课时验收评价(七十)“概率与统计”的综合问题

PAGE第2页共5页课时验收评价(七十)“概率与统计”的综合问题1．(2021·苏州三模)为落实十三五规划节能减排的国家政策，某职能部门对市场上两种设备的使用寿命进行调查统计，随机抽取A型和B型设备各100台，得到如下频率分布直方图：(1)将使用寿命超过2500小时和不超过2500小时的台数填入下面的列联表：超过2500小时不超过2500小时合计A型B型合计根据上面的列联表，依据α＝0.01的独立性检验，能否认为使用寿命是否超过2500小时与型号有关？(2)用分层抽样的方法从不超过2500小时A型和B型设备中抽取8台，再从这8台设备中随机抽取3台，其中A型设备为X台，求X的分布列和数学期望；(3)已知用频率估计概率，现有一项工作需要10台同型号设备同时工作2500小时才能完成，工作期间设备损坏立即更换同型号设备(更换设备时间忽略不计)，A型和B型设备每台的价格分别为1万元和0.6万元，A型和B型设备每台每小时耗电分别为2度和6度，电价为0.75元/度．只考虑设备的成本和电费，你认为应选择哪种型号的设备，请说明理由．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828解：(1)由频率分布直方图可知，A型超过2500小时的有100×(0.0006＋0.0005＋0.0003)×500＝70台，则A型不超过2500小时的有30台，同理，B型超过2500小时的有100×(0.0006＋0.0003＋0.0001)×500＝50台，则B型不超过2500小时的有50台．列联表如下：超过2500小时不超过2500小时合计A型7030100B型5050100合计12080200零假设为H0：使用寿命是否超过2500小时与型号无关，因为χ2＝eq\f(200×70×50－30×502,100×100×120×80)≈8.333>6.635＝x0.010，所以依据α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为使用寿命是否超过2500小时与型号有关．(2)由(1)和分层抽样的定义可知A型设备有3台，B型设备有5台，所以X的取值可能为0,1,2,3，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,8))＝eq\f(5,28)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,5),C\o\al(3,8))＝eq\f(15,28)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,5),C\o\al(3,8))＝eq\f(15,56)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,8))＝eq\f(1,56)，所以X的分布列为X0123Peq\f(5,28)eq\f(15,28)eq\f(15,56)eq\f(1,56)所以E(X)＝0×eq\f(5,28)＋1×eq\f(15,28)＋2×eq\f(15,56)＋3×eq\f(1,56)＝eq\f(9,8).(3)由频率分布直方图中的频率估计概率知：A型设备每台更换的概率为0.3，所以10台A型设备估计要更换3台；B型设备每台更换的概率为0.5，所以10台B型设备估计要更换5台，选择A型设备的总费用y1＝(10＋3)×1＋10×2×0.75×2500×10－4＝16.75(万元)，选择B型设备的总费用y2＝(10＋5)×0.6＋10×6×0.75×2500×10－4＝20.25(万元)，所以选择A型设备．2．某篮球队为提高队员的训练积极性，进行小组投篮游戏，每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成了一个小组．游戏规则：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”，已知甲、乙两名队员投进篮球的概率分别为p1，p2.(1)若p1＝eq\f(3,4)，p2＝eq\f(2,3)，则在第一轮游戏他们获“神投小组”的概率；(2)若p1＋p2＝eq\f(4,3)，则在游戏中，甲、乙两名队员想要获得“神投小组”的称号16次，则理论上他们小组要进行多少轮游戏才行？并求此时p1，p2的值．解：(1)由题可知，所有可能的情况有：①甲投中1次，乙投中2次；②甲投中2次，乙投中1次；③甲投中2次，乙投中2次．故所求概率P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(1,2)·eq\f(3,4)·eq\f(1,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(2,2)·eq\f(2,3)·eq\f(2,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(2,2)·eq\f(3,4)·eq\f(3,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(1,2)·eq\f(2,3)·eq\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(2,2)·eq\f(3,4)·eq\f(3,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(2,2)·eq\f(2,3)·eq\f(2,3)))＝eq\f(2,3).(2)他们在一轮游戏中获“神投小组”的概率为P＝Ceq\o\al(1,2)p1(1－p1)Ceq\o\al(2,2)peq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,2)peq\o\al(2,1)Ceq\o\al(1,2)p2(1－p2)＋Ceq\o\al(2,2)peq\o\al(2,1)Ceq\o\al(2,2)peq\o\al(2,2)＝2p1p2(p1＋p2)－3peq\o\al(2,1)peq\o\al(2,2)，因为p1＋p2＝eq\f(4,3)，所以P＝eq\f(8,3)p1p2－3peq\o\al(2,1)peq\o\al(2,2)，因为0≤p1≤1,0≤p2≤1，p1＋p2＝eq\f(4,3)，所以eq\f(1,3)≤p1≤1，eq\f(1,3)≤p2≤1，又p1p2≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(p1＋p2,2)))2＝eq\f(4,9)，所以eq\f(1,9)<p1p2≤eq\f(4,9)，令t＝p1p2，以eq\f(1,9)<t≤eq\f(4,9)，则P＝h(t)＝－3t2＋eq\f(8,3)t，当t＝eq\f(4,9)时，Pmax＝eq\f(16,27)，他们小组在n轮游戏中获“神投小组”次数ξ满足ξ～B(n，P)，由(nP)max＝16，则n＝27，所以理论上至少要进行27轮游戏．此时p1＋p2＝eq\f(4,3)，p1p2＝eq\f(4,9)，p1＝p2＝eq\f(2,3).3．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.①证明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列；②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．解：(1)X的所有可能取值为－1,0,1.P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)．所以X的分布列为X－101P(1－α)βαβ＋(1－α)(1－β)α(1－β)(2)①证明：由(1)，得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1，因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)．又因为p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)是公比为4，首项为p1的等比数列．②由①可得p8＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＝eq\f(48－1,3)p1.由于p8＝1，故p1＝eq\f(3,48－1)，所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)＝eq\f(44－1,3)p1＝eq\f(1,257).p4表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4＝eq\f(1,257)≈0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．4.第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行，届时，北京将成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市．在某次滑雪表演比赛中，抽取部分参赛队员的分数(得分取正整数，满分为100分)作为样本(样本容量为n)进行统计，并按照[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100](已知分数在[90,100]内的人数为3)的分组作出如图所示的频率分布直方图．据此解答如下问题：(1)求样本容量n及频率分布直方图中a的值．(2)滑雪场馆内的一销售网点为了吸引游客，增加营业收入，开展“参加游戏赢奖券”促销活动，购物满200元可以参加1次游戏，游戏规则如下：有一张共7格的方格图，依次编号为第1格、第2格、第3格、…、第7格，游戏开始时“跳子”在第1格，参与者需从一个口袋(装有除颜色外完全相同的2个黑球和2个白球)中任取两个球，若两个球颜色不同，则“跳子”前进1格(即从第1格到第2格)，若两个球颜色相同，则“跳子”前进2格(即从第1格到第3格)，当“跳子”前进到第6格或者第7格时，游戏结束．“跳子”落在第6格可以得到30元奖券，“跳子”落在第7格可以得到90元奖券．记“跳子”前进到第n格(1≤n≤7)的概率为Pn.①证明：{Pn－Pn－1}(2≤n≤6)是等比数列；②求某一位顾客参加一次这样的游戏获得的奖券金额的期望．解：(1)由题意知，分数在[90,100]内的人数为3人，其对应的频率为10×0.015＝0.15，所以样本容量n＝eq\f(3,0.15)＝20，a＝eq\f(1－0.03＋0.035＋0.015×10,10)＝0.02.(2)①证明：从口袋中摸到的两个球是同色球的概率为P＝eq\f(C\o\al(2,2)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,3)；摸到的两个球是异色球的概率为1－P＝eq\f(2,3).“跳子”开始在第1格为必然事件，即P1＝1，“跳子”移到第2格，其概率为eq\f(2,3)，即P2＝eq\f(2,3).“跳子”前进到第n(3≤n≤6)格的情况有如下两种：“跳子”先到第n－2格，概率为eq\f(1,3)Pn－2；“跳子”先到第n－1格，概率为eq\f(2,3)Pn－1.所以3≤n≤6时，Pn＝eq\f(2,3)Pn－1＋eq\f(1,3)Pn－2，所以Pn－Pn－1＝－eq\f(1,3)(Pn－1－Pn－2)．因为P2－P1＝－eq\f(1,3)≠0，所以eq\f(Pn－Pn－1,Pn－1－Pn－2)＝－eq\f(1,3)(3≤n≤6)，所以当2≤n≤6时，数列{Pn－Pn－1}是等比数列，首项为P2－P1＝－eq\f(1,3)，公比为－eq\f(1,3).②设某一位顾客参加一次这样的游戏获得的奖券金额为X元，则X的所有可能取值为30,90，由①可知Pn－Pn－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))n－2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))n－1(2≤n≤6)，所以Pn＝(Pn－Pn－1)＋(Pn－1－Pn－2)＋…＋(P2－P1)＋P1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))n－1