解排列组合应用问题的十种思考方法

第1页一、优先考虑：对有特殊元素(即被限制的元素)或特殊位置(被限制的位置)的排列，通常是先排特殊元素或特殊位置，再考虑其它的元素或其它的位置。例1.(1)由0、1、2、3、4、可以组成个无重复数字的三位数。②)由1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有个。二、“捆”在一起：有要求元素相邻(即连排)的排列问题，可以先将相邻的元素看作一个“整体”与其它元素排列，然后“整体”内部再进行排列。例2.(1)有3位老师、4名学生排成一排照相，其中老师必须在一起的排法共有种。(2)有2位老师和6名学生排成一排，使两位老师之间有三名学生，这样的排法共有三、插空档：有要求元素不相邻(即间隔排)的排列问题，可以制造空档插空。例3.(1)五种不同的收音机和四种不同的电视机陈列一排，任两台电视机不靠在…起，(2)6名男生6名女生排成一排，要求男女相间的排法有_种。四、减去特殊情况(即逆向思考):先算暂时不考虑限制条件的排列或组合种数，然后再例4.(1)以正方体的顶点为顶点的四面体共有个。(2)由0、1、2、3、4、可以组成个无重复数字的三位数。第2页(3)集合A有8个元素，集合B有7个元素，A∩B有4个元素，集合C有3个元素且满足下列条件：CcAUB,C∩A≠φ,C∩B≠φ的集合C有几个。(4)从6名短跑运动员中选4人参加4□100米的接力赛，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，共有多少种参赛方案?例5(1)用1、2、3、口9这九个数字，能组成由3个奇数数字、2个偶数数字的不重复的(2)有8本不同的书，从中取出6本，奖给5位数学优胜者，规定第一名(仅一人)得2(3)有五项工作，四个人来完成且每人至少做一项，共有种分配方法。六、除以排列数：对某些元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制排列后，再除去例6(1)有4名学生和3位老师排成一排照相，规定两端不排老师且老师顺序固定不变，那么不同的排法有种。(2)由0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字，十位数字小于百位数字，则这样的数共有个。(3)书架上放有5本书(1~5册),现在要再插入3本书，保持原有的相对顺序不变，有.例7.(1)一部电影在四个单位轮放，每单位放映一场，可以有种放映次序。第3页(2)一排有8个座位，3人去坐，要求每人左右两边都有空位的坐法有种。(3)有6个座位3人去坐，要求恰好有两个空位相连的不同坐法有种。八、分情况研究：分情况研究(即分类计算)复杂的排列、组合综合题，常常通过画简图、按元素的性质“分类”:按事件发生的连续过程“分步”等方法。分情况研究求得结果，尤其对含数字“0”的排列，常分“有0”及“无0”两种情况研究，在“有0”时，排例8.(1)从编号为了1、2、3□9的九个球中任取4个球，使它们的编号之和为奇数，再把这四个球排成一排，共有多少种不同的排法?(2)用0、1、2、39这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数字与两个偶数字的五位(3)用0、1、2、3、4五个数字组成的无重复的五位数中，若按从小到大的顺序排列23140是第几个数?排列与组合(思考方法1～8训练)一.优先考虑1.现有6名同学站成一排：(1)甲不站排头也不站排尾有多少种不同的排法?(2)甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法?2.用0,1,2,3,4,5组成无重复数字的5位数，共可以组成多少个?二.插空3.有6名同学站成一排：甲、乙、丙不相邻有多少种不同的排法?4.有4男4女排成一排，要求(1)女的互不相邻有种排法：(2)男女相间有5.由1、2、3、4、5组成一个无重复数字的5位数，其中2、3必须排在一起，4、5不能排在第4页6.有2位老师和6名学生排成一排，使两位老师之间有三名学生，这样的排法共有种。7.某小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选时的不同选法有16种，则小组中的女生数为。8.6名同学站成一排乙不站排尾有多少种不同的排法?五.先组后排9.有4名学生参加3相不同的小组活动，每组至少一人，有种参加方式。10.从两个集合{1,2,3,4}和{5.6,7}中各取两个元素组成一个四位数，可组成11.书架上放有6本书，现在要再插入3本书，保持原有的相对顺序不变，有种放12.9人(个子长短不同)排队照相，要求中间的最高，两旁依次从高到矮共有科13.某人射击8枪命中4枪，这4枪中恰有3枪连在一起的不同种数是14.三个人坐在…排7个座位上，(1)若3个人中间没有空位，有种坐法。(2)若4个空位中恰有3个空位连在一起，有种坐法。八.分情况(即分类)15.用0,1,2,3,4组成无重复数字的5位数，若按从小到大的顺序排列，则数1234016.某车间有8名会车工或钳工的工人，其中6人会车工，5人会钳工，现从这些工人中选出2人分别干车工和钳工，问不同的选法有多少种?例9.和：(1)用0、1、2、3、4、5、6这七个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数?这些三位数的和是多少?整除：(2)用0、1、2、3、4、5组成无重复数字的五位数，其中第5页I、能被5整除的数有多少个?Ⅱ、能被3整除的数有多少个?Ⅲ、能被6整除的数有多少个?倍数：(3)在1、2、3□100这100个自然数中，每次取不等的两数相乘，使它们的积是7的倍数，这样的取法共有多少种?(取7,11与取11,7认为是同一种取法)(4)在1、2、3□30这三十个数中，每取两两不等的三个数，使它们的和是3的倍数，共有多少种不同的取法?约数：(5)数2160共有多少个正约数(包括1和本身在内)?其中共有多少个正的偶约数?十、分配、分组问题：解题时要注意“均匀”与“非均匀”的区别、分配与分组(分堆)例10.(1)将12本不同的书I、分给甲、乙、丙三人，每人各得4本有种分法。(2)7本不同的书I、全部分给6个人，每人至少一本，共有种不同的分法。Ⅱ、全部分给5个人，每人至少一本，共有种不同的分法。(3)六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，若按下列分配方法，问各有多少种分法?a、甲一本、乙二本、丙三本：有种分法。c、甲一本、乙一本、丙四本；有种分法。第6页排列与组合(思考方法全训练)1.5名男生和2名女生站成一列，男生甲必须站在正中间，2名女生必须站在甲前面，不2.8人排成一排，其中甲、乙、丙三人中有2人相邻，但这3人不同时相邻的排法有 3.现有6张同排连座号的电影票，分给3名老师与3名学生，要求师生相间而坐，则不同的分法4.在200件产品中有3件是次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有5.现从某校5名学生干部中选出4人分别参加上海市“资源”、“生态”、和“环保”三个夏令营，要求每个夏令营活动至少有选出的一人参加，且每人只参加一个夏令营活7.如果从一排10盏灯中关掉3盏灯，那么关掉的是互不相邻的3盒灯的方法有_8.(1)如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种。(以数字作答)(2)同室4人各写了一张贺年卡先集中起来，然后每人从中取回一张别人送出的贺卡，这4张贺年卡不同的分配方式有种。17.(1)由2、3、4、5组成无重复数字的四位数，求：①这些数的数字之和：②这些数的(2)由0、2、5、7、9这5个数字可组成多少个无重复数字且能被3整除的四位数?18.(1)在1、2、3、4、…、50这50个自然数中，每次取出2个(无论先后),使他们的积是13的倍数，这样的取法有多少种?(2)①420共有多少个正约数?②14175共有多少个正约数?19.六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，若按下列分配方法，问各有多少种分法?第7页20.一般地，现有6n本不同的书，①分给甲、乙、丙三人，甲得n本、乙得2n本、丙得3n本，则有种分法。②分给三人，一人得n本、一人得2n本、另一人得3n本，则有种分法。③分给三人，甲、乙各得n本、丙得4n本，则有种分法。④分给三人，其中二人各得n本，另一人得4n本，则有种分法。⑤分成三堆，一堆n本、一堆2n本、一堆3n本，则有种分法。⑥分成三堆，有二堆各n本，还有一堆4n本，则有