数学建模校赛人工瀑布问题

./题目人工瀑布设计问题摘要这个问题主要研究的是瀑布的设计问题。如何求得角度与长度使人工瀑布最为壮观。根据园林设计的问题,要使得瀑布最为壮观,就要使其高度最高,距离最远。在本题中,高度只是次要矛盾,关键求得瀑布落地的水平距离。对于角度的求解问题上,可将其引申为铅球模型,因为铅球抛出模型与瀑布水的抛出问题极为的相似。因而在铅球的模型求解中,可将高度,出手速度都加以限制,就可以求得相应的角度。在此角度问题中,将瀑布水平距离视为抛物线与X轴交点的横坐标：对其求导,当导数为0时候,区极大值。此时求得的角度就可以近似的转化为瀑布的挑水坎的角度,带入下一步求解。对于水平距离求解的问题中,利用牛顿定律和动能定理,将水的运行过程分为三个阶段,分别是瀑布水从挑水坎的低端到挑水坎的最高端,挑水坎的最高端到能够达到的最高的高度,在最高点处下落到底端三个阶段。在第二个和第三个阶段时候将速度进行分解分别得到；水平速度为：竖直速度为：最终列出最后抛出后的表达公式为：利用进行求解。最终求得角度为0.375253。长度为趋近于0。然后对模型进行了评价与检验,并且对其进行了优化,将空气阻力考虑后的速度公式。关键词：瀑布水铅球模型1、问题重述1.1问题背景瀑布是水重悬崖上倾泻而下而形成的水体景观。瀑布是山水的结合体,当两者有机的结合后,才能使得瀑布最为壮观。随着园林事业的迅速发展,人工瀑布也更加快的发展起来了。自然瀑布通常是江河遇到地面断层而形成的。人工瀑布也利用这一原理,人工构造自然地质断层挑水坎,当水流达到一定速度时候,水就能沿着水槽冲上挑水坎再下落以致形成瀑布。1.2问题提出如图,某景点一人工瀑布是在离地面10米的高处建造一段水平的横水槽,将地面水池里的水用水泵抽入到了水槽中,该水槽末端设置一个坡度而形成一个挑水坎,当水流达到一定的速度时,水就能沿着水槽冲上挑水坎再下落以致形成瀑布。图一：瀑布模型的简化2、模型假设1.忽略空气阻力对水的流动不造成影响；2.假设坎坡是平整光滑的,以免造成瀑身水带的不完整；3.假设忽略天气坏境等外界因素对水槽水位的影响；4.假设水的输送速度保持不变。5.假设角度求解可以等同转化为扔铅球问题。6.将铅球视为一个质点。7.忽略空气阻力的影响。8.出手角度与出手速度无关。9.重力加速度在小围的高度变化中保持不变。3、符号说明和名词解释表示挑水坎的坡度表示瀑布落地后与水坝的水平距离表示挑水坎的底端与地面高度表示挑水坎的底端与顶端的水平高度表示挑水坎的长度表示水的初始速度表示水在挑水坎顶端的速度表示水流到达最高点的速度表示重力加速度表示挑水坎顶端到最高处的水平距离表示挑水坎对水的支持力表示末速度表示初速度表示空气阻力仍铅球时候的角度分别表示对的微分分别表示在0点处的导数表示铅球出手的高度表示空气中物体速度表示物体在空气中运行的时间名词解释：1.牛顿第二定律：物体的加速度跟物体所受的合外力成正比,跟物体的质量成反比,加速度的方向跟合外力的方向相同。而以物理学的观点来看,牛顿运动第二定律亦可以表述为"物体随时间变化之动量变化率和所受外力之和。2.动能定理：力在一个过程中对物体所做的功等于在这个过程中的动能变化。3.重力加速度：地球表面附近的物体,在仅受重力作用时具有的加速度叫做重力加速度,也叫自由落体加速度,用g表示重力加速度。其方向总是竖直向下。在同一地区的同一高度,任何物体的重力加速度都是相同的。重力加速度数值随海拔高度增大而减小。当物体距离地面高度远远小于地球半径时候,g变化不大。而离地面高度较大时候,重力加速度g显著减小,此时不能认为g为常数。4、问题分析此问题是设计人工瀑布的问题,并且使得设计的人工瀑布最为壮观。问题中要是瀑布最为壮观,就必须使得瀑布形成后的流水量达到最大,另外要使得水冲出挑水坎之后,达到的高度要尽可能最大,两者中和起来才能够使得人工瀑布达到视角、场面的壮观。因此在瀑布的设计中必须考虑到角度和挑水坎的长度,才能达到最优解。对于而言,它的大小影响着瀑布流水的高度,至此可以简化为求解扔铅球时的问题,即根据几组实验数据利用线性拟合来求得最大值。而对于长度则是影响水流量,利用物理定律可以求得某一最值。最终利用主观判断,比较两个因素的影响程度,得到两个不同因素所占的影响比例,最终得出最优解。这个问题关键还是建立出最优解,先得到目标函数,利用一系列的因素,最终求得瀑布得设计中应该需要的挑水坎的长度和挑水坎的坡度。即完全转化为挑水坎的设计问题。在问题中将空气阻力和摩擦力需要被完全忽略一下求解,这样才便于求得最后的解。5、模型准备在牛顿力学中,力的平衡关系中：力与运动的牛顿定律。求得：6、模型建立与求解利用铅球模型求得角度,因为由假设可以将水流的冲出后的角度与距离关系等同于铅球抛出角度与距离关系。铅球模型图解：图二：铅球抛出的图示由牛顿力学、物理学知识可求得：设铅球出手后在时刻的动点坐标为,由斜上抛运动的物理学知识得铅球运动方程：消去参数,得到：当铅球落地时候,令,的方程为：由求根公式解得：舍去负根,得铅球的投掷距离数学模型：微分后极大值为：化简得到：求得角度为0.375253。根据已经得到的角度,速度已经已知,那么要设计挑水坎的长度才能够达到最大的水流量。利用牛顿运动学定律和动能定理,对待瀑布流水从挑水坎底端到达挑水坎顶端,其加速度在数值上可以近似的看成是一不变的量,而动能与重力势能之间相互转化则是在流水运动的过程中得到体现,在上升的过程中,动能向重力势能转化,动能逐渐减小,与此同时,相应的势能也增大。因此可以列得方程为：〔1运用牛顿第二定律,在挑水坎上进行求解。但由于存在一个角度,因此必须进行力的分解,才能求出加速度来。因此可以先得到水在挑水坎上的支持力公式为：〔2由于在此之前摩擦力已经忽略了。那么求得的支持力即为所得到的合外力。那么由牛顿第二定律直接可以得到：〔3得到：<4>得到加速度之后。将〔4式中的加速度带到<1>便可以得到〔4解得：〔5即为在挑水坎顶端的速度。由于瀑布的壮观程度常常由两个因素来决定的,即瀑布的高度和瀑布冲下后的水流量的壮观程度所决定的。而这两个因素的影响在冲出后的过程中又由水平速度和垂直速度所影响的,因此在挑水坎的顶端必须将速度分解。根据正交分解原理,将速度分别分解后可以得到：竖直速度：水平方向的速度：然后要求的最终的高度和最终抛出后的距离。①先求的高度：由假设条件,重力加速度在整个过程中是不变的,由运动学原理可以得到速度与时间的关系式：即求得从挑水坎顶端到最高端的的时间为：再由运动学原理,列出速度与路程的关系式：解得：可以求的挑水坎顶端与最高端的距离：因此一旦确定,那么也就确定。②再求抛出后的距离：运动学中知道速度后还得有时间,才能够求得距离。因此必须求的全部时间。第一问求高度中已经求得一部分时间了。另外还要求得最高端到最后的时间,因此可以利用运动学中距离与时间的关系式：可以求得时间为：那么最后抛出后的距离为：代入化简可以得到：式子中的角度再前面求解中已经得到,那么只有一个未知量。再进行求解去得到,在求解中所得到的数据无解,那么说明是一个小于的数,但是又必须是大于等于0的数,当它为0时候不可能,因为已经得到角度了,当长度为0时候那么就无法形成角度了,所以不难得到为一个趋近于0的值。对于瀑布的景观影响程度是高度和抛出后的距离所影响的,但是因素的影响大小不同。对于高度和抛出距离在整个瀑布的壮观中影响不同。一般认为,高度在整个景观中的影响只占2份,而距离则是占得8份。而在本道题目中,已经把很多影响因素都忽略掉了,因此在瀑布的高度中已经可以不加考虑。因此只需要求得得值就可以求得最后得解。7、模型评价与检验模型优点：利用了动能定理和牛顿定律,具有很强的科学依据。对瀑布的水的运动分析进行的很全面,对各个阶段的水的运动进行了分解,进行了彻底的模型的求解。对瀑布的壮观程度进行了分析,对不同方面进行了分析,来达到瀑布的壮观程度的分析。模型缺点：模型中省略了许多因素的考虑,比如挑水坎的摩擦力的考虑。模型中的水在最终落下的时候就单纯的考虑了物理学中的运动定律,并没有考虑到空气阻力所造成影响,但实际上影响很大的。模型中的设计后所得到的长度影响很大。在求角度时候只是将抛铅球的模型运用过来,误差也很大。在求综合因素时候,即求解角度和长度上,都是分开求解的,其所求的综合因素不完全优化。7.2模型检验：在模型中运用了铅球模型来代替挑水坎角度的求解,接下来对模型进行检验。表一:某次实验的铅球仍置的角度与距离关系将数据代入：当角度为37.60,38.96,40.00时候,其距离分别为：20.9628,21.0785,21.141。测量值与真实值之差为误差,物理实验离不开对物理的测量,测量有直接的,也有间接的。由于仪器、实验条件、环境等因素的限制,测量不可能无限精确,物理量的测量值与客观存在的真实值之间总会存在一定差异,这种差异就是测量误差。扔铅球的实验中,有风力,人为因素影响,不可能百分之百的与理论数据一样,因此在求出的数据,可以认为在误差围之,因此可以认为实验的达到准确。8、模型优化对于问题中瀑布的影响因素中,挑水坎的摩擦力影响不大,但是空气阻力影响相比而言较大,所以对模型进行优化一下,考虑一下空气阻力。那样误差得到减小,求出的解也更为精确。任何物体在空气中的运动都会受到空气阻力的作用,空气阻力是一个变力,情况很复杂,这是普通物理中所未曾涉及的,而描述物体运动和受力关系的就是牛顿第二定律,即而正因为的不定性,是此类问题十分复杂,有时,微分方程甚至不可解,只能用近似法或图解法,而在理论力学的畴,我们可以尽量简化的形式,是指可解,并能和实际在一定程度上相适应。物体在媒质〔如水、空气及其他中运动时,都受到阻力作用,其方向和速度方向相反,煤质组里的大小决定于物体的大小、形状；物体运动的速度；煤质的温度吧密度、粘滞系数等,可用下式表示：f=C是与物体大小形状有关的系数,称为阻力系数；p为媒质密度；S是物体投影在垂直于速度矢量的平面上的面积,称为居中截面；W是物体速度v的函数,其形式不确定,再有,虽然阻力与物体的大小和形状有关,但如果考虑其大小形状,只能把物体看作刚体,则情况更为复杂,这里只是把物体看作一个质点,是质点力学的畴,在具体讨论中,假定空气静止,物体大小形状不变,CPS不变,可令至于G则比较复杂,G只是速度的函数,并且V越大,G就越大,在不同的速度围其具体形式也不同,可以认为：G只是和速度的n次方成正比,即：G=kv,综合上式,令k=k1k2则：,一般在物体不甚大且运动速度比较低,可假定在小于10的情况下,阻力与速度的一次方成正比,即：n=1；在一般的相当大的运动速度和物体尺寸的围,可假设从10到接近或超过音速时,阻力与速度的高次方成正比,n=1的情况符合于一般的常见物体的低速运动,n=2的情况符合于现代的航空运输及水力工程上的一些实用问题,n=3的情况符合于超音速飞机或火箭的发射,它需要大大提高发动机的性能和功率,综上所述,对我们所研究的实际情况,空气阻力可写成：求得空气阻力后,将它运用到瀑布的设计中,并且只运用到第二阶段,即瀑布水从挑水坎的顶端到最终落到地面上的时候,在其中水平速度都在不断减小,另外在竖直方向上也必将受到空气阻力的影响,那么也得考虑一下,总的来说只要水在空气中运行就要受到阻力影响。因此再对速度进行分解后,可以得到：得到所以可以得到水平速度和竖直方向速度都为再得到其水平距离：9、模型推广在这个模型中运用了动能定理,牛顿定律等,可以推广到许多地方问题的求解问题。1.连接体问题：两个或两个以上物体相互连接并参与运动的系统称为有相互作用力的系统,即为连接体问题,处理非平衡状态下的有相互作用力的系统问题常常用整体法和隔离法。2.瞬时性问题当一个物体〔或系统的受力情况出现变化时,由牛顿第二定律可知,其加速度也将出现变化,这样就将使物体的运动状态发生改变,从而导致该物体〔或系统对和它有联系的物体〔或系统的受力发生变化。3.临界问题某一物理现象转化为另一个物理现象的转折状态叫临界状态,临界状态可理解为"恰好出现"或"恰好不出现"的交界状态。处理临界问题的关键是要详细分析物理过程,根据条件变化或状态变化,找到临界点或临界条件,而寻找临界点或临界条件常常用到极限分析的思维方法。10、参考文献周衍柏,《理论学教程》,1986年3月,第二版。麟保,《理论学基础》,1996年9月,第一版。蔡志东,《全面、准确理解牛顿第二定律和动量定理》,20XX,第12期。许红,王建中,《利用时间传感器测量重力加速度》,20XX,第二版。龙堂,《工程力学》,：高等教育,1999年。顾建中,《普通物理学简明教程》,：人民。附录求解角度：v=6;g=9.8;h=10;s=v^2Sin[2]/<2g>+Sqrt[<v^2Sin[2]/<2g>>^2+2h*v^2Cos[]^2/g]Plot[s,{,0,0.5Pi}]1.83673Sin[2]+FindMaximum[s,{,0.5Pi}]{9.32544,{0.375253}}求解长度：g=9.8;=0.375253;h=10;H=19.32544;v1=6;h'=<2*g*l*Sin[]+v1^2>*Sin[]^2/<2g>d=<S