第04讲 点与圆的位置关系（原卷版）

第04讲点与圆的位置关系课程标准学习目标①点与圆的位置关系②确定圆的条件③反证法④三角形的外接圆与外心理解点与圆的位置关系，能够准确的运用勾股定理求点到圆心的距离。学会过已知点画圆。学会应用反证法证明结论。认识确定三角形的外接圆与外心。知识点01点与圆的位置关系点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离OP为d。如图：（1）如图1：d＞r点在。（2）如图2：dr点在圆上。（3）如图3：d＜r点在。题型考点：①点与圆的位置关系的判断。【即学即练1】1．已知⊙O的半径为5cm，当线段OA＝5cm时，则点A在（）A．⊙O内 B．⊙O上 C．⊙O外 D．无法确定【即学即练2】2．⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为（）A．点A在⊙O上 B．点A在⊙O内 C．点A在⊙O外 D．无法确定【即学即练3】3．已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法确定【即学即练4】4．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是（4，3），则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O外 C．点P在⊙O上 D．点P在⊙O上或在⊙O外知识点02确定圆的条件确定圆的条件：①由不在上的三点可以确定唯一的圆。②确定与能确定唯一的圆。③已知圆的能确定唯一的圆。【即学即练1】5．下列条件中，不能确定一个圆的是（）A．圆心与半径 B．直径 C．平面上的三个已知点 D．三角形的三个顶点【即学即练2】6．下列条件中，能确定一个圆的是（）A．经过已知点M B．以点O为圆心，10cm长为半径 C．以10cm长为半径 D．以点O为圆心知识点03反证法反证法：先假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定假设结论不成立，从而得到原命题成立，这种方法叫做。【即学即练1】7．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角不小于60°”时，首先应假设：这个三角形中（）A．有一个内角小于60° B．有一个内角大于60° C．每一个内角都小于60° D．每一个内角都大于60°【即学即练2】8．用反证法证明：△ABC中至少有两个角是锐角．知识点04三角形的外接圆与外心三角形的外接圆：如图：若三角形的三个顶点都在圆上，则此时三角形是圆的内接三角形，圆是三角形的外接圆。三角形的外心：三角形外接圆的圆心即是三角形的外心。是三角形三条边的垂直平分线的交点。所以到三角形三个顶点的距离相等。特别说明：①锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．②找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个。【即学即练1】9．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠C＝63°，则∠DAB等于（）A．27° B．31.5° C．37° D．63°【即学即练2】10．如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为．【即学即练3】11．如图，O是△ABC的外心，则∠1+∠2+∠3＝（）A．60° B．75° C．90° D．105°题型01点与圆的位置关系【典例1】若⊙P的半径为4，圆心P的坐标为（﹣3，4），则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是（）A．在⊙P内 B．在⊙P上 C．在⊙P外 D．无法确定【典例2】如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6，以点B为圆心，3为半径作⊙B，则点C与⊙B的位置关系是（）A．点C在⊙B内 B．点C在⊙B上 C．点C在⊙B外 D．无法确定【典例3】已知⊙O的面积为25π，若PO＝5.5，则点P在．【典例4】已知点P是线段OA的中点，P在半径为r的⊙O外，点A与点O的距离为8，则r的取值范围是（）A．r＞4 B．r＞8 C．r＜4 D．r＜8【典例5】已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为边AB的中点，以点C为圆心，长度r为半径画圆，使得点A，P在⊙C内，点B在⊙C外，则半径r的取值范围是（）A． B． C．3＜r＜4 D．r＞3题型02反证法【典例1】用反证法证明命题“钝角三角形中至少有一个内角小于45°”时，首先应该假设这个钝角三角形中（）A．有一个内角小于45° B．每一个内角都小于45° C．有一个内角大于或等于45° D．每一个内角都大于或等于45°【典例2】用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”时，应假设（）A．a＜b B．a≤b C．a＝b D．a≥b【典例3】小明想用反证法证明“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”这条定理的正确性，请帮他将步骤补充完整．已知：直线a，b，c在同一平面内，a∥c，b∥c，求证：．证明：【典例4】用反证法证明下列问题：如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，BD、CE相交于点O．求证：BD和CE不可能互相平分．题型03三角形的外接圆与外心求角度【典例1】如图，△ABC内接于⊙O，E是的中点，连接BE，OE，AE，若∠BAC＝70°，则∠OEB的度数为（）A．70° B．65° C．60° D．55°【典例2】如图，点O是△ABC的外接圆的圆心，若∠A＝80°，则∠BOC为（）A．100° B．160° C．150° D．130°【典例3】如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝40°，连接OB，则∠ABO的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．80°【典例4】如图，等腰△ABC内接于⊙O，点D是圆中优弧上一点，连接DB、DC，已知AB＝AC，∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为（）A．10° B．20° C．30° D．40°题型04三角形的外接圆与外心求长度【典例1】如图，AD是⊙O的直径，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠DAC＝∠ABC，AC＝4，则⊙O的直径AD＝．【典例2】如图，△ABC是圆O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝10，则AC的长为（）A． B． C．5 D．5【典例3】如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，若⊙O的半径为4，则弦BC的长为（）A．6 B． C． D．【典例4】如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB交⊙O于点E，垂足为点D．AE、CB的延长线交于点F，若BF＝4，AB＝8，则BC的长是（）​A．3 B．4 C．5 D．61．下列语句中，正确的是（）A．经过三点一定可以作圆 B．等弧所对的圆周角相等 C．相等的弦所对的圆心角相等 D．三角形的外心到三角形各边距离相等2．在同一平面内，已知⊙O的半径为2cm，OP＝5cm，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O圆外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法确定3．点I是△ABC的外心，则点I是△ABC的（）A．三条垂直平分线交点 B．三条角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高的交点4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACO＝55°，则∠ABC的大小为（）A．60° B．70° C．40° D．35°5．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D是上一点，连接OA，AD，BD，若∠OAC＝40°，则∠D的度数为（）A．110° B．120° C．130° D．140°6．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径为2cm，若点P是⊙O上的一点，PB＝AB，则PA的长为（）A．2cm B．2cm C．cm D．2cm7．如图，E是△ABC的外接圆⊙O弧BC的中点，连接BE，OE，若∠BAC＝68°，则∠OEB＝（）A．68° B．65° C．56° D．55°8．如图，在直角坐标系中，⊙A的半径为2，圆心坐标为（4，0），y轴上有点B（0，3），点C是⊙A上的动点，点P是BC的中点，则OP的范围是（）A．≤OP≤ B．2≤OP≤4 C．≤OP≤ D．3≤OP≤49．在△ABC中，AB＝3cm，BC＝4cm，CA＝5cm．以点A为圆心，以3cm长为半径画圆，点B与⊙A的位置关系是．10．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝45°，CD⊥AB于点D，若AB＝8，CD＝6，则⊙O的半径为．11．如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC外角的平分线交⊙O于点D，射线AD交CB延长线于点E．若∠BAC＝28°，BC＝BD，则∠E的度数为°．12．如图，正方形ABCD中，AD＝4，E为边AB上一动点，连接CE，过点B作BF⊥CE于F，连接AF，则AF的最小值为．13．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．（1）求证：DE＝DB；（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．14．已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠ABC＝72°，D是⊙O上的点