2023年甘肃省定西市高考数学模拟试卷（理科）（含解析）

2023年甘肃省定西市高考数学模拟试卷(理科)

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.1知全集U=R,集合4={x|lWxR4},B={x|log2x<1},则4n(QB)=()

A.(0,1)B.(2,4]C.[1,4]D.(0,4]

2.若复数z满足(l—i)z=(2+i)2,则』=()

A17.D1.7.「17.T-X1

A.----iB.--+-1C.---iD.-H

3.某年级组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该

年级共有600名同学，每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中

一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加合唱社团的

同学有75名，参加脱口秀社团的有125名，则该年级()

A.参加社团的同学的总人数为600

B.参加舞蹈社团的人数占五个社团总人数的15%

C.参加朗诵社团的人数比参加太极拳社团的多120人

D.从参加社团的同学中任选一名，其参加舞蹈或者脱口秀社团的概率为0.35

4.已知角a的顶点是坐标原点，始边是x轴正半轴，终边过点贝!Js讥2a=()

D.1

6.已知/'(x)是定义在R上的奇函数，/(尤+3)+/(3-乃=0,且当一3<x<0时，/(%)=

2T+2,则/"(2023)=()

A.8B.—2C.0D.—8

7.新能源汽车具有零排放、噪声小、能源利用率高等特点，近年来备受青睐.某新能源汽车

制造企业为调查其旗下4型号新能源汽车的耗电量(单位：kW•h/lOOkzn)情况，随机调查得

到了1500个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量f〜N(15e2)g>0),若样本中耗电量

不小于16k〃­/i/100/cni的汽车大约有600辆，则P(14<f<16)=()

A.0.2B,0.3C.0.4D.0.6

8.已知椭圆C：曰+[=1的左、右焦点分别为Fi，F2,4是C上一点，8(2,1),则|4B|+\AFr\

的最大值为()

A.7B.8C.9D.11

9.若三角形三边长分别为a,b,c,则三角形的面积为S=Jp(p-a)(p—b)(p-c),其中

p=午£,这个公式被称为海伦一秦九韶公式.已知AABC中，角4,B,C的对边分别为a,b,

则△面积的最大值为()

c,s一inB整+siunC=J5a=6,ABC

A.8B.12C.16D.20

10.将函数/(x)=sinxcosx+的图象向右平移w个单位长度，可得函数y=

cos(2x+g)+?的图象，则3的最小正值为()

A.B.vC.\D.g

63b3

11.已知双曲线C：弓一马=l(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±，&，左、右焦点分别

Qb

为6,尸2,过点尸2且斜率为C的直线，交双曲线的右支于M，N两点，若AMNF1的周长为36,

则双曲线C的方程为()

A.《Y=1B.5—哈=1C.1Y=1D./Y=l

5o5104oL

12.已知a=e°，3,6=*c=ln(0.3e2),则a,b,c的大小关系为()

A.a>c>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.己知函数/(x)的图象在(i,f(i))处的切线与直线x+ay-1=o垂直，则实数

14.若(Q+a)6(a40)的展开式中x的系数与式的系数相等，则实数。=.

15.已知向量益=(1,3),b=(4,-1).若向量记〃五，且记与方的夹角为钝角，写出一个满足

条件的沅的坐标为.

16.如图，四棱锥P-4BC0中，PA1平面4BC0,底面4BCD是P

矩形，AB=3,AD=PA=4,E是棱BC上一点，则当截面PDE的

周长最短时，PE与所成角的余弦值等于.

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题12.0分）

已知数列｛斯｝满足的=1，fln+1~an=2n（neN*）.

（1）求数列｛aj的通项公式；

（2）设匕=nan,求数列｛bn｝的前n项和Sn.

18.（本小题12.0分）

2023年春节期间，科幻电影•浪地球2》上映，获得较好的评价，也取得了很好的票房成

绩.某平台为了解观众对该影片的评价情况（评价结果仅有“好评”“差评”），从平台所有参

与评价的观众中随机抽取200人进行调查，数据如下表所示（单位：人）:

好评差评合计

男性8030110

女性306090

合计11090200

（1）判断是否有99.9%的把握认为对该部影片的评价与性别有关？

（2）若将频率视为概率，从所有给出“差评”的观众中随机抽取3人，用随机变量X表示被抽到

的男性观众的人数，求X的分布列和数学期望.

2

参考公式”=砌瑞热e，其中?1=a+b+c+d.

参考数据:

(K2>fco)0.100.050.0250.0100.0050.001

2.7063.8415.0246.6357.87910.828

19.（本小题12.0分）

如图，在四棱锥P-4BC0中，底面4BCD是边长为2的菱形，4BAD=60°,4c与BD交于点。,

OP，底面ABC。，OP=C，点E，F分别是棱24，P8的中点，连接OE,OF,EF.

(1)求证：平面OEF〃平面PCD；

(2)求二面角P-EF-。的正弦值.

20.(本小题12.0分)

己知点M到点F(0,|)的距离比它到直线八y=-2的距离小：，记动点”的轨迹为E.

(1)求E的方程；

(2)若过点尸的直线交E于A(xi，yj,BQ?,%)两点，则在x轴的正半轴上是否存在点P，使得P4

PB分别交E于另外两点C,D,且同=3而？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明

理由.

21.(本小题12.0分)

已知函数f(%)=a/n(l+x)+-x2-x(aGR).

(1)若a=l,求函数f(%)的单调区间；

(2)若函数f(x)有两个极值点与，x2,且/<%2,求证：/(x2)>y.

22.(本小题10.0分)

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为｛；二算;甯'(a为参数).以坐标原点为极点,

x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2的极坐标方程为9=g(PeR).

(1)求曲线C的极坐标方程；

(2)若直线I与曲线C交于M,N两点，求+

23.(本小题12.0分)

已知/(%)=|x-2|4-|x4-4|.

(1)求不等式f(%)>8的解集；

(2)若f(%)的最小值为3且实数a,b,c满足a(b+c)=t,求证：2a24-h2+c2>12.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：由log?%<1=>0<X<2,

所以A={x|l<x<4},B={x|0<x<2},CyB={x\x<0或x>2},

所以4n(QB)={x|2<x<4},

故选：B.

根据对数函数的单调性可化简B,根据集合的交并补运算即可求解.

本题主要考查了集合交并补集运算，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：由(1_i)z=(2+i)2得z=的=(；+4?，1+?=_'+白,

1—1(1—l)(l+l)22

所以z=—1I.

故选：A.

根据复数的除法运算化简复数，即可由共辗复数的概念求解.

本题主要考查复数的四则运算，以及共规复数的定义，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：对于4参加社团的同学的总人数为75-15%=500,故A错误；

对于8,因为参加社团的同学的总人数为500人，参加脱口秀社团的有125名，

所以参加脱口秀社团的人数占五个社团总人数的百分比为蟋X100%=25%,

所以参加舞蹈社团的人数占五个社团总人数的百分比为1-(35%+15%+15%+25%)=10%,

故B错误；

对于C,参加朗诵社团的人数比参加太极拳社团的多(35%-15%)x500=75人，故C错误；

对于D,从参加社团的同学中任选一名，其参加舞蹈或者脱口秀社团的概率为10%+25%=

35%=0.35,故。正确.

故选：D.

根据统计图表中的信息逐个判断各个选项即可.

本题主要考查了统计图表的应用，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：•••角a的顶点是坐标原点，始边是x轴正半轴，终边过点(一2,1),二工二一？，y=l,

V=\0P\=y/~~5f

.y1yTSx-22<5..4

/.sina=-=-==-cosa=-=-==-»-'­sinoZa=nZsinacosa=—7,

rV55rV555

故选：A.

利用任意角的三角函数的定义求得sina、COSQ的值，再利用二倍角的正弦公式求得sin2a的值.

本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式的应用，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：由题意可知，几何体是三棱锥，底面是等腰三角形，一条侧棱垂直等腰三角形的顶

点，

所以几何体的体积为：|x|x2ax2x1=2,解得a=3.

故选:B.

判断几何体的形状，利用三视图的数据，通过几何体的体积，转化求解即可.

本题考查三视图求解几何体的体积的应用，判断几何体的形状是解题的关健，是基础题.

6.【答案】D

【解析】解：因为函数f(x)满足/(x+3)+f(3-x)=0,可得f(%)+f(6—x)=0,

又因为函数/'(x)为奇函数，所以/'(X)+/(-x)=0,

所以f(6-%)=-/(x)=/(-%),即f(x+6)=/(X),

所以函数/(X)是周期为6的周期函数，

因为当-3<x<0时，/(为=2-"2,且函数为奇函数，

可得;'(2023)=/(337X6+1)=/(I)=-/(-I)=-23=-8.

故选：D.

根据题意推得f(x+6)=/(x),得到函数f(x)是周期为6的周期函数，结合题设条件和函数的周期

性，得到f(2023)=f⑴=—/(—1),代入即可求解.

本题主要考查了函数的奇偶性及周期性在函数求值中的应用，属于基础题.

7.【答案】A

【解析】解：样本中耗电量不小于•h/100km的汽车大约有600辆，

则P&216)=毁=0.4,

该型号新能源汽车的耗电量§〜N(15,M)9>0)，

则P(14<f<16)=2[i-P(^>16)]=0.2.

故选：A.

根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，即可求解.

本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题.

8.【答案】A

【解析】解：由椭圆C：9+9=1，可得。2=9,62=5,

■.a=3,c=y/a2-b2=<1^5=2.•••右焦点分别为尸2(2,0),

\AFr\+\AF2\=2a=6,二=6-\AF2\,

\AB\+\AFy\=\AB\+6-\AF2\<6+\BF2\=6+1=7,

当且仅当B,A,尸2在同一直线上，且尸2在4B之间时取等号，

\AB\+|40|的最大值为7.

故选:A.

利用|4B|+|4尺|=\AB\+6-\AF2\,可求|AB|+M&|的最大值.

本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，属中档题.

9.【答案】B

【解析】解：在△ABC中，因为.曾.1］，所以搭=：，又a=6,所以b+c=10,

sinB+stnC5b+c5

可得p=1(a4-b+c)=641。=8,月.p—a=8—6,

故^ABC的面积S=J8(8-6)(8-b)(8-c)=J16(8一b)(8-c)=J16x(8-^8~c)2=12,

当且仅当8-b=8-c,即b=c=5时取等号，

故^ABC面积的最大值为12.

故选：B.

根据海伦-秦九韶公式化简得S=716(8-6)(8-c),再利用基本不等式求最值.

本题考查求三角形面积的最大值，考查基本不等式的应用，属中档题.

10.【答案】A

【解析】解：/(x)=sinxcosx+V_3cos2x=gsin2x+三(1+cos2x)=sin(2x+/)+三，

故图象向右平移W个单位长度得到f(x)=sin(2x+g-2尹)+?，

又y=cos(2x+/)+?=sin(2x+y)+?，

令1一2<p=:+2/CTT,keZ,解得,=一,—k&Z,

当k=-l时，/取得最小正值，最小正值为a=好

O

故选：A.

先利用三角恒等变换得到f(x)=sin(2x+g)+?，得到平移后的解析式，结合三角函数诱导公

式求出8=一合—kEZ,得到最小正值.

本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.

11.【答案】D

【解析】解：••・双曲线c：会马=1(。>0/>0)的渐近线方程为3;=±'2,

：・-=V-2,•••b2=2a2,•••c2=a2+b2=3a2,：.c=V-3a>

Q

・••双曲线c的方程可化为乌一n=1,

根据题意可设直线MN方程为y=C(x-7-3«)>

联立,:空。二?。)，可得一一6Cax+11a2=0,

(2x2-y2=2Q2

设NS，%)，

则％i+%2=6Ha,%i%2=11小，

2

\MN\=V14-k\xr-x2|=71+3J(%i+犯)2—4巧％2

=2V108a2—44a2=16a,

又根据双曲线的定义可得IMF/-IMF2I=2a,\NF1\-\NF2\=2a,

・・.IMF/+INF/-(|MF2|+D=4a,

/.\MFt\+|NF/-\MN\=4a,

•・.△MN&的周长为IMF/+\NF±\+\MN\=4Q+2\MN\=4a+32a=36,

•­a=1,:.b2=2Q2=2,

.•・双曲线C的方程为*2—1=1.

故选：D.

根据双曲线C：盘-，=l(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±V2，可得/=2a?,c=Ha，

再根据弦长公式及双曲线的定义，将△“可&的周长用a表示，从而可求出a,进而得b,从而得解.

本题考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，弦长公式的应用，方程思想，属中档题.

12.【答案】C

【解析】解：由题意得a=e03,b=1+0.3,c=ln(0.3e2)=24-)0.3,

可得b—Q=1+0.3—e0,3,

设f(%)=1+%—e”,%>0,可得f'(x)=1—ex<0,

所以/(%)单调递减，

则/(0.3)V/(0)=0,即b—a<0,

所以b<a：

又由c—b=2+Zn0.3—(1+0.3)=1+ln0.3—0.3,

设函数g(x)=1+"%-x,%e(04),可得"(%)=g-1=9,

当%G(0,1)时,g'(x)>0,g(%)单调递增,

所以g(0.3)Vg(l)=0,即c—bVO,所以cVb,

所以c<b<a.

故选：C.

化简a=e03,b=1+0.3,c=2+仇0.3,得到b—a=14-0.3—e0,3»c—b=1+ln03—0.3,

构造函数f(%)=1+%-ex,%>0和g(%)=1+Inx-%,x6(0,1),利用导数求得函数的单调性，

结合单调性，即可求解.

本题考查导数的综合运用，考查实数的大小比较，考查运算求解能力，属于中档题.

13.【答案】1

【解析】解：由/(x)=x2lnx^f'(x)=2xlnx+x,

所以尸(1)=1,

由于f(x)在(1,/(1))处的切线与直线x+ay-1=0垂直，

所以—：=—l=a=l.

故答案为：1.

求导，得切线的斜率，根据两直线垂直满足斜率相乘为-1即可求解.

本题主要考查导数及其几何意义，属于基础题.

14.【答案】±1

【解析】解：因为(、/V+a)6的展开式的通项公式为=C^(x^)6~rar=屋1\竽，

且x的系数与/的系数相等，

则a'C/=BRa4=a2,所以(^(a--1)=0,

且a*0,所以a=+1.

故答案为：±1.

根据题意，写出二项式展开式的通项公式，由条件列出方程，即可得到结果.

本题考查二项式定理相关知识，属于中档题.

15.【答案】(一1,一3)(答案不唯一)

【解析】解：根据题意，若向量沅〃落设沅=tW=(t,3t),

又由记与前夹角为钝角，则同而=牝-3t<0,必有t<o,

l-t丰12t

记的坐标可以为(一1,一3).

故答案为：(-1,—3)(答案不唯一).

根据题意，设钻=t^=(t,3t),由数量积的计算公式可得关于t的不等式，求出t的取值范围，举

出特殊值即可得答案.

本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的分析，属于基础题.

16.【答案】若

【解析】解：•••四边形ABC。是平行四边形,

乙ABC=90°,

.,•四边形ABC。是矩形，ABLAD,

vPA1平面4BC0,ADu平面ABC。,

PA1AD,ABC\PA=A,AB,PAu平面P4B,

ADJ_平面P4B,故8cl平面PAB,

：.BCLPA,将矩形力BCD沿BC旋转到与P8C在同一平面，如图1,

连接PD',此时PD'交BC于点E,PE+DE的最小值为PD',PB=VPA2+AB2=5.PD'=

VPA2+AD'2=V82+42=4-s/-5，

故PE+DE的最小值为4门，此时芸=募之£，

AUrb-rADO

过E作EF〃AB交4。于F,连接EF,PF,如图2,

由题意可得EF〃/IB,故NPEF为异面直线PE与所成的角,

又4B1P4AB1.AD,ADCtPA=A,PA,4。u平面4P0,

•••AB1平面APD,故£F1PAD,：•EF1PF,

又可得EF=AB=3,PF=VPA2+AF2

故答案为：臂.

矩形48CD沿BC旋转到与PBC在同一平面，PE+DE的最小值为PD,可得BE,过E作EF〃4B交4。

于F,连接EF,PF,4PEF为异面直线PE与48所成的角，求解即可.

本题主要考查了四棱锥的结构特征，考查了求异面直线所成的角，属于中档题.

n

17.【答案】解：⑴•••数列&｝满足的=1,an+1-an=2(nGN*),

a

CLn=Cl]+Q2—Ql+@3-02+,•'+Qn—n-l

1-2〃

1-2

=2n-l.

n

(2)bn=n-an=n-2—n,

••Sn=1,24~2,2?+3,2?+…+?!•2n—(1+2+3+…+兀)，(T)

n+1

2Sn=1•22+2・23+3•24+…+九•2-2(1+2+3+…+九),②

①-②,得：

23nn+1

-Sn=2+2+2+-+2-n-2+(1+2+3+•••+n)

：2(1-2")2n+iin(n+l)

-1-22

=(l-n).2n+i-2+^^,

7^=(n-1)-2n+1-也井+2.

n

【解析】(1)由%=1,an+1-an=2(n6N*),利用累加法能求出数列｛an｝的通项公式.

n

(2)由勾=n-an=n-2-nf利用错位相减法能求出数列｛b｝的前n项和Sn.

本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前九项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注

意累加法和错位相减法的合理运用.

2

18.【答案】解：(1)由二联表可得R2=200(80X60-30X30)一

110x90x110x90

所以有99.9%的把握认为对该部影片的评价与性别有关.

(2)所有给出“差评”的观众中随机抽取一名男观众的概率为券=：,随机抽取一名女观众的概率

为|,

X表示被抽到的男性观众的人数，则X〜8(3,今，

P(x=k)=C疆)k(|)3-k,k=0,1,2,3,

所以X的分布列为：

X0123

8421

P

279927

数学期望为E(X)=3x^=1.

【解析】(1)根据K2的计算公式计算，即可与临界值比较求解;

(2)根据二项分布的概率公式计算概率，即可求解.

本题考查独立性检验原理的应用，离散型随机变量的分布列与期望的求解，属中档题.

19.【答案】证明：⑴由于点E,尸分别是棱PA,PB的中点,

EF//AB,AB//CD,

EF//CD,

•：CDu平面PCD,EF仁平面PCD,

EF〃平面PCD,

又。是8。的中点，

•••FO//PD,

■：PDu平面PCD,F0仁平面PCD,

F。〃平面PCD.

由于尸。nEF=尸，FO,EFu平面。EF,

所以平面OEF〃平面PCD.

解：（2）由于OP_L底面4BCD,底面为菱形,

：・OB,0C,0P两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，则

P(O,O,q),71(0,-0,0),C(0,q,0),8(1,0,0),E(0,—?,?)，尸弓,0,?)，

所以历=(0,—?,?)，标=弓,0,?)，而=(0,—?,-?)，两=G，o,-?),

设平面0EF和平面PEF的法向量分别为沅=(x,y,z),n=(a,b,c),

(沆•=一孕y+孕z=0

则<门>令y=l,得z=l,x=—即记=(―1,1),

(m-OF=ix+^z=0

(n-PE=-mb-孕c=0

[22，令c=l,得6=—1,a=y/~3,即元=(C,-1,1),

(n-PF=la-^-c=0

设二面角P-EF-。的平面角为。，

则|cos8|=|cos<记，—3—1+1।_3

元>1=繇=^XATS1=不

贝ijsin。=V1—cos20=

即二面角P-EF-。的正弦值为去

【解析】（1）利用面面平行的判定定理进行证明即可.

（2）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可.

本题主要考查面面平行的证明以及二面角的计算，利用面面平行的判定定理，建立坐标系，求出

平面法向量，利用向量法进行求解是解决本题的关键，是中档题.

20.【答案】解：(1)因为点M到点尸(0,|)的距离比它到直线y=—2的距离小;,

所以点M到点尸(0,|)的距离等于它到直线，：y=-|的距离，

则点M的轨迹为以F(0,|)为焦点，以y=-|为准线的抛物线，

则曲线E的方程为/=6y.

(2)设(?。3，妁)，P(&,0)(&>0)，

由荏=3而得：AB//CD,且|AB|=3|CC|,得对=3万，

即01-久0以)=3(右一沏,为)，所以%3="芋。，丫3=y­

代入抛物线方程炉=6y,得仔啜1)2=6乃=2%=争

整理得好—2x()x1—2XQ=0,同理可得好—2XQX2—2XQ=0

故%i，乃是方程是—2XQX—2XQ=0的两根，A=12XQ>0,

由韦达定理可得％i+犯=2X0,X1X2=—2%,①，

由题意，直线48的斜率一定存在，故设直线4B的方程为丫=1％+|,

与抛物线方程/=6y联立可得产-6/cx-9=0,

易得4>0,由韦达定理可得%1+g=6k,xrx2=—9②，

由①②可得沏=亨,k=殍，

故在x轴的正半轴上存在一点P(学,0)满足条件.

【解析】(1)根据点M到点F(0,|)的距离等于它到直线心y=-|的距离，结合抛物线的定义得出

抛物线E的标准方程;

(2)设C(%3，y3)，P(&，0)，由港=3正结合抛物线方程得出匕，尢2是方程/一2x()x-2诏=0的

两根，设直线4B的方程为y=kx+l，并与抛物线方程/=6y联立结合韦达定理得出点P坐标.

本题主要考查直线与圆锥曲线的综合，考查转化能力，属于难题.

21.【答案】解：(1)函数/(无)的定义域为(一1,+8),广(乃=亲+》一1=今卷.

①当a-120时，即a21时，/(x)>0,f(x)在(-1,+8)上单调递增；

②当0<aV1时，由f'(%)=0得%]=—V1—arx2=71—a,

故/(%)在厂上单调递增，在(-，■厂&WT=上单调递减，

在(V1—a,+8)上单调递增；

③当a=0时，原函数实质上为二次函数，则/(%)在(-1,1)上递减，在(1,+8)上递增.

④当a<0时，由/(%)=0得/=V1—%2=一弋1—a(舍)，

/(%)在(-LTRE)上单调递减，在(门^,