔〕00.03001.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00100.07020.75770.04170.06250.01920.04550.06670.00200.11030.51530.08330.12500.03850.09090.13330.00300.15050.27300.12500.18750.05770.13640.20000.00400.19070.03060.16670.25000.07690.18180.26670.00500.20440.00000.20830.31250.09620.02850.33330.00600.20920.00000.25000.37500.11540.00000.23960.00700.21300.00000.29170.43750.13460.00000.11620.00800.21670.00000.33330.49270.15380.00000.00000.00900.21930.00000.37500.43170.17310.00000.00000.01000.22190.00000.41670.37080.19230.00000.00000.01100.22450.00000.45830.52660.00000.00000.00000.01200.22710.00000.50000.24890.23080.00000.00000.01300.22970.00000.54170.18790.25000.00000.00000.01400.23220.00000.58330.12690.26920.00000.00000.01500.23480.00000.62500.06600.28850.00000.00000.01600.23740.00000.66670.00510.30770.00000.00000.01700.24000.00000.70830.00000.27230.00000.00000.01800.24260.00000.75000.00000.23210.00000.00000.01900.24510.00000.79170.00000.19180.00000.00000.02000.24770.00000.83330.00000.15150.00000.00000.02100.25030.00000.87500.00000.11120.00000.00000.02200.25290.00000.91670.00000.07100.00000.00000.02300.25550.00000.95830.00000.03070.00000.00000.02400.25740.00000.99010.00000.00000.00000.00000.02500.25740.00000.99010.00000.00000.00000.00000.09900.25740.00000.99010.00000.00000.00000.0000从上表可以看出，风险越大，收益也越大，冒险的投资者可能会集中投资，而保守的投资着者则会尽量分散投资。但是，在风险度从增长到过程中，风险增加很少时，收益增加也很快，而风险度在之后，风险增加很大时而收益却增加的很缓慢。由于在风险度从之后，最优收益已经到达最大，不再增加，所以对于一般投资者来说，选择时的安排才为最优投资组合方案。4.3.3使R/Q最大或Q/R最小的模型按照收益—风险最大原则,可取模型，由于，因而取时，=+∞。当然，也可取模型，同上，由于，因而取时，=0，从而可知,全部钱存银行是最优解。对于此问题,其他投资的收益与风险损失率都不影响该最优解,故这种模型不够好。4.3.4偏好系数模型由偏好系数法,我们选取偏好系数,建立模型，具体数据可应用参数规划法进行计算。权重r最小风险度投资的资金百分比〔〕[0,0.7200]0.02380.00000.99010.00000.00000.00000.0000[0.7210,0.7920]0.00790.00000.33090.49630.15270.00000.0000[0.7930,0.9070]0.00520.00000.21490.32230.09920.00000.3438[0.9090,0.9750]0.00410.00000.17190.25790.07940.18760.2751[0.9760,1]0.00001.00000.00000.00000.00000.00000.0000附录一模型一Lingo语句min=y;0.03*x0+(0.27-0.01)*x1+(0.22-0.02)*x2+(0.25-0.045)*x3+(0.23-0.065)*x4+(0.21-0.02)*x5=0.03;x0+1.01*x1+1.02*x2+1.045*x3+1.065*x4+1.02*x5=1;0.024*x1<=y;0.016*x2<=y;0.052*x3<=y;0.022*x4<=y;0.015*x5<=y;模型一Matlab程序>>R=0.03>>whileR<0.26/1.01;C=[0000001];A=[00.0240000-1;000.016000-1;0000.05200-1;00000.0220-1;000000.015-1];B=[0;0;0;0;0];Aeq=[0.030.260.20.2050.1650.190;11.011.021.0451.0651.020];Beq=[R;1];Vlb=[0;0;0;0;0;0;0];%orVlb=zeros(7,1);Vub=[];[x,fval]=linprog(C,A,B,Aeq,Beq,Vlb,Vub);RQ=fvalx=x'plot(R,Q,'m.')axis([00.300.03])xlabel('收益R')ylabel('最小风险度Q')title('最小风险度Q随收益R的变化趋势图')holdonR=R+0.01;gridonendR=0.26/1.01;C=[0000001];A=[00.0240000-1;000.016000-1;0000.05200-1;00000.0220-1;000000.015-1];B=[0;0;0;0;0];Aeq=[0.030.260.20.2050.1650.190;11.011.021.0451.0651.020];Beq=[R;1];Vlb=[0;0;0;0;0;0;0];%orVlb=zeros(7,1);Vub=[];[x,fval]=linprog(C,A,B,Aeq,Beq,Vlb,Vub)程序二模型二Matlab程序>>Q=0>>while(1.1-Q)>1%orQ<0.1;C=[-0.03-0.26-0.20-0.205-0.165-0.19];A=[00.0240000;000.016000;0000.05200;00000.0220;000000.015];B=[Q;Q;Q;Q;Q];Aeq=[11.011.021.0451.0651.02];Beq=[1];Vlb=[0;0;0;0;0;0];%orVlb=zeros(5,1);Vub=[];[x,fval]=linprog(C,A,B,Aeq,Beq,Vlb,Vub);QR=-fvalx=x'plot(Q,R,'m.')axis([00.100.5])xlabel('风险度Q')ylabel('最优收益R')title('最优收益R随风险度Q的变化趋势图')holdonQ=Q+0.001;gridonenda=0;while(1.1-a)>1c=[-0.05-0.27-0.19-0.185-0.185];Aeq=[11.011.021.0451.065];beq=[1];A=[00.025000;000.01500;0000.0550;00000.026];b=[a;a;a;a];vlb=[0,0,0,0,0];vub=[];[x,val]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);ax=x'Q=-valplot(a,Q,'.')axis([00.100.5])holdona=a+0.001;endxlabel('a'),ylabel('Q')模型三Lingo语句，max=((1-0.2)*(0.03*x0+(0.27-0.01)*x1+(0.22-0.02)*x2+(0.25-0.045)*x3+(0.23-0.065)*x4+(0.21-0.02