人教A版高中数学(选择性必修三)同步培优讲义专题8.5 列联表与独立性检验（重难点题型精讲）（教师版）

专题8.5列联表与独立性检验（重难点题型精讲）1．分类变量为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量.分类变量的取值可以用实数表示.2．2×2列联表假设两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{SKIPIF1<0,SKIPIF1<0}和{SKIPIF1<0,SKIPIF1<0}，其2×2列联表为2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数.3．等高堆积条形图常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征(如图)，由此反映出两个分类变量间是否相互影响.(1)等高堆积条形图中有两个高度相同的矩形，每一个矩形中都有两种颜色，观察下方颜色区域的高度，如果两个高度相差比较明显(即SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相差很大)，就判定两个分类变量之间有关系.

(2)利用等高堆积条形图虽可以比较各个部分之间的差异，明确展现两个分类变量的关系，但不能知道两个分类变量有关系的概率大小.4．独立性检验(1)假定通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，如下表所示.则SKIPIF1<0.(2)利用SKIPIF1<0的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为SKIPIF1<0独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验.

(3)SKIPIF1<0独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.【题型1列联表的应用】【方法点拨】利用列联表直接计算SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，如果两者相差很大，就判断两个分类变量之间有关系的可能性较大.【例1】（2023·全国·高二专题练习）假设有两个分类变量x与y的2×2列联表如下表：yyxabxcd对于以下数据，对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大的一组为（

）A．a=5，b=4，c=3，d=2 B．a=5，b=3，c=4，d=2C．a=2，b=3，c=4，d=5 D．a=2，b=3，c=5，d=4【解题思路】计算每个选项中的ad−bc，比较大小后可得出结论.【解答过程】对于两个分类变量x与y而言，ad−bc的值越大，说明x与y有关系的可能性最大，对于A选项，ad−bc=对于B选项，ad−bc=对于C选项，ad−bc=对于D选项，ad−bc=显然D中ad−bc最大，故选：D.【变式1-1】（2022春·福建厦门·高二阶段练习）在一次独立性检验中，得出列联表如图：且最后发现，两个分类变量A和B没有任何关系，则a的可能值是（

）AA合计B2008001000B180a180+a合计380800+a1180+aA．200 B．720 C．100 D．180【解题思路】把列联表中所给的数据代入求观测值的公式，建立不等式，代入验证可知a的可能值.【解答过程】解：因为两个分类变量A和B没有任何关系，所以K2代入验证可知a=720.故选：B.【变式1-2】（2022·高二单元测试）假设两个分类变量X和Y，他们的取值分别为{x1,yy总计xaba+bxcdc+d总计a+cb+da+b+c+d对于以下数据，对同一样本说明X与Y有关的可能性最大的一组是（

）A．a=10，b=5，c=8，d=6 B．a=9，b=5，c=7，d=8C．a=12，b=6，c=9，d=5 D．a=12，b=8，c=6，d=7【解题思路】依据|ad−bc|越大，说明X与Y有关的可能性越大，即可判定.【解答过程】一般地，|ad−bc|越大，说明X与Y有关的可能性越大.选项A中，|ad−bc|=|60−40|=20；选项B中，|ad−bc|=|72−35|=37；选项C中，|ad−bc|=|60−54|=6；选项D中，|ad−bc|=|84−48|=36．故选：B.【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）假设有两个分类变量X和Y的2×2列联表如下：注：K2的观测值k=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=n(aA．a=45,c=15 B．a=40,c=20 C．a=35,c=25 D．a=30,c=30【解题思路】根据独立性检验的方法和2×2列联表，即可得解.【解答过程】根据独立性检验的方法和2×2列联表可得，当aa+10与cc+30相差越大，则分类变量X和Y有关系的可能性越大，即a,c相差越大，aa+10故选A．【题型2等高堆积条形图的应用】【方法点拨】可以从等高堆积条形图中直观判断列联表数据的频率特征，这种直观判断的不足之处在于不能直接给出推断“两个分类变量有关系”犯错误的概率.【例2】（2022春·吉林·高二阶段练习）为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各50人，男性40人，女性60人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则关于样本下列叙述中正确的是（

）A．是否倾向选择生育二胎与户籍无关B．是否倾向选择生育二胎与性别有关C．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同D．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数【解题思路】结合所给比例图，依次分析判断4个选项即可.【解答过程】对于A，城镇户籍中40%选择生育二胎，农村户籍中80对于B，男性和女性中均有60%对于C，由于男性和女性中均有60%对于D，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍有50×20%=10人，城镇户籍有故选：D.【变式2-1】（2022春·全国·高二期末）观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x，y之间的随机变量χ2的观测值最小的是（

A． B．C． D．【解题思路】直接由等高条形图中x1,x【解答过程】等高的条形图中x1,x故选：B.【变式2-2】（2023·全国·高二专题练习）观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是（

）A． B．C． D．【解题思路】由等高条形图的定义和性质依次分析，即得解【解答过程】观察等高条形图发现x1x1故选：D.【变式2-3】（2023·高二课时练习）为考查A，B两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（

）A．药物B的预防效果优于药物A的预防效果B．药物A的预防效果优于药物B的预防效果C．药物A，B对该疾病均有显著的预防效果D．药物A，B对该疾病均没有预防效果【解题思路】根据等高条形图中的数据即可得出选项.【解答过程】根据两个表中的等高条形图知，药物A实验显示不服药与服药时患病差异较药物B实验显示明显大，所以药物A的预防效果优于药物B的预防效果，故选：B．【题型3独立性检验的应用】【方法点拨】可以利用独立性检验来推断两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度.具体做法：(1)根据实际问题需要的可信程度(或容许犯错误概率的上界)确定临界值SKIPIF1<0；(2)利用公式，由观测数据计算得到SKIPIF1<0的值；(3)对照临界值表，即可得出结论.【例3】（2023·江西上饶·统考一模）新型冠状病毒感染，主要是由新型冠状病毒引起的，典型症状包括干咳、发热、四肢无力等，部分人群会伴有流鼻涕、拉肚子等症状.病人痊愈的时间个体差异也是比较大的，新型冠状病毒一般2－6周左右能恢复.某兴趣小组为进一步了解新型冠状病毒恢复所需时间，随机抽取了200名已痊愈的新型冠状病毒患者（其中有男性100名，女性100名）进行调查，得到数据如下表所示：痊愈周数性别1周2周3周4周5周6周大于6周男性4502412622女性24022161064若新型冠状病毒患者在3周内（含3周）痊愈，则称患者“痊愈快”，否则称患者“痊愈慢”.(1)分别估计男、女新型冠状病毒患者“痊愈快”的概率？(2)完成下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为患者性别与痊愈快慢有关？痊愈快慢性别痊愈快痊愈慢总计男性女性总计附：K2P0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解题思路】（1）根据表中数据的统计，结合古典概型的概率公式即可求解，（2）根据数据统计完成二联表，即可计算K2【解答过程】（1）由表中数据可知：男性患者在三周以及以内康复的人有4+50+24=78，女性患者在三周以及以内康复的人有2+40+22=64，故男性新型冠状病毒患者“痊愈快”的概率为78100=0.78（2）二联表如下表：痊愈快慢性别痊愈快痊愈慢总计男性7822100女性6436100总计14258200故K故有95%的把握认为患者性别与痊愈快慢有关.【变式3-1】（2023春·河南安阳·高三阶段练习）2021年7月24日中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》（以下简称“双减”），各省、市精心组织实施，强化目标管理，治理校外培训行为.为了调查人们对“双减”的满意程度，抽取了男、女各25人对“双减”的满意度进行调查，统计数据如表所示.满意非常满意合计男性18725女性61925合计242650(1)根据上表，如果随机抽查1人，那么抽到此人对“双减”满意的概率是多少？抽到此人对“双减”非常满意且是女性的概率是多少？(2)能否有99.9%附：K2=nP(0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解题思路】（1）根据古典概型的概率公式即可求得答案；（2）计算K2【解答过程】（1）随机抽查1人，抽到满意的概率是18+650抽到非常满意且是女性的概率是1950（2）根据2×2列联表，可得K2∴有99.9%的把握认为性别和满意度有关.【变式3-2】（2023·内蒙古·模拟预测）国际足联世界杯（FIFAWorldCup），简称“世界杯”，是由全世界国家级别球队参与，象征足球界最高荣誉，并具有最大知名度和影响力的足球赛事.2022年卡塔尔世界杯共有32支球队参加比赛，共有64场比赛.某社区随机调查了街道内男、女球迷各200名，统计了他们观看世界杯球赛直播的场次，得到下面的列联表：少于32场比赛不少于32场比赛总计男球迷a+20a+20女球迷a+40a总计(1)求a的值，并完成上述列联表；(2)若一名球迷观看世界杯球赛直播的场次不少于32场比赛，则称该球迷为“资深球迷”，请判断能否有95%参考公式：K2=n参考数据：P0.100.050.0100.001k2.7063.8416.63510.828【解题思路】（1）根据球迷总人数可构造方程求得a的值，进而补全列联表；（2）由列联表数据可计算得到K2【解答过程】（1）由题意得：a+20+a+20+补全列联表如下：少于32场比赛不少于32场比赛总计男球迷100100200女球迷12080200总计220180400（2）由（1）得：K2∴有95%【变式3-3】（2023春·湖南·高三阶段练习）人们曾经相信，艺术家将是最后被AⅠ所取代的职业，但技术的进步已经将这一信念敲出了裂痕，这可能是AⅠ第一次引起人类的恐慌，由novalAⅠ，DALL－E2等软件创作出来的给画作品风格各异，乍看之下，已与人类绘画作品无异，AⅠ会取代人类画师吗？某机构随机对60人进行了一次调查，统计发现认为会取代的有42人，30岁以下认为不会取代的有12人，占30岁以下调查人数的25(1)根据以上数据完成如下2×2列联表：年龄理解情况总计会取代不会取代30岁以下1230岁及以上总计4260(2)依据小概率值α=0.010的独立性检验，能否认为年龄与理解情况有关？并说明原因．α0.100.050.0100.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828参考公式：χ2=n【解题思路】（1）根据题设中的数据即可求解；（2）代入卡方公式求出值与表对比即可求解.【解答过程】（1）完成2×2列联表如下：年龄理解情况总计会取代不会取代30岁以下18123030岁及以上241630总计421860（2）设H0由题意，χ2所以根据小概率α=0.010的独立性检验，我们推断H0即认为年龄与理解情况无关，此推断犯错误的概率不大于0.010．【题型4独立性检验与统计知识的综合应用】【方法点拨】独立性检验与统计知识结合在一起考查是一个很好的结合点，解题的关键是正确从图表中得到相关数据.【例4】（2023·全国·模拟预测）某省级综合医院共有1000名医护员工参加防疫知识和技能竞赛，其中男性450人，为了解该医院医护员工在防疫知识和技能竞赛中的情况，现按性别采用分层抽样的方法从中抽取100名医护员工的成绩（单位：分）作为样本进行统计，成绩均分布在400~700分之间，根据统计结果绘制的医护员工成绩的频率分布直方图如图所示，将成绩不低于600分的医护员工称为优秀防疫员工(1)求a的值，并估计该医院医护员工成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)若样本中优秀防疫员工有女性10人，完成下列2×2列联表，并根据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为该医院医护员工的性别与是否为优秀防疫员工有关联？优秀防疫员工非优秀防疫员工合计男女合计(3)采用分层抽样的方法从样本中成绩在450,500，600,700的医护员工中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记被抽取的3名医护员工中优秀防疫员工的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望.附：χ2=nα0.100.050.0100.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828【解题思路】（1）首先根据频率和为1求出a值，再求出成绩平均数，再根据中位数概念求出中位数即可；（2）进行零假设，补全2×2列联表，计算计算χ2（3）求出分层抽样的各层人数，计算概率得到分布列，则得到其期望.【解答过程】（1）第一步：根据频率之和为1求a的值由题意知50×0.001×2+0.003+0.006+0.005+a=1，解得第二步：根据平均数与中位数的定义求解，估计该医院医护员工成绩的平均数，x=425×0.05+475×0.15+525×0.3+575×0.25+625×0.2+675×0.05=552.5因为0.001+0.003+0.006×50=0.5所以估计中位数为550.（2）第一步：写出零假设零假设为H0第二步：补全2×2列联表由题可知，样本中男性有450×110=45人，女性有1000−450其中女性10人，得出以下2×2列联表：优秀防疫员工非优秀防疫员工合计男153045女104555合计2575100第三步：计算χ2根据列联表中的数据，得到χ2第四步：得出结论所以根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们没有充分证据推断H0（3）第一步：利用分层抽样的知识求抽取的8人中成绩在450,500与600,700中的人数由题意及频率分布直方图可得，从成绩在450,500的医护员工中抽取3人，从成绩在600,700的医护员工中抽取5人，第二步：写出随机变量X的所有可能取值所以X的所有可能取值为0，1，2，3.第三步：分别求出X取每个值的概率，得分布列PX=0=CPX=2=C所以随机变量X的分布列为P0123X115155第四步：计算数学期望EX【变式4-1】（2023·高二单元测试）相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为37.2%，城乡居民达到《国民体质测定标准》合格以上的人数比例达到90%以上．某市一健身连锁机构对其会员进行了统计，制作成如下两个统计图，图1为会员年龄分布图（年龄为整数），图2为会员一个月内到健身房次数分布扇形图．若将会员按年龄分为“年轻人”（20岁-39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或40岁及以上）两类，将一个月内到健身房锻炼16次及以上的会员称为”健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在“健身达人”中有56(1)现从该健身连锁机构会员中随机抽取一个容量为100的样本，根据图的数据，补全下方2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“健身达人”与年龄有关？年轻人非年轻人合计健身达人健身爱好者合计附：P0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828K(2)将（1）中相应的频率作为概率，该健身连锁机构随机选取3名会员进行回访，设3名会员中既是“年轻人”又是“健身达人”的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．【解题思路】（1）根据条件完善列联表，然后算出K2（2）随机变量X满足二项分布X~B3,【解答过程】（1）根据年轻人标准结合图1可得年轻人占比为80%，则年轻人人数为100×80%=80，则非年轻人为20人，根据图2表格得健身达人所占比60%，所以其人数为100×60%=60，根据其中年轻人占比56所以健身达人中年轻人人数为60×5健身爱好者人数为100-60=40，再通过总共年轻人合计为80人，则健身爱好者中年轻人人数为80-50=30，根据非年轻人总共为20人，则健身爱好者中非年轻人人数为20-10=10，所以列联表为年轻人非年轻人合计健身达人501060健身爱好者301040合计8020100K2所以没有95%的把握认为“健身达人”与年龄有关．（2）由（1）知，既是年轻人又是健身达人的概率为12则随机变量X满足二项分布X~B3,12PX=0=CPX=2=故X的分布列：X0123P1331则X的数学期望为EX【变式4-2】（2023春·河南安阳·高三阶段练习）某超市为改善某产品的销售状况并制订销售策略，统计了过去100天该产品的日销售收入（单位：万元）并分成六组制成如图所示的频率分布直方图.(1)求a的值并估计过去100天该产品的日销售收入的平均值x；（同一区间数据以中点值作代表）(2)该超市过去100天中有30天将该商品降价销售，在该商品降价的30天中有18天该产品的日销售收入不低于0.6万元，判断能否有97.5%的把握认为该商品的日销售收入不低于0.6万元与该日是否降价有关.附：K2=nP0.0500.0250.010k3.8415.0246.635【解题思路】（1）由频率分布直方图总面积为1列方程求a，由定义求均值；（2）作出列联表，求得K2【解答过程】（1）依题意有1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2×0.1=1，得a=3.0x=0.35×0.15+0.45×0.25+0.55×0.30+0.65×0.20+0.75×0.08+