2023版高三一轮总复习数学新教材老高考人教版教案：第1章 第2节　常用逻辑用语

篦*常用逻辑用语

［考试要求］

1.通过典型数学命题，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判

定定理与充分条件的关系，性质定理与必要条件的关系，理解数学定义与充要条

件的关系.

2.通过实例，理解全称量词命题与存在量词命题的意义，能正确对两种命题

进行否定.

［走进教材础］回顾知识•激活技能

€＞梳理•必备知识

1.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p=q，则p是4的充分条件，〃是。的必要条件

p是q的充分不必要条件p=q且q/p

〃是4的必要不充分条件〃为旦〃今〃

p是q的充要条件p妗q

p是q的既不充分也不必要条件p^q且q/p

2.全称量词与存在量词

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，

并用符号“工”表示.

(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量

词，并用符号“3”表示.

3.全称量词命题和存在量词命题

名称全称量词命题存在量词命题

将含有变量X的语句用p(x)，式X)，心)，…表示，变量光的取值范围用

结构M表示

对M中任意一个x,p(x)成立存在M中的元素x,p(x)成立

简记VxGM,〃(x)

否定->p(x)XxRM,—>p(x)

提醒：含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”.

［常用结论］

设p,q成立的对象构成的集合分别为A,B.

(l)p是q的充分不必要条件0AB-,

(2)p是q的必要不充分条件今A茎氏

(3)p是q的充要条件0A=B;

(4)p是q的既不充分也不必栗条件台A与B没有包含关系.

€>激活•基本技能

一'易错易误辨析(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)当〃是g的充分条件时，g是〃的必要条件.()

(2)“x>l”是“x>0”的充分不必要条件.()

(3)“三角形的内角和为180。”是存在量词命题.()

(4)写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词.()

［答案］(1)7(2)7(3)义(4)V

二'教材习题衍生

1.“(x—l)(x+2)=0"是“x=l”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

B［若x=l,则(x—l)(x+2)=0显然成立，但反之不成立，即若(x—l)(x+

2)=0,则x的值也可能为-2.故选B.］

2.有以下命题：

(DVXGR,X2—x+1>0；

②sinx=2；

③存在一个无理数，它的平方是有理数；

④平面内，到A,B两点距离相等的点都在线段A3的垂直平分线上.

其中真命题的个数是()

A.1B.2C.3D.4

［答案］C

3.“等边三角形都是等腰三角形”的否定是.

［答案］存在一个等边三角形，它不是等腰三角形

2

4.设p,r都是g的充分条件，s是g的充要条件，，是s的必要条件，1是

r的充分条件，那么p是t的条件，r是t的条件.（用“充分

不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空）

充分不必要充要[由题意知p=>q,q<=>s,s=>f,又f=>r,Qq,故〃是r

的充分不必要条件，，是，的充要条件.]

[细研考点・突破题型]重难解惑•直击高考

考点一充分、必要条件的判定惆组通关

1.（2021.湖南高三月考）设a£R,则“忘2”是“屋一3a+2W0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

B[解不等式/-3a+2W0得1WaW2,

因为[1,2]（一8,2],所以ZW2”是“/-3&+2<0”的必要不充分条

件.故选B.]

2.下列说法中正确的是（)

、，，

A.若"a>b"是aa>c的充分条件，则“b2c”

B.若"a>b”是“a>c”的充分条件，则“bWc”

C.若"a>b”是"a>c"的充要条件，则ub>cn

D.若"a<b"是a>c的必要条件，则“b〈c”

A[令A={a|a>/},B={a\a>c],C={a\a<b}.若“a>b”是ua>cn的

充分条件，则有A=则b2c,故选项A正确，选项B错误；若"a>b”是"a

>c”的充要条件，则有4=8,则〃=c,故选项C错误；若“a〈b"是"a>c"

的必要条件，则有这是不可能的，故选项D错误.故选A.]

3.（2021.珠海第二中学模拟）《墨子・经说上》上说：“小故，有之不必然，

无之必不然，体也，若有端，大故，有之必然，若见之成见也.”这一段文字蕴

含着十分丰富的逻辑思想，那么文中的“小故”指的是逻辑中的.（选

“充分条件”“必要条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”之一填空）

必要条件[由“小故，有之不必然，无之必不然”，知“小故”是导致某

个结果出现的几个条件中的一个或一部分条件，故“小故”指的是逻辑中的必要

条件.]

3

畲反思领悟充分条件、必要条件的两种判定方法

根据p=q,q=p进行判断，适用于定义、定

定义法一

理判断性问题

根据p,q对应的集合之间的包含关系进行

1集合法1―判断，多适用于条件中涉及参数范围的推

断问题

□考点二充分、必要条件的应用枷生共讨

［典例1］已知集合A={x*—8x—20W0},非空集合8={x|l—〃WxWl+

m}.若xCA是的必要条件，求机的取值范围.

［解］由f—8x—20W0,得一2W无W10,

.•.A={x|-20W10}.

由XGA是XG8的必要条件，知5CA

1—mW1+〃2,

1一机》一2,.•.0W/"W3.

{1+mWlO,

...当0WmW3时，xGA是XG8的必要条件，

即所求m的取值范围是［0,3］.

［母题变迁］

1.若将本例中条件改为“若XGA是的必要不充分条件”，求机的取

值范围.

［解］由xdA是xdB的必要不充分条件，知BA,

1一机Wl+加,C1—777^1+m,

1一机2—2,或{1一m>—2,

{l+m<101l+，WW10,

解得0W/wW3或0Wm<3,

故m的取值范围是［0,3］.

2.本例条件不变，若xGA的必要条件是xGB,求"2的取值范围.

［解］由原题知A={x|-2WxW10},'."eA的必要条件是xWB,即x@B

是xWA的必要条件，：,A^B,

4

1—mW1+加,

1一mW-2,二解得

{l+m210,

故〃2的取值范围是[9,+°°).

3.本例条件不变，问是否存在实数而，使xWA是xGB的充要条件？并说

明理由.

[解]不存在.由原题知A={x|-2WxW10}.

若xdA是尤G8的充要条件，则A=8,

1—m=—2,[；77=3,

：.\,：.\所以相不存在.

,1+m=10,[m=9,

畲反思领信利用充要条件求参数的两个关注点

(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的

关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.

(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，

从而确定取舍.

-[跟进训练]

1.(1)(2021.山东中学大联考)“TxW[—2,1],f—2aW0”为真命题的一个

充分不必要条件是()

A.心0B.心1

C.D.a23

(2)关于x的方程加+云+c=0(aW0)有一个正根和一个负根的充要条件是

(1)D(2)«c<0(1)Vxe[-2,1],f—2aW0”为真命题，即在

工©[—2,1]时恒成立，所以2a24,即VxW[—2,l],f—2aW0为真命题的

充要条件是。巳2,所以该命题转化为求“a22”的充分不必要条件，即找集合A

={a|a22}的非空真子集，结合选项可知选D.

⑵以2+bx+c=O(aWO)有一个正根和一个负根的充要条件是

5

zf=/?2—4ac>0,

'c即ac<0.]

[-a<o,

考点三全称量词与存在量词修维探究

考向1含量词命题的否定

[典例2—1]（2021.泰安三模）命题“奇函数的图象关于原点对称”的否定

是（）

A.所有奇函数的图象都不关于原点对称

B.所有非奇函数的图象都关于原点对称

C.存在一个奇函数的图象不关于原点对称

D.存在一个奇函数的图象关于原点对称

C[全称量词命题”所有奇函数的图象关于原点对称”的否定是存在量词

命题，所以命题“奇函数的图象关于原点对称”的否定是“存在一个奇函数的图

象不关于原点对称”.故选C.]

考向2含量词命题的真假判断

[典例2—2]（2021.太原模拟）下列命题中的真命题是（）

/3

A.3XGR,使得sin尤+COSX=5

x

B.Vxe（0,+8）,e>x+1

C.三%£（—8,o）,2X<3X

D.VxG（0,7i）,sinx>cosx

B[入』x+cosx=6sin（x+：k啦V.,故A错误；设於）=e*—x—1,

则/'（x）=ev-l.

•.•当xe（0,+8）时，f（x）>o,

..../U）在（0,+8）上为增函数.

又《0）=0,

无e（0,+8）,y（x）>0,即e、>x+l,故B正确；

当xVO时，y=2x的图象在y=3x的图象上方，故C错误；

,当x£（0,皆时，sinx<cosx,故D错误.]

6

考向3含量词命题的应用

[典例2-3]若命题p：“mxWR,炉一〃a一mWO”为假命题，则实数m

的取值范围是.、题多解

[四字解题]

相

读/UA算思

命题p：x2若P为真命题计算判别式420补集思想

-mx-rnWO为假命

若为真命题计算判别式/<0转化化归

题

(—4,0)[法一：若p为真命题，即mxeR,%2一〃优一〃W0,A=z?z2+4??z0,

.,./〃20或/〃W—4,

/.当p为假命题时一4<"?<0.

法二：为假命题，

.'.—ip:X/xCR,x2—nix—〃2>0为真命题，

即J=w2+4m<0,—4<m<0.]

令反思领悟1.判定全称量词命题“VxWM,p(x)”是真命题，需要对集合M

中的每一个元素X,证明p(x)成立；要判定存在量词命题“m