2023年浙江省诸暨市高考考前提分数学仿真卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.费马素数是法国大数学家费马命名的，形如2*+l(neN)的素数(如：2”+1=3)为费马索数，在不超过30的正偶

数中随机选取一数，则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是()

2141

A.—B・—C.—D.一

155153

2,阿基米德(公元前287年一公元前212年)是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称

为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并

且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一

个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54〃的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为()

3.已知函数f(x)=2sin(5-?(A>0,o>0),将函数/(*)的图象向左平移？个单位长度，得到函数g(x)的图象，若

函数g(x)的图象的一条对称轴是X=31T,则。的最小值为

6

1255

A.-B.-C・-D.一

6336

4.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，

有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献.这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.某中学

拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝

时期专著的概率为()

A.-B.—C.—D.—

510510

5.设a=log73,b=bg",c=3。，，则a,b,c的大小关系是（）

3

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.b<a<c

6.如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是()

100

1

7.设集合U=R(R为实数集)，A={X\X>0}9B={X\X>1}9则40。泮=()

A.1%|0<x<l}B.{x|O<x<l}C.{x|x>l}D.{x|x>0}

8.已知等差数列{4}的前〃项和为S〃，且S25=50,则知+阳=()

A.4B.8C.16D.2

9.已知命题〃：VxeR,%2-x+l<0;命题4：3XGR,X2>2V,则下列命题中为真命题的是()

A.p^qB.-p^qC.PAfD.

10.已知函数/(无)=lnx+ln(3-x),贝(j()

A.函数/(x)在(0,3)上单调递增B.函数fix)在(0,3)上单调递减

3D.函数/")图像关于90)对称

C.函数/(x)图像关于工=:对称

2

2,

x-x,x<a

11.已知函数/(%)=<(a>0),若函数g(x)=/(x)-4W有三个零点，则4的取值范围是

5-x,x>a

B.(0,1)U[5,+a))

A.(0,l)U[5,+8)

D.(1,5]

C.(1,5]

12.已知棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为()

A.2V2B.2GC.4D.2n

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

22

13.已知双曲线二-口=1(。>。>0)的左右焦点分别关于两渐近线对称点重合，则双曲线的离心率为

矿b~

14.已知集合A=｛-1,0,2｝,8=｛HX=2〃-1,z?eZ1,则4口8=.

15.设函数/(x)(xeR)满足/(一%)=/0),/。)=/(2-外,且当》40,1]时/(%)=>?,又函数8色)=|%以双公:)|,

13

则函数〃(幻=g(x)-/(x)在「不力上的零点个数为__________.

22

16.在长方体ABC。-4月G9中，AB=1,AD=2,M=1,£为8C的中点，则点A到平面AQE的距离是

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，在四棱锥P—A3CD中底面ABCD是菱形，N&M>=60。，△»[£>是边长为2的正三角形,

FC=VW,E为线段AD的中点.

(1)求证：平面PBC_L平面P3E；

(2)是否存在满足所=丸记(4>0)的点/，使得力_小£=1%,律？若存在，求出4的值；若不存在，请说明理

由.

18.(12分)已知等差数列｛a,,｝的各项均为正数，S“为等差数列｛斯｝的前〃项和，4=1,a4-«3=H.

(1)求数列｛斯｝的通项。“；

(2)设瓦=加3",求数列｛瓦｝的前"项和7,,.

19.(12分)在△A6C中，角A8,C的对边分别为且csinB=bsin(5-C)+&.

(1)求角。的大小；

(2)若c=近,。+/?=3,求A3边上的高.

20.(12分)设函数/(x)=lnx-a(五-1).

(1)若函数y=/(x)在(1，m)是单调递减的函数，求实数4的取值范围;

(2)若拉〉m>0,证明:2+Inz?<2J—blnm.

Vm

-Ia1

如(12分)已知矩阵M”43匹R)不存在逆矩阵,且非零特低值对应的一个特征向量〃==］，求。，匕的值•

22.(10分)2019年是中华人民共和国成立70周年.为了让人民了解建国70周年的风雨历程，某地的民调机构随机

选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：［20,30),［30,40),…，［70,80］,并绘制了如图所示的

频率分布直方图.

，餐率阳皿

0.035-

0.030

0.025-

0.020•

0.0IS-

0.010-

0.005-

年好料

(D现从年龄在［20,30),［30,40),［40,50)内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机选取3人进

行座谈，用X表示年龄在［30,40))内的人数，求X的分布列和数学期望;

(2)若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有Z名市民的年龄在［30,50)

的概率为P(X=Z:)(%=0,l,2,i,20).当P(X=k)最大时，求人的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

基本事件总数〃=15,能表示为两个不同费马素数的和只有8=3+5,20=3+17,22=5+17,共有3个，根据古

典概型求出概率.

【详解】

在不超过3()的正偶数中随机选取一数，基本事件总数”=15

能表示为两个不同费马素数的和的只有8=3+5,20=3+17,22=5+17,共有3个

31

则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是P=-

本题正确选项：B

【点睛】

本题考查概率的求法，考查列举法解决古典概型问题，是基础题.

2.C

【解析】

设球的半径为R,根据组合体的关系，圆柱的表面积为S=2万*+2兀Rx27?=54万，解得球的半径R=3,再

代入球的体积公式求解.

【详解】

设球的半径为R,

根据题意圆柱的表面积为S=2兀R2+2万斤x2万=54万，

解得R=3,

44

所以该球的体积为厂=一万〃=一x万x33=36%.

33

故选：C

【点睛】

本题主要考查组合体的表面积和体积，还考查了对数学史了解，属于基础题.

3.C

【解析】

将函数/(x)的图象向左平移g个单位长度，得到函数g(x)=2sin(ox+号-1)的图象，因为函数g(X)的图象的一条

对称轴是彳=工，所以sin(3+W-W)=±l,即•+==+所以@=3+2Z,keZ,又。＞0,所以

663363323

切的最小值为故选c.

3

4.D

【解析】

利用列举法，从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有10种情况，所选2部专著中至

少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有9种情况，由古典概型概率公式可得结果.

【详解】

《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝

时期.记这5部专著分别为a,b,c,d,e,其中a,6,c产生于汉、魏、晋、南北朝时期.从这5部专著中选择2部作为“数

学文化”校本课程学习内容，基本事■件有ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共10种情况，所选2部专著中至少有一部

是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有加,ae,bc,M,0e,cd,ce,,共9种情况，所以所选2部专著中至

少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为2=—=5.故选D.

【点睛】

本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的

关键，基本事件的探求方法有（1）枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；（2）树状图法：适合于较

为复杂的问题中的基本事件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先（A，BJ,（A，鸟）….（A，纥），

再（4,耳），（4，与）…（&纥）依次（怎4）（怎为）….（人,纥）…这样才能避免多写、漏写现象的发生.

5.D

【解析】

l>a=log73>0,"="gl7<°,C=3<”>1得解.

3

【详解】

l>a=log73>0,"=】og|7<0,0=3。7>1,所以匕<。<。，故选D

3

【点睛】

比较不同数的大小，找中间量作比较是一种常见的方法.

6.C

【解析】

根据三视图作出几何体的直观图，结合三视图的数据可求得几何体的体积.

【详解】

根据三视图还原几何体的直观图如下图所示：

由图可知，该几何体是在棱长为1的正方体ABC。-A4GA中截去四棱锥用-ABC。所形成的几何体,

17

该几何体的体积为v=r一彳x『*1=

33

故选：C.

【点睛】

本题考查利用三视图计算几何体的体积，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.

7.A

【解析】

根据集合交集与补集运算，即可求得AnC(.B.

【详解】

集合。=R,A={x|x>0},3={x|x»l}

所以G，8={x|x<l}

所以AcQ8={x|x〉0}c{x|x<l}=1x|O<x<l|

故选:A

【点睛】

本题考查了集合交集与补集的混合运算,属于基础题.

8.A

【解析】

利用等差的求和公式和等差数列的性质即可求得.

【详解】

_25(6+45)

»25―Z=50=>q+Q25=4%=4.

2

故选:A.

【点睛】

本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质，考查基本量的计算，难度容易.

9.B

【解析】

根据/<0,可知命题，的真假，然后对X取值，可得命题g的真假，最后根据真值表，可得结果.

【详解】

对命题P：

可知A=(-l)2-4<0,

所以VxeR,x2-x+l>0

故命题P为假命题

命题q：

取x=3,可知32>23

所以*eR,X2>2X

故命题q为真命题

所以力八夕为真命题

故选：B

【点睛】

本题主要考查对命题真假的判断以及真值表的应用，识记真值表，属基础题.

10.C

【解析】

3

依题意可得/(3-幻=/(幻，即函数图像关于％=二对称，再求出函数的导函数，即可判断函数的单调性;

【详解】

解：由/(3-x)=ln(3-x)+ln[3-(3-x)]=ln(3-x)+lnx=f(x),

3

.-./(3-x)=/(x),所以函数图像关于x对称，

又r(x)='一；=：'―：、，在(0,3)上不单调.

x3-xx(x-3)'

故正确的只有C,

故选：C

【点睛】

本题考查函数的对称性的判定，利用导数判断函数的单调性，属于基础题.

11.A

【解析】

分段求解函数零点，数形结合，分类讨论即可求得结果.

【详解】

作出y=/-x和y=5-x,>=4国的图像如下所示:

函数g(x)=/(%)-4国有三个零点，

等价于V="X)与N=4国有三个交点，

又因为。>0,且由图可知，

当尤W0时y=/(x)与y=4国有两个交点A,O,

故只需当x>0时，y=/(x)与y=*|有一个交点即可.

若当x〉0时，

ae(0,1)时，显然口=□(口)与1=4间有一个交点口，故满足题意；

a=l时，显然=(L)与=4旧|没有交点，故不满足题意；

ae(l,5)时，显然=)(□)与=4]|也没有交点，故不满足题意；

ae[5,+8)时，显然y=〃x)与>=可X有一个交点C，故满足题意.

综上所述，要满足题意，只需ae(0,l)U[5,+oo).

故选：A.

【点睛】

本题考查由函数零点的个数求参数范围，属中档题.

12.B

【解析】

由三视图可知，该三棱锥如图，其中底面ABC是等腰直角三角形，PC平面ABC,结合三视图求出每个面的面积即

可.

【详解】

由三视图可知，该三棱锥如图所示：

其中底面A8C是等腰直角三角形，尸平面ABC,

由三视图知，PC=2,AB=272,

因为PC，5cpe_LAC,AC=8C,AC_LC8,

所以AC=BC=2,PA=P8=A5=272,

所以S“AC=SAPCS=SA4CB=gx2x2=2,

因为AE46为等边三角形，

所以SMAB=曰Al=乎X(2立『=2百'

所以该三棱锥的四个面中，最大面积为2K.

故选：B

【点睛】

本题考查三视图还原几何体并求其面积；考查空间想象能力和运算求解能力;三视图正确还原几何体是求解本题的关

键;属于中档题、常考题型.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.V2

【解析】

22

双曲线二-马=1(。＞0力＞0)的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，可得一条渐近线的斜率为1,即。=。，

即可求出双曲线的离心率.

【详解】

22

解：•••双曲线二-3=13＞0,"0)的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，

a~b

・•・一条渐近线的斜率为1,即

c=\f2a».'.e——=-\/2,

a

故答案为：、历.

【点睛】

本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，确定一条渐近线的斜率为1是关键，属于基础题.

14.{-1}

【解析】

由3={x|x=2〃—1,〃ez}可得集合B是奇数集，由此可以得出结果.

【详解】

解：因为8={x|x=2〃-l,〃ez}

所以集合8中的元素为奇数，

所以An8={-1}.

【点睛】

本题考查了集合的交集，解析出集合B中元素的性质是本题解题的关键.

15.1

【解析】

113

判断函数/(x)为偶函数，周期为2,判断g(x)为偶函数，计算/(0)=0,/(1)=1,g(0)=g(-)=g(--)=g(p=0,

画出函数图像，根据图像到答案.

【详解】

/(—x)=f(x)知，函数f(x)为偶函数，f(x)=f(2-x),函数关于X=1对称。

/(x)=/(2—x)=/(x—2),故函数/*)为周期为2的周期函数，且/(0)=0J⑴=1。

g(x)=|xcos(万x)|为偶函数，g(0)==°，g⑴=1，

当0,—时，g(x)=XCOS(TTX),g'(x)=cos(7rx)-〃xsin(»x),函数先增后减。

(13]

当时，g(x)=rc°sgo，g*(x)=^xsin(^x)-cos(^x),函数先增后减。

在同一坐标系下作出两函数在[-上当上的图像，发现在[-上当内图像共有1个公共点,

2222

13

则函数力(幻在一个F上的零点个数为1.

22

故答案为：6.

本题考查了函数零点问题，确定函数的奇偶性，对称性，周期性，画出函数图像是解题的关键.

16A

10.------

3

【解析】

利用等体积法求解点到平面的距离

【详解】

由题在长方体中，匕_A°£=；xgx2xlxl=；,

22

A]D=^5,DE=>/2,EAi=ylA]A+AE=^.

所以+,所以。

SAA,DE=《X应X6=半

设点A到平面AQE的距离为〃

V..DC=—x^-xh=—>解得

A”3233

故答案为：旦

3

【点睛】

此题考查求点到平面的距离，通过在三棱锥中利用等体积法求解，关键在于合理变换三棱锥的顶点.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)证明见解析；(2)2.

【解析】

(1)利用面面垂直的判定定理证明即可；

/3

(2)由PF-AFC，知(X+l)FC—PC9所以可得出V[)_PFB—Vp_BDC—Vp_BDC=^F-BCD'因此,B-PAE~^D-PFB

的充要条件是2里=四，继而得出4的值.

24

【详解】

解：(1)证明：因为△Q4O是正三角形，E为线段的中点，

所以P£J_AT>.

因为ABC。是菱形，所以AD=A3.

因为NBAD=60。，

所以△/WO是正三角形，

所以3E_LA£>,而BEcPE=E,

所以ADJ_平面PBE.

又ADUBC,

所以8CL平面「8E.

因为BCu平面PBC,

所以平面P8C,平面P3E.

(2)由方=尤正，知(2+l)bC=PC.

所以，VR-PAE=QVP-ADB=5Vp-BCO=-2"F-BCD,

VD-PFB=Vp_BDC-VF-BDC=^F-BCD・

因此，匕.E=:%"FB的充要条件是_=¥，

所以，A=2.

即存在满足而=九而(/i>0)的点/，使得/JA£=1%_PFB，此时4=2.

【点睛】

本题主要考查平面与平面垂直的判定、三棱锥的体积等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力

和创新意识；考查化归与转化、函数与方程等数学思想，属于难题.

18.(1)—一/；!,neN*.(2)T=n-3"

n

【解析】

(1)先设等差数列｛”“｝的公差为d(d>0),然后根据等差数列的通项公式及已知条件可列出关于d的方程，解出d的

值，即可得到数列｛4,｝的通项即；

(2)先根据第(1)题的结果计算出数列｛瓦｝的通项公式，然后运用错位相减法计算前"项和T“.

【详解】

(1)由题意，设等差数列｛©｝的公差为d(d>0),则

O4as=(l+3d)(l+4d)=11,

整理，得12/+7d-10=0,

52

解得d=-二(舍去)，或d=7，

43

2、2〃+1

・・。”=1+—(z71-1)=--------,〃WN*・

33

2Az+1

(2)由(1)知，b„=a„-3n=——・3"=(2n+l)•3,rl,

3

Tn=b\+bi+by^...+bn=3xl+5x3*+7x32+...+(2n+l)*3"1>

.•.3T„=3X3,+5X32+...+(2M-1)•3nl+(2n+l)・3",

两式相减，可得：

-2T„=3xl+2x31+2x32+...+2»3«'1-(2n+l)・3”

=3+2x(3,+32+...+3n-1)-(2"+l)・3"

3-3n

=3+2x-----------(2n+l)・3”

1-3

=-2n*3n,

9H

:.TH=n3.

【点睛】

本题主要考查等差数列基本量的计算，以及运用错位相减法计算前〃项和.考查了转化与化归思想，方程思想，错位相

减法的运用，以及逻辑思维能力和数学运算能力.属于中档题.

19.(1)—；(2)叵

37

【解析】

(D利用正弦定理将边化成角，可得sinC=sin(4—C)+J^,展开并整理可得sin(C—^)=1,从而可求出角C；

36

(2)由余弦定理得c?="+。2一2"cosC,进而可得(。+人)2=7,由。+。=3,可求出次?的值，设A5边上的

高为〃，可得AABC的面积为』MsinC=』M,从而可求出入.

22

【详解】

(1)由题意，由正弦定理得sinCsinB=sinBsin(二一C)+gsin3.

3

因为3e(0,兀)，所以sinB>0,所以sinC=sin(二-0+6,展开得sinC=^cosC_」sinC+6,整理得

322

兀

sin(C--)=l.

因为0<°<兀，所以—?<c—£<称，故0一5=1,即。==.

666623

(2)由余弦定理得片=片+从一切元osC,贝!1。2+〃+"。=7,得(。+。)2-。/?=7,故〃。=3+。)2-7=9-7=2,

故的面积为,absinC=sin-

232

设AB边上的高为〃，有近3,故〃=且，

227

所以A3边上的高为叵.

7

【点睛】

本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形的面积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档

题.

20.(1)a>2(2)证明见解析

【解析】

(1)求出导函数/'(x),由/'(x)WO在(l,y)上恒成立，采用分离参数法求解;

(2)观察函数/(x),不等式凑配后知，利用a=2时可证结论.

【详解】

(1)因为y=/(x)在(1,讨)上单调递减，

ja2

所以/(*)=彳-即a2不在上恒成立

22

因为y=一尸在。，位)上是单调递减的，所以一尸£(0,2),所以。22

yJX7X

n

(2)因为〃>m>0,所以一>1

m

由(1)知，当。=2时，y=/(x)在(1,内)上单调递减

所以/</0)

77回-]<0

即In——2

mm,

所以2+ln〃<2.—+Inm.

Vm

【点睛】

本题考查用导数研究函数的单调性，考查用导数证明不等式.解题关键是把不等式与函数的结论联系起来，利用函数

的特例得出不等式的证明.

a=4

21.〈

h=-l

【解析】

由M不存在逆矩阵，可得ab=T,再利用特征多项式求出特征值3,0,Ma=3d，利用矩阵乘法运算即可.

【详解】

因为“不存在逆矩阵，det(M)=]：=0,所以。匕=一1.

b4

2+1—CL,o

矩阵”的特征多项式为/⑷=42_4=2-32-4^=r-3.(

令/(/1)=0,则4=3或4=0,

所以"£=3二,即八4]=

—1+。=3a=4

所以《"4=3’所以

b=—1

【点睛】

本题考查