2023年上海市高中自主招生数学全真模拟试卷(二)

自主招生数学全真模拟试卷（二）

填空题

1.方程3'+4'+5'=6'有个解.

2.将一个棱长为正整数的正方体分割为99个小正方体，其中98个小正方体为单位正方体，则原正方体的

表面积为.

3.方程abc=2（a+8+c）的正整数解共有组.

4.在^ABC中，已知一H=―^-―,且b=4,则a+c-____.

AC£>

tan—tan—tan—

222

5.已知二次函数/（x）满足/（一2）=1,/（2）=2且%4/。）4,（1+4）对于一切实数》均成立，则/（4）

6.设整数小仇C,满足〃+/+,6«百，则（_2）"+（—2）〃+（-2）'=

7.已知面积为3厉的△ABC的两条中线AD、BE的长分别为3和6,则第三条中线CF的长为

8.一只猴子爬一个8级的梯子，每次可爬一级或上跃二级，最多上跃三级，从地面上到最上一级，一共有

种不同的爬跃方法.

解答题

9.设M=（a—2份2+2户—58+24+3（乂、b均为整数，）在〃、人变动下变动，当M最小时，求/一〃

42

的值.

10.已知十个互不相等的有理数，其中，每九个的和都是分母为22的既约真分数（分子分母没有公约数的真

分数），那么这十个有理数的和S为多少？

abC

11.在AABC中，AB=c,BC=6Z,CA=b,已知BC边上的高为一，求一+一的最大值.

3cb

12.如图，已知。Oi过梯形ABCD的两顶点A、B,并切腰CD于点N,OO2过点C、D并切腰AB于点M,

求证：AMMB=CN-ND

参考答案

1.解：易知x=3,为原方程的一个解.(通过尝试可得)，下证解的唯一性.当x>3时，有

故原方程有且仅有43—个解.

2.设原正方体的边长为x,99个小正方体的边长为1和y(x>y>l),则V-y3=98,即有

(x-y)[(x—y)2+3孙]=98所以(x-y)|98,所以x-产1,2,7,14,49,98,由(x-y),<V-y3=98,得尤_),=]2；当

x-y=l时，有3冷》=97,矛盾；当尸2时，有孙=15,解得(x,y)=(5,3),故原正方体表面积为150.

3.注意到原方程关于。力,c对称，不妨设则a+Z?<2c,代入原方程得2<"W6

当“6=3时，得(a,6,c)=(l,3,8)；当浦=4时，得(a,6,c)=(l,4,5),(2,2,4);当ab=5时,得(a,b,c)=(l,5,4)当时=6

时，c不为正整数，综上，aWb<c时，原方程有三组正整数解(1,3,8)(1,4,5)(2,2,4),故原方程的正整数的解

共有15组.

A,

4.如图，(为了证明tan—=---)，设△ABC内切圆为01,半径为r,01与边BC、CA分别切于点D、E、

2p-a

F,连接IA、IB、IC、ID、IE、IF,由切线长定理得AF=p-a,BD=p-b,CE=p-c,其中p=g(a+b+c),在RsAIF

TpAt*B尸Cf

中，tan/IAF=——,BPtan-=-----；同理可得，tan-=-----,tan—二-----，代入已知等式得

AF2p-a2p-b2p-c

p-ap-c_4(p-b)3b

--------------1-----------------------------------,a-rC--------O

rrr2

iQ1

5.设f(x)=ax2+bx+c(a声0)由已知可得｛名J需覆得b=-,c=|-4«,Xx</(x)<-(x2+4)对

一切实数x均成立，则ax?+(b-l)x+c20,

(a--)x2+bx+(c-1)40对一切实数x均成立，易知aw工,故a>0,3-Ip—4acV0,

44

]1133313

a一一<0,〃_4(a--)(c-l)<0,而b=—,c=二一4a得a=3,/(x)=+-％+巳，

4442161644

八4)=彳19

4

6.由题设得/+/+=0,1,2,当/+/+=0,时，"=6=。=。,此时(-2)"+(—2)”+(—2)，=3；

〃+/+。6=1,a"、c•中有一个1或-1,两个0,此时(—2)“+(—2)〃+(—2)0=0或二；当。2+/+,6=2

2

时，a.从c中有一个是0,另两个取1或-1,当a=0,b=c=l时，(一2)〃+(-2)’+(-2)。=—3；当

3

a=0/=c=—l时，(―2)"+(—2)〃+(—2)'=0；当a=0/=l,c=-I时，(-2)°+(-2/+(-2/=--；

2

故(一2)"+(-2)"+(-2)『=±3或0或±±

2

7.如图所示，设△ABC的重心为点G,CF=3x,延长GF到P,使得FP=GF,则四边形APBG为平行四边

形，且;SAPBG=SAABG==A，^SAPBG=SAAPG=J(S-4)(S-g)(S-p)其中g、p为AGP的边

长，且2s=Q+〃+g由已知条件得a=PG=2x,g=AP=4,

p=AG=2,S=x+3代入得J(x+3)(3—x)(尤一l)(x+1)=疥,x=l或"，故CF=6或3"

8.81种；

9.注意到M=a2—4"+Ub2+2a-5O+3=(a—2b+l)2+(2—i)2+J.>o,M为整数，故M最小值为

4222

1,即有(2a-+2)2+屹-2>=2,b为整数，则(b-2)2为完全平方数，故(2a-4b+2>=1,3-2)2=1

1Q

或(2a—46+2)2=2,S—2)2=0解方程组，且满足仅有a=-,b=\,a1-b1=--

24

10.分母为22的既约真分数为」其中i=l,3,5....21,由题设各大，十个互不相等的有理数q,4…•…4)，

每一次取九个的和S-q(i=l,2...10),应为上面十个既约真分数中的一个，故

“13321105

9S——+—+—+....—=5,S=—

222222229

[2

11.由面积公式得：一Z?csinA=幺，即初csinAu。？，由余弦定理得：2bccosA=b2+c2-a2

26

机、

所以2+£=忙土£1=3sin.+2bccosA=3sin4+2cosA=屈sin(A+6),故最大值为旧

cbhebe

12.如图，延长BA、CD相交于点0,若0A=mOD=6,——=t2,t>0,因为AD||BC,所