课时验收评价(六十八) 离散型随机变量的分布列及均值、方差

PAGE第5页共6页课时验收评价(六十八)离散型随机变量的分布列及均值、方差一、点全面广强基训练1．设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝eq\f(i,2a)(i＝1,2,3)，则P(X＝2)＝()A.eq\f(1,9)B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,4)解析：选C由分布列的性质，得eq\f(1＋2＋3,2a)＝1，解得a＝3，所以P(X＝2)＝eq\f(2,2×3)＝eq\f(1,3).故选C.2．若离散型随机变量X的分布列为X01Peq\f(a,2)eq\f(a2,2)则X的均值E(X)＝()A．2 B．2或eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D．1解析：选C由题意知，eq\f(a,2)＋eq\f(a2,2)＝1，a>0，所以a＝1，所以E(X)＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).故选C.3．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X<2)＝()A.eq\f(7,15)B.eq\f(8,15)C.eq\f(14,15) D．1解析：选C由题意，知X的可能取值为0,1,2，X服从超几何分布，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,7),C\o\al(2,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,7)C\o\al(1,3),C\o\al(2,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,10))＝eq\f(1,15)，于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq\f(7,15)＋eq\f(7,15)＝eq\f(14,15).故选C.4．随机变量X的分布列如表所示，若E(X)＝eq\f(1,3)，则D(3X－2)＝()X－101Peq\f(1,6)abA.eq\f(5,9)B.eq\f(5,3)C．5 D．7解析：选C由E(X)＝eq\f(1,3)，及X的分布列，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)＋a＋b＝1，,－\f(1,6)＋b＝\f(1,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,3)，,b＝\f(1,2)，))∴D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－eq\f(1,3)))2×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－eq\f(1,3)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－eq\f(1,3)))2×eq\f(1,2)＝eq\f(5,9)，∴D(3X－2)＝9D(X)＝9×eq\f(5,9)＝5.5．某射击选手射击环数的分布列为X78910P0.30.3ab若射击不小于9环为优秀，其射击一次的优秀率为________．解析：由分布列的性质，得a＋b＝1－0.3－0.3＝0.4，故射击一次的优秀率为40%.答案：40%6．随机变量X的分布列为X246Pabc其中a，b，c成等差数列，且c＝eq\f(1,2)ab，则P(X＝2)＝________.解析：由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,c＝\f(1,2)ab，,a＋b＋c＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(4,7)，,b＝\f(1,3)，,c＝\f(2,21)，))则P(X＝2)＝eq\f(4,7).答案：eq\f(4,7)7．一个袋子里有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取3个球恰好有2个球同色的概率为________．解析：记A＝{取出的3个球中恰好有2个白球}，B＝{取出的3个球中恰好有2个黑球}，C＝{取出的3个球中恰好有2个红球}，则P(A)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,7),C\o\al(3,9))＝eq\f(1,12)，P(B)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,6),C\o\al(3,9))＝eq\f(3,14)，P(C)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,5),C\o\al(3,9))＝eq\f(5,14).A，B，C三个事件两两互斥，则P(取出的3个球中恰好有2个球同色)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1,12)＋eq\f(3,14)＋eq\f(5,14)＝eq\f(55,84).答案：eq\f(55,84)8．(2021·邯郸二模)小张经常在某网上购物平台消费，该平台实行会员积分制度，每个月根据会员当月购买实物商品和虚拟商品(充话费等)的金额分别进行积分，详细积分规则以及小张每个月在该平台消费不同金额的概率如表1和表2所示，并假设购买实物商品和购买虚拟商品相互独立．表1购买实物商品/元(0,100)[100,500)[500,1000)积分246概率eq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)表2购买虚拟商品/元(0,20)[20,50)[50,100)[100,200)积分1234概率eq\f(1,3)eq\f(1,4)eq\f(1,4)eq\f(1,6)(1)求小张一个月购买实物商品和虚拟商品均不低于100元的概率；(2)求小张一个月积分不低于8分的概率；(3)若某个月小张购买了实物商品和虚拟商品，消费均低于100元，求他这个月的积分X的分布列与数学期望．解：(1)小张一个月购买实物商品不低于100元的概率为eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，购买虚拟商品不低于100元的概率为eq\f(1,6)，因此所求概率为eq\f(3,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,8).(2)根据条件，积分不低于8分有两种情况：①购买实物商品积分为6分，购买虚拟商品的积分为2,3,4分；②购买实物商品积分为4分，购买虚拟商品的积分为4分，故小张一个月积分不低于8分的概率为eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋eq\f(1,2)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,4).(3)由条件可知X的可能取值为3,4,5.P(X＝3)＝eq\f(\f(1,3),\f(1,3)＋\f(1,4)＋\f(1,4))＝eq\f(2,5)，P(X＝4)＝P(X＝5)＝eq\f(\f(1,4),\f(1,3)＋\f(1,4)＋\f(1,4))＝eq\f(3,10)，故X的分布列为X345Peq\f(2,5)eq\f(3,10)eq\f(3,10)E(X)＝3×eq\f(2,5)＋4×eq\f(3,10)＋5×eq\f(3,10)＝eq\f(39,10).9．某糕点房推出一类新品蛋糕，该蛋糕的成本价为4元，售价为8元．受保质期的影响，当天没有销售完的部分只能销毁．经过长期的调研，统计了一下该新品的日需求量．现将近期一个月(30天)的需求量展示如下：日需求量x/个20304050天数510105(1)从这30天中任取2天，求这2天的日需求量均为40个的概率；(2)以表中的频率作为概率，根据分布列求出该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望E(X)＝eq\f(320,3).现有员工建议扩大生产一天45个，试列出生产45个时，利润Y的分布列并求出期望E(Y)，并以此判断此建议该不该被采纳．解：(1)从这30天中任取2天，样本点总数n＝Ceq\o\al(2,30)，这2天的日需求量均为40个包含的样本点个数m＝Ceq\o\al(2,10)，∴这2天的日需求量均为40个的概率P＝eq\f(C\o\al(2,10),C\o\al(2,30))＝eq\f(3,29).(2)由题意得，P(Y＝－20)＝eq\f(1,6)，P(Y＝60)＝eq\f(1,3)，P(Y＝140)＝eq\f(1,3)，P(Y＝180)＝eq\f(1,6)，∴Y的分布列为Y－2060140180Peq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,6)E(Y)＝－20×eq\f(1,6)＋60×eq\f(1,3)＋140×eq\f(1,3)＋180×eq\f(1,6)＝eq\f(280,3).∵该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望E(X)＝eq\f(320,3)，eq\f(280,3)<eq\f(320,3)，∴此建议不该被采纳．二、重点难点培优训练1．一个人有n把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意地进行试开，若试开过的钥匙放在一旁，试过的次数X为随机变量，则P(X＝k)＝()A.eq\f(k,n)B.eq\f(1,n)C.eq\f(k－1,n)D.eq\f(k！,n！)解析：选B∵{X＝k}表示“第k次恰好打开，前k－1次没有打开”，∴P(X＝k)＝eq\f(n－1,n)×eq\f(n－2,n－1)×…×eq\f(n－k－1,n－k－2)×eq\f(1,n－k－1)＝eq\f(1,n).2．已知随机变量ξ的分布列为：ξ012Paeq\f(b,2)eq\f(b,2)其中ab≠0，下列说法不正确的是()A．a＋b＝1B．E(ξ)＝eq\f(3b,2)C．D(ξ)随b的增大而减小D．D(ξ)有最大值3．某商家为回馈新老顾客，在2021年的“周年庆典”中开展一系列的促销活动，其中有一项活动是凡购物满6888元的顾客会获得一件赠品，顾客凭购物小票用简单随机抽样方法中的抽签法在甲、乙、丙三种赠品中随机抽取一种赠品，现恰有3名顾客的购物金额满6888元．设随机变量ξ表示获得赠品种类完全相同的顾客人数，则P(ξ＝3)＝________，E(ξ)＝________.解析：由题意得ξ所有可能取值为0,2,3，每个人有三种情况，所以3个人共有33＝27种情况．当ξ＝0时，每个人选中甲、乙、丙各一种赠品，有Aeq\o\al(3,3)＝6种情况，所以P(ξ＝0)＝eq\f(6,27)＝eq\f(2,9)；当ξ＝2时，即有两人选中同一种赠品，另一个人选中另两种中的一种赠品，有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝18种情况，所以P(ξ＝2)＝eq\f(18,27)＝eq\f(2,3)；当ξ＝3时，即三人都选择同一种赠品，有Ceq\o\al(1,3)＝3种情况，所以P(ξ＝3)＝eq\f(3,27)＝eq\f(1,9)，所以E(ξ)＝0×eq\f(2,9)＋2×eq\f(2,3)＋3×eq\f(1,9)＝eq\f(5,3).答案：eq\f(1,9)eq\f(5,3)4．某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏中，主持人给出A，B，C，D四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种食物排出的序号依次为xA，xB，xC，xD，家长猜测的序号依次为yA，yB，yC，yD，其中xA，xB，xC，xD和yA，yB，yC，yD都是1,2,3,4四个数字的一种排列．定义随机变量X＝(xA－yA)2＋(xB－yB)2＋(xC－yC)2＋(xD－yD)2，用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度．(1)若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．①求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；②求X的分布列(简要说明方法，不用写出详细计算过程)；(2)若有一组小孩和家长进行了三轮游戏，三轮的结果都满足X<4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，并说明理由．解：(1)①若家长对小孩的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，先考虑小孩的排序xAxBxCxD为1234的情况，家长的排序有Aeq\o\al(4,4)＝24种等可能结果，其中满足“家长的排序与小孩排序对应位置的数字完全不同”的情况有9种，分别为：2143，2341,2413,3142,3412,3421,4123,4312,4321，所以家长的排序与小孩排序对应位置的数字完全不同的概率P＝eq\f(9,24)＝eq\f(3,8).若小孩对四种食物的排序是其他情况，只需将角标A，B，C，D按照小孩的排序调整即可，其实这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的，所以他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率为eq\f(3,8).②根据①的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，此时家长的排序一共有24种情况．列出所有情况，分别计算每种情况下的X的值．X的分布列如下表：X02468101214161820Peq\f(1,24)eq\f(1,8)eq\f(1,24)eq\f(