第一单元集合与常用逻辑用语的极简思维学习方法-第一课时 集合知识的学习方法 讲义

第一单元集合与常用逻辑用语的极简思维学习方法第一课时集合知识的学习方法一、集合的学习方法1.基本学习方法①学习任何知识，一定要学习一个完整的知识体系，本章1,2,3,节是一个完整的知识体系，要放在一起学习。②一定要找到“知识的本质”是什么，才能理解透彻，请同学想一想，集合的本质是什么呢？③一定要思考“引入集合的目的”是什么，才能找到如何利用知识。2.集合的概念的学习方法①集合是什么定义把一些元素组成的总体叫做集合，简称“集”。第一，元素是什么？为什么要引进“元素概念”？集合的元素是总是一个一个的，可以是任何“事”和“物”，如：国家、图形、数、人等，不同的事物用不同的“称呼”表达，很复杂，为方便表达，统一称为“元素”。第二，集合的本质是什么？引进集合的目的是什么？任何一个集合，都是由一个个“元素”构成，一个集合的“元素”个数可能是0个，1个，2个，也可能有无数个，因此，学习集合的关键是找到集合的“每一个元素”。引进集合的目的是“界定一个范围”。如：立德中学今年入学的全体学生，“元素”是今年入学的每一个学生，虽然没有明确指出每一个学生，但所有学生都是明确的，当然是指“一个范围”。立德中学的全体学生，“元素”是立德中学的每一个学生，虽然没有明确指出每一个学生，但所有学生都是明确的，当然是指“一个范围”。1-10之间的所有偶数，“元素”是2,4,6,8,10，共5个，当然是指“一个范围”。由1,2,3三个数也可以组成一个集合，“元素”是1,2,3，共3个，当然是“一个范围”。大于1，小于3的所有数构成一个集合，“元素”有无数个，当然是“一个范围”。特别：仅仅由一些数组成的集合也称为“数集”，高中阶段主要学习数集。第三，集合和元素的命名方法为便于表达，集合一般用大写字母命名，如集合A,集合B,集合C等。元素一般用小写字母命名，如元素a,元素b,元素c等。第四，元素和集合的关系是什么？元素a和集合A只有两种关系：元素a在集合（范围）A中，称为元素a属于集合A，记作a∈A；元素a不在集合（范围）A中，称为元素a不属于集合A，记作a∉A如：元素a是一个学生，集合（范围）A是一个数集，a∉A第五，常用集合及其记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN∗或ZQR②集合的特性第一，元素的确定性元素不确定，无法“界定一个范围”，当然不是“一个集合”。第二，元素的无序性只要元素全部相同，“界定的范围相同”，当然是“同一个集合”，因此集合与元素的顺序无关。第三，元素的互异性集合的元素，主要是用来描述集合包含“哪些元素”，同一个元素多次描述，显然是没有必要的，为避免重复，一般假定集合的元素是“互异的”，如果有相同的元素，也只能看做是“一个”。③集合的学习方法第一，任何一个集合，都包含很多“元素”，如果能找到这些元素最好，即使不能找到，也要“想象”里面包含很多元素。第二，集合的元素一定是“一个一个的”，可能有有限个，可能有无数个，最少有多少个呢？最少可能是0个元素。④集合的描述方法2种方法：方法一：列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用“{}”括起来表示集合的方法。这种方法适合“元素个数比较少的集合”，并且集合的元素是明确的。方法二：描述法把集合中的所有元素具有的共同特性P(x)描述出来，并用“{}”括起来表示集合的方法。具体表述为：{x∈A|P(x)}这种方法适合“元素个数比较多的集合”。即使是“元素个数比较少的集合”，但集合的元素不明确，通常用描述法。特别注意：要准确描述，不要扩大或缩小了范围。如：由2,4,6,…，100等100以内的偶数构成的集合A，写为：A={x∈Z|x为偶数}，扩大了范围，写为：A={x∈Z|100以内x为偶数}，范围不明确，包括0和100吗？要表达为：A={x∈Z|2≤x二、集合间的基本关系的学习方法1.两个集合间有哪些基本关系第一，集合不是“一个数”，不能比较大小，即使是“数集”，也不能比较大小。第二，两个集合可以有哪些“基本关系”？可以相等、包含、不包含等关系。①两个集合相等是什么？两个集合界定的范围相同，也就是两个集合的元素完全相同，就说“两个集合相等”。记作：A=B②两个集合“包含关系”是什么？第一，子集两个集合A,B,如果A的所有元素都是B的元素，就称集合A“包含于”集合B，也称集合A是集合B的子集。也可以表达为：集合B“包含”集合A，记作：A⊆B（读作A包含于B）,或者B⊇A（读作B包含A）特别注意：集合A是集合B的子集，有可能两个集合是“相等的”。第二，真子集两个集合A,B,如果A的所有元素都是B的元素，但集合B中至少有一个元素不在A中，就称集合A是集合B的真子集。记作：A⊊B,或者B⊋A第三，子集和真子集的区别如果集合A是集合B的子集，一般来说，集合A比集合B的元素个数少，有可能两个集合相等；如果集合A是集合B的真子集，集合A比集合B的元素个数“一定少”，两个集合不可能相等。集合B的子集个数比它的“真子集个数”仅仅多一个，就是集合B本身。第四，一个集合的子集和真子集的个数设集合A是有n(n∈N*)个元素的有限集，即card(A)＝n.A的子集个数是2nA的真子集个数是2nA的非空子集个数是2nA的非空真子集个数是2n③空集第一，不含任何元素的集合，叫做空集，用“ϕ”表示空集。空集是唯一一个含有“0个”元素的集合。第二，空集是一个特殊的集合，是任何集合的子集，特别空集是空集的子集。空集是是任何一个“非空集合”的“真子集”，因为“非空集合”至少有一个元素。第三，你知道以下几个的区别吗？ϕ，ϕ，0，0ϕ是一个集合，是空集；ϕ是一个集合，是由一个元素“空集”构成的集合，不是空集；0不是一个集合，是一个数，可以看成“元素”。0是一个集合，是由一个元素“0”构成的集合，不是空集；ϕ，ϕ，0都是集合，其关系是“包含”和“不包含关系”。特别注意：ϕ，ϕ可以是“属于关系”，可以是包含关系。0是一个元素，ϕ，ϕ，0都是集合，其关系是“属于”和“不属于”。主要有：ϕ∈ϕ，ϕ⊆ϕ，0∉ϕ，0∉ϕ,0∈0，ϕ⊆{0}．④如何用“直观（图示）方法”表示一个集合，或多个集合之间的关系？第一，如何用“直观方法”表示一个集合集合表示“一个范围”，一般用平面上的“一条封闭曲线的内部（也是一个范围）”代表集合。这种图形称为“wenn图（韦恩图）”第二，如何用“直观方法”表示两个集合具有“包含关系”集合A是集合B的子集，即A⊆B，用“wenn图”表示的话，表示集合A的“区域”，应该在表示集合B的“区域”的“内部”。第三，如何用“直观方法”表示两个集合没有“包含关系”集合A和集合B没有“包含关系”，用“wenn图”表示的话，表示集合A的“区域”，和表示集合B的“区域”，有两种情况：一种是有“公共部分”（有共同的元素），一种是没有“公共部分”（没有共同的元素）。三、集合间的基本运算的学习方法1.集合间可以引进哪些“基本运算”呢？运算的目的是什么呢？集合运算的“结果”是什么呢？①交集第一，定义由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B（读作A交B），即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．第二，运算的目的是什么？集合运算的“结果”是什么？运算的目的是找到：集合A和集合B所有“共同的元素”。集合A和集合B的交集还是一个集合。第三，运算律A∩A＝A，A∩ϕ＝ϕ，A∩B＝B∩A.A∩A∩(B∩②并集第一，定义由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B（读作A并B），即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．第二，运算的目的是什么？集合运算的“结果”是什么？运算的目的是找到：集合A和集合B合并后包含的所有元素。集合A和集合B的并集还是一个集合。第三，运算律A∪B＝B∪A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪A＝A，A∪ϕ＝ϕ∪A＝A.A∪A∪(B∪③补集第一，定义对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x第