2023年陕西省西安市重点中学高考数学模拟试卷（文科）及答案解析

2023年陕西省西安市重点中学高考数学模拟试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合M={0,1,2,4},N={-1,0,1},则MCN=()

A.{0,1}B.{-1,2,4}C.{-1,0,1,2,4}D.{-1}

2.设复数z满足值一2i|=3,z在复平面内对应的点为(x,y),则()

A.(x—2)+y2=9B.(%+2)2+y2=9

C./+(y—2尸=9D.%2+(y+2)2=9

3.命题：3x0>0,以一出一1WO的否定是()

A.Bx0<0,%o—x0—l>0B.VxSO,%2—%—i>o

2

C.3x0>0»XQ—x0—l<0D.Vx>0,x-x—1>0

4.已知函数/(x)=«-；,则曲线y=f(x)在点(1J(1))处的切线方程为()

A.3x+2y-3=0B.3x-2y-3=0C.2x-3y-2=0D.2x-3y+2=0

5.已知函数/(x)在区间［-2,2］上的大致图象如图所示，则/(%)的

解析式可以是()

A./(x)=(ex-e-x)x

B.f(x)=—e~x')sinx

C./(%)—(ex-e~x)cosx

D./（%）=（ex-e-x）x2

6.一组数据由n个数组成，其中这n个数的平均数为a,若在该组数据中再插入一个数字a则

这组数据（）

A.平均数变大B.方差变大C.平均数变小D.方差变小

7.将f（x）=sin3x+》3>0）的图象向左平移/个单位长度后与函数g（x）=cos/x图象重

合，则3的最小值为（）

A.iB.1C.ID.|

8.如图，网格纸上小正方形的边长为1cm,粗实线画出的是某机械模

具的三视图，则该模具的体积等于（）

3

A.2ncm①

B.3ncm3

C.4ncm3

D.5ncm3

9.已知14B是圆M：（%-2）2+y2=i上不同的两个动点，|^|=72，。为坐标原点，则

|力？+而|的取值范围是（）

A.[2-V2,4+V2]B.[3-72,44-72]

C.[4—V2,4+V2]D.[2-V2,2+V2]

10.已知双曲线C：，一5=1（61>0,匕>0）的左、右焦点分别为吊，F2,。为坐标原点，过

原点的直线，与C相交于4,B两点，|&尸2|=2|4。|,四边形4&BF2的面积等于c2,则的离心

率等于（）

A.V2B.V3C.2D.V5

11.已知a=0.01仇0.2,fa=0.02/n0.1,c=lnl.001,则（）

A.c>a>bB.a>b>cC.b>c>aD.c>b>a

12.已知正方体4BCD—/1B1GD1的棱长为2vLP是正方形BaGC（含边界）内的动点，点P

到平面的距离等于等，则D,P两点间距离的最大值为（）

A.2V3B.3C.3V2D.2遍

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.在一个口袋中放有m个白球和兀个红球，这些球除颜色外都相同，某班50名学生分别从

口袋中每次摸一个球，记录颜色后放回，每人连续摸10次，其中摸到白球的次数共152次以

频率估计概率，若从口袋中随机摸1个球，则摸到红球概率的估计值为—.（小数点后保留

一位小数）

14.已知siMa+cos2a="（0<a<》则tcma=.

15.已知直线l与圆0：x2+y2=1相切，且交椭圆C：[=1于4（与,乃），8（刀2），2）两点，

43

若为为=则|A8|=__•

16.在平面四边形4BCD中，AB=2,DADC=6,4ABe=§,乙ACB=£则四边形4BCD

3o

的面积的最大值为一.

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题12.0分）

n

在数列｛an｝中，％=3,an+1=an+2+1.

(1)证明:数列｛刈-n｝是等比数列;

(2)求数列｛翁的前n项和治.

18.(本小题12.0分)

如图，在长方体ABCD-AiBiGDi中，AB=2BC=2,AAr=4,P为棱4B的中点.

(1)证明：平面PC。1_L平面POO*

(2)画出平面。止(?与平面的交线，并说明理由；

(3)求过Di，P,C三点的平面a将四棱柱分成的上、下两部分的体积之比.

19.(本小题12.0分)

网络购物相比于实体店购物更加方便、省时，成为大学生日常生活中的购物新模式.某高校学

生会分别随机抽取本校男、女学生各100人进行网络购物问卷调查，调查问卷中有一项是“你

每学年用于网购消费的金额”，经过数据整理，得到如下频数分布表：

消费金额

性别

[100,300)[300,500)[500,700)[700,900)[900,1100)[1100,1300]

男6192728164

女1124312473

(1)以频率作为概率，从该高校中随机抽取一名学生，试估计该学生网购消费金额低于500元

的概率；

(2)试估计该高校男、女生网购平均消费金额哪个较高(同一组中的数据以该组区间的中间值

为代表)？

(3)若将每学年用于网购消费的金额不低于900元的学生称为“网购过度消费”，低于900元

的学生称为“非网购过度消费”，填写下面的2x2列联表：

性别非网购过度消费网购过度消费合计

男生

女生

合计

能否有99%的把握认为是否网购过度消费与学生性别有关？

附：2_

Kn(ad-bc)2,其中九=Q+b+c+d.

'(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>fc0)0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

20.(本小题12.0分)

己知动圆M恒过定点产(0占)，圆心M到直线y=-。的距离为d,d=|MF|+1.

o4o

(1)求M点的轨迹C的方程；

(2)过直线y=K-l上的动点Q作C的两条切线"，G，切点分别为力，B,证明：直线48恒过

定点.

21.(本小题12.0分)

已知函数/'(x)=(%—fc—l)ex—^x2+kx(keR).

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)当k=l时，证明：函数g(x)=/(x)+-(1+在R上有两个零点.

22.(本小题10.0分)

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为｛=2金+4s讥a(0为参数).以坐标原点为极点，》

轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线人和％的极坐标方程分别为。=飘。=y(peR),匕和。

与曲线C分别相交于4B两点(4B两点异于坐标原点).

(1)求C的极坐标方程；

(2)求△48。的面积.

23.(本小题12.0分)

已知函数/(%)=|x4-a|4-|x-b|.

(1)当。=2,6=1时，解不等式/(x)>4；

115

++>

----

(2)若a,b均为正数，人久)的最小值为4,证明:aMA4

答案和解析

I.【答案】A

【解析】解：集合M={0,1,2,4},N={-1,0,1).

则MCN={0,1}.

故选:A.

利用交集定义直接求解.

本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.【答案】D

【解析】解：因为z在复平面内对应的点为(x,y),

所以z=x—yi,

故z-21=x+(­y—2)i,

因为|z—2i|=3,

所以,/+3+2)2=3,化简可得M+0+2)2=9.

故选：D.

利用复数的几何意义以及共扼复数的定义求出W,然后由复数模的定义列出等式，化简即可.

本题考查了复数几何意义以及共轨复数定义的运用，复数模的计算公式的运用，属于基础题.

3.【答案】D

2

【解析】解：命题：3x0>0'照一%0-1S0的否定是Vx>0,x-%-1>0.

故选：D.

存在改任意，将结论取反，即可求解.

本题主要考查特称命题的否定，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解:/(I)=0,切点为(1,0),

八乃=点+Mf⑴弓

所以切线方程为y=|(x—l)，KP3x-2y-3=0.

故选:B.

求出切点坐标，切点处的导数值，然后写出点斜式切线方程.

本题考查导数的凡何意义、切线方程的求法，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：因为函数丫=e*-er是奇函数，y=x,y=sinx是奇函数，y=cosx是偶函数，

所以/(x)=(e*-e-x)x,/(x)=(ex-e-x)sinx是偶函数，/(x)=(ex-e-x)cosx,/(x)=(ex-

e—)x2是奇函数，

由图象可知，函数/(x)为奇函数，所以排除AB；

对于。选项，/(2)=(e2-e-2)x4>0,与题图矛盾，排除C,

对于C,/(2)=(e2-e-2)cos2<0,符合题意.

故选：C.

利用函数的奇偶性、x=2处函数值的与2比较加以判断.

本题考查函数的图象和性质，属于中档题.

6.【答案】D

【解析】解：因为该组数据由ri个数组成，这n个数的平均数为a,

若在该组数据中再插入一个数字a,则这组数据的平均数仍是a,方差变小.

故选：D.

根据一组数据的平均数和方差的定义，判断即可.

本题考查了平均数与方差的定义与应用问题，是基础题.

7.【答案】C

【解析】解：将/⑴的图象向左平移/个单位长度后可得，f(x+9=sin(3x+M+/

vg(x)=cosa)x=sin(a)x+]),

.,・绊+弓=5+2kn,kEZf解得to=+6k,

3424

当k=0时，3取得最小值%.

故选：C.

根据已知条件，先求出f(x+g),再结合三角函数的诱导公式，对g(x)变形，并列出等式，即可

求解.

本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题.

8.【答案】B

【解析】解：由题意可知，该模具是两个简单几何体形成的组合体，下部是圆台，上部是圆锥；

223

所以几何体的体积为：x1x(2+I+1x2)+1x127rx2=3zr(cm).

故选：B.

判断该模具的形状，然后求解几何体的体积即可.

本题考查由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状.

9.【答案】C

【解析】解：•••(x-2)2+y2=i,...圆M的圆心坐标M(2,0),半径R=1,

设圆心到直线，的距离为d,

由圆的弦长公式，可得=2V1-cP，即2"-cP=疯,解得d=¥，

设4B的中点为N,\MN\=y>

二点N的轨迹表示以M(2,0)为圆心，以孝为半径的圆，

点M的轨迹方程为。-2)2+y2=1,

根据向量的运算可得，|瓦？+南|=2|而|，

又•••|0M|=2,

|0M|-y<\0N\<|0M|+亭即2-苧W|而|W2+多

即|m+而|的取值范围为［4-&,4+鱼］.

故选：C.

根据己知条件，结合弦长公式，即可求解点4B的中点N的轨迹方程，根据向量的运算可得，|成+

0B\=2\0N\，再结合点与圆的位置关系，即可求解.

本题主要考查轨迹方程的求解，需要学生较强的综合能力，属于中档题.

10.【答案】A

【解析】解：双曲线C：马-马=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为&,F2,。为坐标原点，过

ab

原点的直线I与C相交于力，B两点，

设=m,|4尸21="，1&尸21=2|4。|，所以四边形4&BF2是矩形，

四边形AF/F2的面积等于c2,

可得m-n=2a,m2+n2=4c2,mn=c2,

可得2a2=c?,解得e=

故选：A.

利用已知条件，结合双曲线的定义，列出关系式求解双曲线的离心率即可.

本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题.

11.【答案】A

【解析】解:a=lnO.2001,b=/nO.l002,ln0.2<0,InO.l<0,a<0,b<0,

又>O.l001>O.l002,

ZnO.2001>ZnO.l002,

■■0>a>b,

又c=/nl.001>Ini=0>

c>a>b.

故选：A.

可得出a<0,b<0,a=ZnO.2001,b=InO.l002,并得出0.2°°i>O.l002,从而得出0>a>b,

并且可得出c>0,从而可得出a,h,c的大小关系.

本题考查了对数的运算性质，指数函数、对数函数和黑函数的单调性，考查了计算能力，属于基

础题.

12.【答案】D

【解析】解：正方体48co-418也1。1的棱长为2vL

所以体对角线的长度为：V3x2V2=2V6.

由正方体的性质，可知平面4BD到平面B15C的距离为：苧，

所以P在面对角线&C上，显然P与当重合时，OB1就是D,P两点间

距离的最大值：2显.

故选：D.

利用已知条件求解正方体体对角线的长度，然后判断P的位置，求解距离的最大值即可.

本题考查空间距离的求法，正方体的简单性质的应用，是中档题.

13.【答案】0.7

【解析】解：共摸出500个球，摸到红球500-152=348个,

••・摸到红球的概率P=要=臬。0.7.

故答案为：0.7.

可知共摸出500个球，含红球348个，然后根据古典概型的概率公式即可求出摸出红球的概率.

本题考查了古典概型的概率计算公式，考查了计算能力，属于基础题.

14.【答案】2V2

【解析】解：•・,sin2a+cos2a=sin2a+cos2a—sin2a=cos2a=(0<a<^),

.,.cosa_=isi.na=匚1—-i=-2Vr—2，

3793

则tana=也坦=272.

cosa

故答案为：2鱼.

由二倍角公式推导出cos2a=：(0vaV”,从而cosa=〈，s讥a=学，由此能求出tana.

7L33

本题考查二倍角公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

15.【答案】苧

【解析】解：设直线2：x=my+t,

「直线，与圆0：/+y2=l相切，...7,,一=1,...产=1+7n2,

将直线，方程与椭圆方程联立，得(4+3m2)产+6mtx+3产-12=0,

所以为为=因为y，2=—/

所以至二优2=1,t2=2,

4+3m27

由对称性，不妨取巾=1,t=&,

**-y1十%=—厂，

•••\AB\=VI+1x---)2-4x(--)=

故答案为：竿

设直线2：x=my+t,由题意可得空凄=一9,可求得m,t,进而可求得|AB|.

4+3mz7

本题考查椭圆与直线的位置关系，考查运算求解能力，属中档题.

16.【答案】3+%

【解析】解：设ZM=x,则DC=9,

X

连接4C,由乙480=络44cB=须得ZB4C=£

即△力BC为等腰三角形，可得BC=2,AC=2V3,

△4BC的面积为：x2x2Xy=V3.

又c-DC=凄乂笔卢=0，

贝％in乙40c的最大值为1，

所以△4CD的面积的最大值为：x6=3,

则四边形力BCD的面积的最大值为3+V3.

故答案为：3+百.

设D4=x,则。C=2由已知条件推得△ABC为等腰三角形，求得△ABC的面积，再由余弦定理

X

和基本不等式求得vzONAODllCi的最小值，可得sin^ADC的最大值，进而得到△ACD的最大值，可得

所求四边形的最大值.

本题考查三角形的面积公式和余弦定理、基本不等式的运用，考查转化思想和运算能力，属于中

档题.

n

17.【答案】解：(1)证明：由(171+1=an+2"+1,得tin+i-(n+1)—(an—n)—2,

n-1

-an-n-[an.!-(n-1)]=2,

n2

On-1-(n-1)-[an_2-(n-2)]=2~,

Q，2—2—[%—1]=2,

nl

dn-7i—[cii-1]=2+21+2?+....+2,

••an—n—(Qi-1)-2，

・・・数列｛a九一九｝是等比数列；

n

(2)由(1)可得0n=n+2,

二臂=矣+1,5n=|+^+p+...+云+n,

令〃=2+京+...+云,①

•1•27^=1+1+^++企I,②

错位相减，②-①，得：

4=1+3+*+…+*一云

1X(1-玄)n

-一干

rn+2

=2-丁’

•-Sn=2+n-竽.

【解析】(1)由已知可得an-n—[an_i-(n—l)]=2"T,运用累加法可求｛/-n｝的通项公式,

进而可得数列｛即-n｝是等比数列；

(2由(1)得翁=%+1,Sn=、+最+*++云+n,令〃=：+,+最++关,运用累

加法可求数列｛翁｝的前n项和治.

本题考查数列的通项公式和数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，考查错位相减法的合理运

用，属中档题.

18.【答案】解：（1）在长方体ABCD-4/16%中，AB=2BC=2,

•••△ADP^LBPC是等腰直角三角形，.•.乙4Po=乙BPC=45°,

LDPC=90°,1•.DP1PC,

又。51平面力BCD,PCu平面力BCD,•••DD11PC,

又DDinDP=D,CPJ■面PDZ）i，

又PCu平面PC%・•・平面PC。】J_平面POD1；

(2)延长CP与D4的延长线相交于M,连接MD1，则MD1即为平面£)iPC与平面为力。。1的交线,

理由：M64D,二M6平面MeCP,•••MC平面平面D】PC,

二平面D$C与平面&ADD1的交线为AM,

(3)MDi与44i的交点为N,三棱台4PN-DCD1的体积为-^M-ANP，

•••P为棱28的中点，易得4是MD的中点，N是MD】的中点，

1

MD=2AD=2,AN==2,

11r.e8〃1,1、cddZ

tz=XXXX=f

•*,VM-DCD]=§乂2>2乂4*2=§，YM-ANP32^^^3

・•・三棱台4PN—DC%的体积为九_0皿一^M-ANP=2,

・・.过5,P,C三点的平面a将四棱柱分成的上部分的体积为2x1x4—2=6.

二过。1，P,C三点的平面a将四棱柱分成的上、下两部分的体积之比为=3.

【解析】(1)通过证明CP1面P0D「可证平面PC51平面POD1；

(2)延长CP与ZM的延长线相交于M,连接MD。则MD1即为平面DiPC与平面的交线，易证

结论；

(3)求得两部分的体积，可求过A，P,C三点的平面a将四棱柱分成的上、下两部分的体积之比.

本题考查面面垂直的证明，考查面面的交线的作法，考查空间几何体的体积的计算，属中档题.

19.【答案】解：(1)从该高校中随机抽取一名学生，该学生网购消费金额低于500元的概率为击x

(6+19+11+24)=0.30.

(2)该高校男生网购平均消费金额为击x(200x6+400X19+600X27+800X28+1000x

16+1200x4)=682,

该高校女生网购平均消费金额为焉x(200x11+400x24+600x31+800x24+1000x

7+1200x3)=602,

所以该高校男生网购平均消费金额较高.

(3)根据题中数据填写2X2列联表如下：

性别非网购过度消费网购过度消费合计

男生8020100

女生9010100

合计17030200

7

计算<2_200x(80x10-90x20)

/十=170x30x100x100x3.922<6.635>

所以没有99%的把握认为是否网购过度消费与学生性别有关.

【解析】(1)根据频率的计算公式列式求解即可：

(2)分别求得该高校男、女生网购平均消费金额即可得出结论；

(3)根据题目所给的数据填写2x2列联表，计算K2,对照题目中的表格，得出统计结论.

本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题.

20.【答案】解：(1)显然点”在％轴的上方，设M(x,y),

把直线y=-飘上平移/单位，

由d=|MF|+:，从而可得点M的轨迹是以F为焦点，y=-:为准线的抛物线，

OO

.•・§=P=M点的轨迹C的方程为％2=

28r42z

(2)设切点AQi，2*),8(冷,2底)，/=4x,所以切线M4的斜率为4/,

切线M4：y—2%i=4%i(x-Xj).

设M(t,t—1),则有t—1—2xj=4%i((—%i).化简得2好—4垃i+t—1=0.

同理可得据—

24tx2+t—1=0.

所以％i，必为方程2-一4比+£—1=0的两根.

===

则有％l+%2=2t,%1%2=5(C—1)，l<AB2(%i+%2)

设的中点为可得孙=工分=2

48N,+%2)=3yN=+24t-t:+1,

・•・N(t,4t2—t+1),

所以直线』B：y—(4t2—t+1)=4t(x—t),即y—1=4t(x—[).

即直线过定点

【解析】(1)由动圆过定点尸(0w)，且与定直线心)/=-<.利用抛物线的定义即可得出.

OO

(2)设M(t,t—1),切点2xi),B(X2»2据)，推出2好—4txi+£—1=0,2%1-4tx2+t-1=0.

通过韦达定理，转化求解4B：y-(4t2-t+2)=4t(x-t),说明直线过定点(31).

本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能

力，属难题.

21.【答案】解：⑴/'(无)=(x-k-l)ex+ex-x+k=(x-k}ex-(x-fc)=(x-k)0-1),

令f(x)=0得x=Z或％=0,

当k=0时，在(-8,+8)上((%)>0,/(%)单调递增,

当k<0时，在(一8,攵)上，Q)>0,/(%)单调递增，

在(e0)上/'(%)<0,/(%)单调递减,

在(0,+8)上/(%)>0,/(%)单调递增，

当4>0时,在(一8,0)上/(%)>0,/(%)单调递增,

在(0,k)上/(x)<0,/(%)单调递减，

在(女,+8)上((%)>0,/(%)单调递增，

综上所述，当％=0时，/(%)在(-8,+8)上单调递增，

当ZV0时，/(%)在(一8,忆)上单调递增，在(幻0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

当々>0时，/(%)在(一8,0)上单调递增，在(0次)上单调递减，在(死+8)上单调递增.

111

(2)证明：g(x)=/(x)4--x2—(1+k)x=(%—fc—l)ex--%2+fcx4--%2—(1+k)x=(x—

k-l)ex-x,

当k=1时，g(%)=(%—2)ex—%,

gf(x)=(%—2)ex4-ex-1=(%—l)ex—1,

令九(%)=(x—l)ex—1,

h\x)=ex4-(%—l)ex=xex,

所以在(一8,0)上”(%)<0,h(x)单调递减，

在(0,+8)上"(欠)>Oh(%)单调递增,

h(X)min=左(0)=-2,

X->-8时，/l(x)->0；X->+8时，/l(x)T4-OO,

又h(l)=-1<0,h(2)=e2-1>0,

1

所以存在X］e(1,2)使得似*1)=0,即蜡”占

所以在(-8,%1)上八(X)<o,g'(x)<0,g(x)单调递减,

在(4,+8)上/iQ)>0,g'(x)>0,g(x)单递增,

gMmin=g(Xi)=01-2)eX1=01-2)-尚-Xi。1-2)一打(祝-1)

“1-1

—Xj+2xj-2_(X1-1)。-1--(Xi-1)一看片=一［01-1)+五匕］<-2，当且仅当与-1

—1X\-1

言，即冷=2时，取等号,

因为/G(1,2),

所以gQ)min=g(%i)v—2,

由g(-2)=-4e-2+2->。，=e3-3>0,

所以在(-2,%)，Qi，3)上存在g(x)的两个零点，得证.

【解析】(1)求导令/'(x)=0,得x=k或x=0,分三种情况：当k=0时，当k<0时，当k>0时,

分析i(x)的符号，单调性，即可得出答案.

(2)根据题意可得当A=1时，g(x)=(x-2)ex-x,求导分析单调性