46章弹塑性力学作业

第四章4.1利用式〔4.2a〕和各向同性线弹性材料的应力-应变关系，证明平衡方程〔4.1b〕能写成以下式子〔这些方程即所谓的Navier方程〕：证明：式〔4.2a〕式〔4.1b〕σji,j+Fi=0由各向同性线弹性材料应力应变关系可知4.5〔金晶〕对于应变能密度函数如式〔4.93〕定义那样，，证明弹性体总的应变能等于由外表拉力和体力由无应力状态到应力和应变的平衡状态中所产生的位移上所做的功的一半。证明：由公式〔4.86和4.85〕得：，当材料是线弹性的时候，应力—应变的一般形式可以写成：所以得出〔4.93〕，4.9无初始应力和初始应变的材料单元受到一个组合加载历史，产生以下空间中的连续直线路径[单位为Mpa〔拉应力，剪应力〕]：路径1：〔0，0〕至〔0，68.95〕路径2：〔0，68.95〕至〔206.85，68.95〕路径3：〔206.85，68.95〕至〔206.85，-68.95〕路径4：〔206.85，-68.95〕至〔0，0〕材料单元假设为各向同性非线性弹性，其余能密度为，其中a为材料常数。简单拉伸下的应力-应变关系为，其中的单位为Mpa。〔a〕给出在路径3末端的轴向伸长和剪切应变；〔b〕求出路径1和2末端所有正应变和剪切应变分量；〔e〕将路径1转化为主应力空间中的路径，利用以主应力表达的应力-应变关系计算该路径末端的应变，与〔b〕中以和得到的解答进行详细比拟；〔f〕列出所有上述所给路径中在主应力空间中为直线路径的路径；〔g〕在正应力空间中画出路径〔2〕。解：〔a〕在简单拉伸下时：代入得：路径3末端的，由得：路径3末端的轴向伸长和剪切应变为〔b〕同理得路径1末端：，由得：路径1末端的正应变和剪切应变分量为，其余分量为0。路径2末端：，由得：路径2端的正应变和剪切应变分量为其余分量为0。〔e〕由得在主应力空间，路径1是从〔0,0〕到〔68.95,-68.95〕〔〔10,-10〕〕。以主应力表达的应力-应变关系为：代入，，得在这条路径的末端：。〔f〕路径1，3和4在主应力空间中为直线路径。4.10对于例4.12中描述的各向同性非线性弹性材料，某点处的应变状态为〔a〕确定相应的应力状态；〔b〕计算相应于给定应变状态的W和值。解：〔a〕根据例4.12提供的材料，计算初始体积和剪切模量应变状态和的值为：割线模量为：根据，应力分量为：又，有代入适宜的和应变分量值可得〔b〕根据W的计算公式代入以及各材料常数，得到又因为由有：第六章6.2某材料简单拉伸时在σ0点屈服，利用下述屈服准则计算纯剪屈服应力σps及按比例加载时σ1=p，σ2=2p，σ3=3p时的屈服值。〔a〕Tresca准则；〔b〕vonMises准则。解：〔a〕由Tresca准则得，单轴拉伸屈服应力σ0，则有σps=σ0/2当σ1=p，σ2=2p，σ3=3p时，max〔1/2│σ1－σ2│，1/2│σ2－σ3│，1/2│σ3－σ1│〕=1/2│σ3－σ1│=p=k∴σs=p〔b〕由vonMises准则得，σps=σ0/√3当σ1=p，σ2=2p，σ3=3p时，(σ1－σ2)2+(σ2－σ3)2+(σ3－σ1)2=6p2=6k2→k=p∴σs=p6.5利用Rankine准则确定比例加载路径时的屈服值p。解：根据主应力值的公式：得：根据Rankine准则：，又，所以，，则，屈服值。6.6设材料满足m=3的Mohr-Coulomb准则，确定两种情况下在纯剪试验中的屈服应力。解：材料满足m=3的Mohr-Coulomb准则，则，，则：，当，所以，，根据Mohr-Coulomb准则：可得：得：所以，当情况下在纯剪试验中的屈服应力。同理，当时，同样可以求得在纯剪试验中的屈服应力。6.14试验给出精度为±6.895MPa的屈服应力的结果为〔单独作用〕，〔单独作用〕，〔单独作用〕，，关于由此材料的各向同性及其对静水压力的敏感情况你可得什么结论？答：根据上述材料的试验所得的应力情况得：由于当单独作用时所得的屈服应力值相同，所以该材料为各向同性材料，且不受静水压力影响。因此，计算出其中一个应力点后，可根据与静水压力无关的条件得出同样出现屈服的两个点；然后由于材料各向同性，易得应力空间中的五个应力点也是屈服点；再由于加载方向不重要可得应力空间中另外六个屈服点。6.15〔金晶〕，假定材料为各向同性并与静水压力无关，拉压性质相同。确定空间中所有其他双轴应力状态；估计屈服应力：轴向拉伸，〔II〕简单剪切并根据其外凸性给出估计值的可能误差极限根据：vonMises准则；Tresca准则；确定〔b〕中的屈服应力；一根长钢圆管，直径为254mm，壁厚为3.175mm，作用有内压3.448MPa，管端封闭，求