第七节　解三角形的实际应用

第七节解三角形的实际应用实际问题中的常用角(1)仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线

的角叫做仰角，目标视线在水平视线

的角叫做俯角(如图1)．上方下方(2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°、北偏西45°、西偏北60°等．(3)方位角：指从正北方向

转到目标方向线的水平角，如点B的方位角为α(如图2)．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．顺时针1.(人教A版必修第二册P49·例9改编)为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50m，∠ABC＝105°，∠ACB＝45°.就可以计算出A，B两点的距离为

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)3．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°处，A，B两船的距离为3km，则B到C的距离为________km.4.某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台E点和看台的坡脚A点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量得看台坡脚A点到E点在水平线上的射影B点的距离为10m，则旗杆的高是________m.[方法技巧]求解距离问题的2个注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．

[针对训练]2.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点的距离为________．解析：如图，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，∴∠DAC＝15°.求解高度问题的3个注意事项(1)在处理有关高度问题时，理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．

[针对训练][方法技巧]求解角度问题的3个注意事项(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义．(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的优点．

数学建模能力欠缺导致解决实际应用问题受阻对于应用正弦定理、余弦定理解决实际应用问题，学生的痛点是不能根据题目条件建立恰当的数学模型，继而应用三角函数知识进行求解．——————————————————————————————————(1)观察图形，选择θ作自变量，利用三角形的面积公式可得四边形ABCD面积关于θ的函数，利用三角函数的恒等变换可以得到“一角一函”的形式，然后根据角的范围利用正弦函数的性质可求得面积最大值．(2)利用余弦定理求得BC，DA关于θ的三角函数，进而求出l关于θ的三角函数表达式，利用二倍角公式和换元思想转化为二次函数的最值，进而求解．

细微点——优化完善(扫盲点)1．(创新解题思维·数形结合)空中有一气球，在它的正西方A点测得它的仰角为45°，同时在它南偏东60°的B点，测得它的仰角为30°，若A，B两点间的距离为266米，这两个观测点均离地1米，那么测量时气球到地面的距离是(

)2.(体现数学应用)为了测量河对岸两点C，D间的距离，现在沿岸相距2km的两点A，B处分别测得∠BAC＝105°，∠BAD＝60°，∠ABC＝45°，∠ABD＝60°，则C，D间的距离为

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)3．(浸润家国情怀)故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群．故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴．已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为75°，冬至前后正午太阳高度角约为30°.图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐AB的长度(单位：米)约为

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)4.(链接生产生活)截至目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影．如图，某同学在一条水平公路上观测旁边山顶上的一座5G基站AB，已知基站AB高40m，该同学在公路D，E两点处测得基站顶部A处的仰角分别为30°，45°，且∠