2023年普通高等学校招生全国统一考试·新高考仿真模拟卷数学(一)和答案详解

2023年普通高等学校招生全国统一考试•新高考仿真模拟卷数学(一)和答案

详细解析(题后)

一、单选题

1.已知集合力=卜|2"<4I,则4c月=()

A.(0,2)B.[1,2)C.[1,2]D.(0,1)

2.已知复数z满足z(l+i)=(z+l)(2i-l),则复数z的实部与虚部的和为()

3.(l-2x)(2+3x)s的展开式中，x的系数为()

A.154B.162C.176D.180

।cos2a=

4.已知1a加一工则疝2°_疝勿-()

_88_33

A.-3B.3C.-8D.8

5.何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造形浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国"为"中国”

一词的最早文字记载.何尊的形状可以近似地看作是圆台与圆柱的组合体，高约为40cm,上口直

径约为28cm,下端圆柱的直径约为18cm.经测量知圆柱的高约为24cm,则估计该何尊可以装酒

(不计何尊的厚度，403兀=1266,19447^6107)()

A.12750cm?B.12800cm?

C.l2850cm3D.12900cm?

6,已知/(x)是定义域为R的奇函数，满足/(x)=/(2-x),则“2022)()

A.2B.1C.-ID.0

7.在四棱锥尸-4次?。中，ABCD是边长为2的正方形，”=PD=何,平面P4。।平面/BCZ）,则

四棱锥P-48CZ）外接球的表面积为（）

A.4TTB.8n八J3.刎姆

C.9D.3

8.已知抛物线C：评=4x,0为坐标原点，4B是抛物线C上两点，记直线040B的斜率分别为

的，心，且A后=一±直线48与x轴的交点为P,直线。4。8与抛物线C的准线分别交于点M,

N,则^PMN的面积的最小值为（）

0石班班

A.~B.~C.~TD,丁

二、多选题

北

9.已知函数/"）=I28"必B+25«13-（刃＞0）的图像关于直线》=1对称，则3的取值可以为（）

A.2B.4C.6D.8

10.在菱形48co中，对?=2,乙。.48=60°,点/?为线段的中点，4c和月力交于点。，则（）

A.ACBD=OB.就•市=2

COE♦BA=-3D。月,=*

11.一袋中有3个红球，4个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中任取3个球，事件

A“这3个球都是红球"，事件B"这3个球中至少有1个红球“，事件C"这3个球中至多有1个红球”,

则下列判断错误的是（）

13

A.事件A发生的概率为5B.事件B发生的概率为飞

C.事件。发生的概率为aD.尸（4切一*

12.对于函数/（x）=x3+x2+cx+d（c.deR）,下列说法正确的是（）

A.若d=0,则函数f（x）为奇函数

B.函数有极值的充要条件是

C.若函数/（x）有两个极值点5,心，则、产片＞由

D.若c=d=-2,则过点（2,0）作曲线y=/（x）的切线有且仅有3条

三、填空题

13.已知样本数据-1,-I,2,2,3,若该样本的方差为s2,极差为t,则牛=.

14.已知圆O："+评=1与直线/:尸一［,写出一个半径为I,且与圆O及直线都相切的圆的方程:

(2V-

15.已知椭圆法十的左顶点为4左焦点为F,过F作x轴的垂线在x轴上方交椭圆

3

于点B,若直线48的斜率为1,则该椭圆的离心率为.

16.已知/(x)是偶函数，当於0时，〃x)=G+b殳(x+1),则满足的实数x的取值范围

是.

四、解答题

17.已知数列是等差数列，。1，。3，。2+%成等比数列，。5=6.

(1)求数列〔即｝的通项公式；

(2)设数歹让百分｝的前〃项和为S”，求证：2(n+2)S,,</»+1.

18.在A/BC中，内角4,B,。所对的边分别为Q,b,c,ccosB=flsin.4-仪:osC

⑴判断A的形状；

(2)若。=屏,。在BC边上，BD-2CD,求cos2/7)3的值.

19.如图，在直三棱柱力BC-4&G中，n、E分别是鹤的中点，AA^AC=2CB,4B邛CB.

(1)求证：8C/平面4CD；

(2)若8C-I,求四棱锥的体积；

⑶求直线BG与平面4"所成角的正弦值.

20.新高考模式下，数学试卷不分文理卷，学生想得高分比较困难.为了调动学生学习数学的积极性,

提高学生的学习成绩，张老师对自己的教学方法进行改革，经过一学期的教学实验，张老师所教的

30名学生，参加一次测试，数学学科成绩都在[50,100]内，按区间分组为150,60),[60,70),

[70,80),[80,90),[90,100],绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分(百分制)为优秀.

A频率

痂

0.03------------I―—

0.025--------------------------

0.01-----------

0.005------------------------------

0^5060708090100

(1)求这80名学生的平均成绩(同一区间的数据用该区间中点值作代表)；

(2)按优秀与非优秀用分层抽样方法随机抽取10名学生座谈，再在这10名学生中，选3名学生发言,

记优秀学生发言的人数为随机变量V,求Y的分布列和期望.

21.已知外，尸2分别为双曲线不一淳=1(心°">°)左、右焦点，尸(2瓦⑸在双曲线上，且

(1)求此双曲线的方程；

(2)若双曲线的虚轴端空分别为&(为在V轴正半轴上)，点在双曲线上，且

%彳="百7("WR),81±瓦瓦试求直线期的方程.

22.已知函数〃*)=心一0一1)铲—“+始+°+1,so

(1)当。=1时，求/(x)的单调区间；

(2)当时，求证：函数/(x)有3个零点.

答案详解

1.

图】B

【分犷】化简集合/和£即可得出4介8的取值范围.

【详解】解：由题意

在4-1工|2、<4｝,B-｛主|._[W1｝中,

八｛x\x<2｝,B=!.r|l<x<2；

；x|I<x<2!

故选：B.

2.

【答案】D

43

-十-

【分柠】根据复数的运算法则求出复数r=55则得到答案

【详辫】z(l+i)=z(2i-l)+(2i-1)

2-143

I(2i-I)(2+0-4+3i

「+

z(2-1)2i-I,2-2153

435--5-

-+5

故实部与虚部的和为5=-31

故选：D.

3.

【答案】C

【分析】根据二项式定理可求得(2+")5展开式通项，由此可确定丁|,乃，结合多项式乘法运算进行整理即可确定,.的系数.

【详解】•••(2+女)5展开式的通项公式为：77「G2，J(3N)'=2"3'C；V；

45

当=1时，r2=2x3C^.r=240.r；当，一0时，7,=2=32；

：•x的系数为240-2x32-240-64-176.

故选：C.

4.

【答案】A

【分析】利用二倍角公式化简为正、余弦的齐次分式，分式上下同除co4a,代入tana可得答案

cos2«一sinr

【详解】~~5；~~~~~

sirr〃-sin2rzsin%-2siivxcosrt

1tan'a8

~-------―—：---Y

larra-2ianaJ__Z

255

故选：A.

5.

【凌】C

【分析】根据圆柱和圆台的体积公式计算可得结果.

【详解】下端圆柱的体积为：24兀4-194471x6107513,

上端圆台的体积为：jx1(^(142+I4X9+92)-l^x403=-yx1266-6752cm3,

所以该何尊的体积估计为6107+6752-12859cm3.

因为12850最接近12859,

所以怙计该何尊可以装酒12850cm上

故选：C

6.

刖)D

【分析】根据函数/⑴是定义域为R的奇函数，且八.<)-/(2-X)得出函数/(x)是周期为例)周期函数，进而求解.

【详制因为函数/(.、)是定义域为R的奇函数，且/(.vL/(2-x),

所以/(2+.v)=/(-.r)--f(x),所以/(X+4)-/(X),

即函数/(x)是周期为4的周期函数，

因为函数/(x)是定义域为R的奇函数，所以/(0)=0,

因为/(x)=/(2-x),所以/⑵=/(0)=0,

又因为2022-4*505+2,所以/'(2022)-/(2)=0,

故选：D.

【竺案】C

【分析】将该四棱推的外接球放在一个长方体内，画出图形，利用已知条件找出球心，建立相应的关系式，求出外接球的半径，利用球

体表面积公式计算即可.

【详解】由题意将该四棱锥放在一个长方体的中，

如图①所示:

图①图②

取4。的中点〃，连接PH,连接优，8。交于仇,

由.40-PD-/lO>

则在等腰AP.4。中有：PH1AD,

又平面P/O±平面,且平面P4。C1平面,

则1平面.48C。，

又.4,-*4。-1,

所以在RIAP/，中，

/“一何2_加=何p=3，

由底面为正方形.48C。，

所以它的外接圆的圆心为对角线的交点外,

连接“附，则

A24。外接圆的回心为。予且在P4上，

过点。1，。2分别作平面48co与平面24。的垂线，

则两垂线必交于点O,点。即为四棱锥P-.，1*7）外接球的球心,

且。O|J■平面.48。。，

又PH±W^ABCD,即1^ABCD.

所以。QIIPH,

所以四边形。。附牲为矩形.

如图②连接则."）二23，

在tRAAO2H中，02H-PH-PO2-PH-.40^3-AOZ,

222

AH^HO3-l+（3-JO2）,

解得'

所以O2〃=3-gT，

所以

在图①中连接08,

由机,

所以在RIAOQ8中，

（）B=yjoO]+O^B2=）+（祖）=樽+2=>

即四棱推P-/8C。外接球的半径为ROB中.

所以四棱锥P-.480外接球的表面积为：

136,

S-4JTR，-47rx~n

故选：C.

8.

【统】D

【分析】设出人8的坐标，由8g解得。1的值，再分别求出点M点A的坐标，求得MN的式子，研究/恒过v轴上的定点可

得点尸的坐标，进而用方法1基本不等式或方法2函数思想求得三角形面积的最小值.

【详解】设,百必)，8仔,居)，贝此得，卷Y.

•如:!=景=

=

•­.»jv2-32,

,设¥=中，，令x1得:.=一寺,..M(-1,~T^)<

同理：N(-l,-赍)

44%一当k-.v,l

-MN--T；+T；p-i778^"

设/,伊：x^rny+t,

(x=/wv+Z

niy-1-0

y2=4.v:产-

△-"|2+,>0,»+.1旷4叫.vp?=-4/,

又•.)」2=-32,

-At32,解得：f=8,

."例：XL/HJ+B恒过点(8.0),

与'轴交点户的坐标为(8.0),即：P(8,0),

.1点阕准线「-1的距离为8+1=9.

:上子■=sK+部2『2位_用当且仅当卜卜碓时取等等

方法1：

MNx9=4率，

•c-1

*°APV/.V~2

."RMV的面积的最小值为3g.

2

方法2:“N-LI'J(.\+yj2_4、%-(J16w2-128-4R+8

•力】2?0.JN如一日当且仅当"?=0时取得最小值.

••""V的面积的最小值为些.

2

故选：D.

【答案】AD

【分析】首先将函数/(.V)化成一个三角函数，然后根据对称轴公式求得”的表达式，对整数A赋值求得结果.

【详解】，/、IN.(上万

J/(A*)-5cosro.v+-smrav-sm(cox+)

因为函数/(X)的图象关于直线L*对称，

所以京。十专一号+依，AeZ,解得“)=2+(求，

因为所以当A--0时，＜v=2；所以当A，=1时，co-8.

故选：AD.

10.

【第】ABD

【分析】以。为坐标原点可建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算依次验证各个选项即可.

【详解】••,四边形MCO为菱形，.3C±8。，

则以。为坐标原点，戌\(力正方向为「了轴，可建立如图所示平面直角坐标系，

■：AB=AD=2.4D48=60。，［8。=2,OA^OC^yJl2-I2=^3.

0(0,0),/1(—£,0)>8(0,-1),D(0,I)»fq；)'

对于A,---ACIBD.:.AC-Bb=0-A正确；

对于B,:踮=(收-1),4D=(瓦1),.•,君.力=3-1-2，B正确；

对.；0苫=(g1J>BA-{-^3,1)<OEBA--_C错误;

对于D，.••酒停』，荏=伴,)，•・①荏=2哼口正确

故选：ABD.

11.

【答案】ABC

【分析】根据题意求出基本事件总数.满足条件的基本事件数，利用古典概型概率公式及条件概率公式求解即可.

【详解】由题意7个球中任取3个球的基本事件总数为：C；=35

这3个球都是红球的基本事件数为：C^-l,

所以事件」发生的概率为：？(/)==，故A错误，

这3个球中至少有I个红球的基本事件数为：

C,"；+C；C+C；T8+12+1-31,

所以事件8发生的概率为：故B错误，

这3个球中至多有1个红球的基本事件数为：

C；・C；+C：=18+4=22,

事件C发生的概率为尸(。=嗡.故C错误，

因为P(48)-P(/)

1

所以由条件概率公式得：尸(.48)-与镖一零一1，

35

故D正确，

故选：ABC.

12.

【答案】BCD

【分析】对于A：利用奇偶性的定义直接判断；对于B：利用极值的计算方法直接求解；对于C:先求出「:斗表示出

rf+.q-等-哈c+$，即可求出；对于D:设切点(3,%),由导数的几何意义得到2卬-5.卬-4%+6-0.设

g(x)=2N-5x2-4x+6,利用导数判断出函板(x)有三个零点，即可求解.

【详解】对于A:当"-面，/(x)=*3+x2+c.淀义域为凡

因为/(-A)=(—x)5+(-x)2+c(-.r)=_x3+x2-cx于-/(.r),

所以函数/(X)不是奇函数.故A错误；

对于B:函数/(x)有极值o/(Q在R上不单调.

由/(工)=一十城+(,工♦〃求：/(、)=3x2+2t-C

f(x)在上不单调=f(x)在上有正有负oA_"4x3c>0oc.<g.

故B正确.

对于C：若函数/3有两个极值点”，叼，必满足A>0,即

"v=-2

此时丫।,x2为3.H-2x十cl()的两根，所以j'-(3.

卜声2=3

所以十对=(阳+*2产一2X［、2=g_多

所以中.寸=(中耳了一端中招一约2-2年=等一先十铃

_J6

丽ttc=-状-：，所以％v1时，中宁下—紧+9事(了一步《+$=看

即.vj+V>声.故C正确；

对于D:若c=4=-2时，/(.V)="+显-2》-2.

所以/(x)=3.v2+2r—2.

/0=卬+,@_加_2

设切点画，.%),则有：v-0,

|/(X。)=3x02+2%-2=彳n

消去”,整理得：2卬-5卬-4.5+6=0

不妨设M(x)=2T3-5W-4K+6,则X(X)-6A--IO.v-4.

令g(.v)>0,解得：、>2或「二7；令g(x)v0,解得：一，<工<2.

所以工)在(一8,-孑)，(2,十8)上单调递增，在上单调递减.

所知X)极大值=g(T)=2(7『-5(T)~-4(T)+6=6^>0，

g(x)极小值=g(2)=2x23-5x22-4x2+6=-6<0.

所以作出的图像如图所示：

因为函檄(X)有三个零点，所以方程2"3-5.vo2-45+6-0有三个根，所以过点(2,0)作曲线y=/(x)的切线有且仅有3条.

故D正确.

故选：BCD.

13.

刖】孟

【分析】根据极差的定义可得,-3-(-1)-4,先求出平均数，再从方差，从而可求写.

【详解】极差/=3-(-I)=4,平均数为(FT02-2-3=＞

故方差■-1[(-1-1)2+(-l-l)2+(2-l)2+(2-l)2+(3-l)2]=-y.

所以ET7.

7=丁=历

故答案为:需.

14.

2

【答案】*+(V-2)=1(答案不唯一)

【分析】根据圆的圆心和半径.结合直蜴口圆的位置关系及两个圆的位置关系计算即可.

【详解】设圆心C为由，％).由已知圆，'与直线/：L-1相切，圆。与圆。：小+.卢=1相切,

且已知半径为I.

所以圆的方程可以为：x2+(y-2)*1或Y+(”2)2=1或(X+2)2+J2=I

故答案为：/+(V-2)2=[(答案不唯一)

15.

【答案】4

【分析】由题意设.4(-a,0),乂一.星)，再由，_方-0_3结合加-/十",即可得出答案.

uvc,a/KAR~-c+a2

【详解】由题意可得，A(-o,0),F(-c,0)»

令椭圆二十与一1(〃＞方＞0)中工一一g解得:±

。b”

所以8(一匹)，而,(-03,则上a十C3

a2一

供c~aIhs=^7+^=2=

解得：e=+

故答案为：＜

16.

【答案】(-a＞.0)U(I,+8)

【分析】利用奇偶性和函数的单调性解不等式.

【详解】当vNO时，/(x)-&+bg,(x+l),函数在[0.+8)上单调递增，，/(\)2/(0)=0,又/(.V)是偶函数，所以/(X)的值

域为[0.+8).

不等式/为即«+宁>

0W,f(x)=+log,(x+1).，(x)6+log,(x+1)>Y，10gl(x+])—0,

设g(x)=«+呜(x+1)-y(由函数,v=&，F=吗("।，L一鼻在(°*+x)上都是增函数，得8(2在(0,+工)上

是增函数，由8⑴=0,赈(2>O=g(l)解得v>1；

当X。时，由函数值域可知/(x)>0,此时1<0,所以恒成立；

综上可知，满足/(X)«的实数而取值范围是(-8,0)U(I,+8).

故答案为：(-8,0)U(1,+00)

17.

【答案】⑴a“-"+I

(2)证明见解析

【分析】(1)根据等比数列定义和等差数列通项公式可构造方程组求得臼，乙进而确定为；

(2)利用裂项相消法可求得S”，整理即可证得结论.

【详解】(1)设等差数列;a„\的公差为J.

；%.%.句+，<4成等比数列，二城二%(“2+4),即(。]+2</)2=4](201+44/),

。，EI」(/+")2=4|(如+而)，曰(«|=2-6

又45=q+牝=6,则由5''1W：'或,、，

|"i+4J=6\d-1ld=3

孕尸-6,d=3时，的=°，不满足”今。2十七成等比数列，舍去；

・•♦%=2,d=L・・.即=2+(〃―I)=〃+1.

(2)由(D得：就7n("+1)["+2了=/1-万*'

•■•s«=(2_5)+(3-l)+(i_5)+'•,+(^-Jn)+(rn-^2)=?~^2^2(7F27'

；♦2(〃+2)S〃=〃v〃+1.

18.

【答案】(1)直角三角形

(2)0

【分析】(I)根据正弦定理的边角互化，即可得到结果;

(2)由(1)中结论即可得到cos46,从而得到4)的值，然后在A/6Q中结合余弦定理即可得到结果

【详解】(1)因为rcos8_asin.4-6cosc»由正弦定理可得，

sinCcosjff-sin8cosc-sin-/1

即sin(8+C)=sin'4

所以卜in.4-sin2J,JG(0,TT)=>sin.4-1

且.4€(0,K),所以.”号

即A45c是直角三角形.

(2)在直角A/6C中，有狩十02-东一3户即"=2/1,所以

又因为8。-2。。，所以80=18c

曰Ac卧后

国"B-L朝一丁’

在A/6。中，由余弦定理可得，

/口/卢卜BI：-力D2—一相一y而

5”—渐丽-----2r=—

2x^2/>x—

解得3%，

在A48。中由余弦定理可得,

,心，8D2/炉？"+初一圻

cosZ.ADB==0

2J/)-/；/)

19.

【答案】(1)证明见解析

丽

(3标

—

【分析】⑴连接交小。于点F,连接EF,则F为水；的中点，利用中位线的性质可得出。a，'Bg,解IJ用线面平行的判定定理可

证得结论成立；

(2)过点C在平面/8C内作CMJ..48,垂足为点A/,证明出CM1平面44也用，计算出CM的长以及四边形力。8£的面

积，利用锥体的体积公式可求得四棱锥的体积；

(3)设8C-1,以点。为坐标原点，C4、CB.所在直线分别为LK二轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得

直缈g与平面小CE所成角的正弦直

【详解】(1)证明：连接dg交出。于点F,连接EF,则尸为.4g的中点，

因为4尸分别为.48、4a的中点，则。尸"8。],

因为。Fu平面4C。，平面力CO,；.8C|平面力CD

(2)解：因为8C-L则44]-/C-2c8-2,=后，

：.AC2+BC2-A^-即/CJ_8C，

过点C在平面.48。内作CWLAB，垂足为点A/,

因为4411平面,48C,CMu平面.48。，；•CML44,

又因为

CW148,ABdAA^A,AB.AA{c^^AAXB\B,CM1

由等面积法可得_4。8c_更，

AB-5

因为平面,48C,,48u平面，8C,•••44L48,

又因为44/88|且.必「BB、,故四边形44四8为矩形,

所以，

，S一§瑚/+8由一S&44。_SA.*H|£:

:、/CTW=士S城岭四丁CM=±乂4x一

(3)解：不妨设8C-L因为/C±8C,CCJ平面.48C,

以点C为坐标原点，CA.CB、Cg所在直线分别为K.V、二轴建立如下图所示的空间直角坐标系,

设平面力。£的法向量为方-(1j・,z),。彳=(2。2),CE-(0,1,1),

CA—2r+2r-0

则一」]，取[1,可得zea方「(LI,-1),

(/}C?=3'+z=0

因为8心一(0,-L2),Mx)、v8盘,力,=1-^^一一L、・广~-----E-

|6。|“〃|"x{33

因此，直线8G与平面力CE所成角的正弦值为理.

20.

【答案】(1)73.5

(2)分布列见解析；期望£(8)=存

【分析】(1)根据频率分布直方图估计平均数的方法直接计算即可；

(2)根据频率分布直方图可确定优秀与非优秀学生对应的频率，根据分层抽样原则可确定10名学生中优秀学员的人数，由此

可得、所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得》每个取值对应的概率，由此可得分布列；由数学期望计算公式可求

得期望.

【详解】(I)80名学生的平均朦8为(55*0.01+65*0.03+75、0.03+85*0.025+95*0.005)x10-73.5.

(2)根据频率分布直方图知：优秀学员对应的频率为(0.025+0.005)x10=0.3,则非优秀学员对应的频率为1-0.3=07

•••抽取的1()名学生中，有优秀学生10x0.3=3人，非优秀学生10x0.7=7人；

则八,所有可能的取值为0.L2.3,

v八、G357..C.G6321.D,vC©217.D,vGI

P(¥-0)=p■一例一豆，尸(X=I)=7T"一例=语，尸(X=2)=丁一而=葡，尸(工=3)=声一而

VIOVIOI10Jo

・・.X的分布列为:

X0123

72171

P244040T20

二数望£(1)一0乂4十1乂翡十2x需+3x击一代•

21.

【献】⑴芋弋_]

Q)v=fx+6或/

【分析】(I)根据平面向量数量积坐标运算和点在双曲线上，可构造方程组求得，丸刀的值，由此可得双曲线方程；

(2)由儿约,8三点共线可设=Ax+正，与双曲线方程联立可得韦达定理的结论，利用向量垂直的坐标表示，代入韦

达定理结论可解方程求得人的值，由此可得直线.48方程.

【详解】(1)iSF|(-c.O),F,(c.0)(c>0),则_c-20,-⑸,嵋=(c-20,-⑸，

P广jPR=8-c・2+5=4,解得：。=3,,・.展十〃2-9；

又P在双曲线上，则*-a=1,;.a2=4,"5,

.•.双曲线的方程为：¥-9一卜

(2)由⑴得：81(0,-⑸,B&0乖),

•••B^A~€R).A,B2-8三点

直线.48斜率显然存在，可设48:y=Kx+#\"(/，打)，

Ir=kx+^5

由「2i，2得：(5-4⑶*-8收tx-40=0，

，即必<£国建£,

卜=80(I0-4A-2)>0'24

雨A.r=_40

2

•臼+»=二^，“汹5-4k'

S)^lB|B.又8/r(X],j[+«),8]占=(叼,「、+