(2019新教材)人教A版数学必修第一册知识点

（2019新教材）人教A版必修第一册知识点第一章集合与常用逻辑用语〖1.1〗集合的概率（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象与集合的关系是，或者，两者必居其一.（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集.〖1.2〗集合间的基本关系（1）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集或A中的任一元素都属于B(1)AA(2)(3)若且，则(4)若且，则或真子集AB或BA，且B中至少有一元素不属于A（1）（A为非空子集）(2)若且，则集合相等A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A(1)AB(2)BA（2）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集.〖1.3〗集合的基本运算名称记号意义性质示意图交集且（1）（2）（3）并集或（1）（2）（3）补集12〖1.4〗充分条件与必要条1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若，则”形式的命题中的称为命题的条件，称为命题的结论.若，则是的充分条件，是的必要条件．若，则是的充要条件（充分必要条件）．利用集合间的包含关系：例如：若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件；〖1.5〗全称量词与存在量词1、全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“”表示；全称命题p：；全称命题p的否定p：。⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“”表示；特称命题p：；特称命题p的否定p：；第二章一元二次函数、方程和不等式1、；；．2、不等式的性质：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④，；=5\*GB3⑤；=6\*GB3⑥；=7\*GB3⑦；=8\*GB3⑧．3、常用的基本不等式：=1\*GB3①；=2\*GB3②4、含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集或把看成一个整体，化成，型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式二次函数的图象一元二次方程的根（其中无实根的解集或的解集第三章函数的概念与性质〖3.1〗函数及其表示1、函数的概念①设、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则叫做集合到的一个函数，记作．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．2、区间的概念及表示法（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．3、求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数．②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤零（负）指数幂的底数不能为零．⑥若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑦对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域为，其复合函数的定义域应由不等式解出．⑧对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑨由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．4、求函数的值域或最值①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程，则在时，由于为实数，故必须有，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑦函数的单调性法．5、函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．〖3.2〗函数的基本性质【3.2.1】单调性1、用定义法证明函数单调性的一般步骤取值：即设是该区间内的任意两个值，且，作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．定号：确定的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论．下结论：根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间．在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数2、复合函数与单调性若函数u=g(x)在区间[a,b]上是单调函数，函数y=f(u)在[g(a),g(b)]或[g(b),g(a)]上也是单调函数，那么复合函数y=f[g(x)]在区间[a,b]上是单调函数，其单调性的规律是：函数单调性u=g(x)增函数增函数减函数减函数y=f(u)增函数减函数增函数减函数y=f[g(x)]增函数减函数减函数增函数上述规律可简记为“同増异减”。yxo3、对勾函数yxo分别在、上为增函数，分别在、上为减函数．【3.2.2】奇偶性1、函数奇偶性的定义奇函数：设函数的定义域为，如果对于内的任意一个，都有，且，则这个函数叫做奇函数．偶函数：设函数的定义域为，如果对于内的任意一个，都有，且，则这个函数叫做偶函数．2、奇偶函数的图象特征函数是偶函数的图象关于轴对称；函数是奇函数的图象关于原点对称．3、判断函数奇偶性的方法定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称．若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断或是否为恒等式．定义的等价形式：，．图象法性质法：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；4、奇偶函数的性质函数具有奇偶性其定义域关于原点对称；函数是偶函数的图象关于轴对称；函数是奇函数的图象关于原点对称．奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．若奇函数的定义域包含0，则．5、常见函数的奇偶性正比例函数是奇函数；反比例函数是奇函数；函数是非奇非偶函数；函数是偶函数；常函数是偶函数；对勾函数是奇函数；〖3.3〗幂函数1、幂函数的定义一般地，形如的函数称为幂函数，其中是常数．2、幂函数的图象函数的图象3、幂函数的性质（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在上是增函数；（3）时，①幂函数在上是减函数；②在第一象限内，图象向上与轴无限地接近，向右与轴无限地接近．（4）任何幂函数图象都不经过第四象限；（5）幂函数，当时，若，其图象在直线下方，，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方．（7）幂函数奇偶性①当为偶数时，为偶函数；②当为奇数，为奇数时，为奇函数；③当为奇数，为偶数时，为非奇非偶函数．〖补充知识〗函数的图象变换①平移变换eq\o\ac(○,2)对称变换第四章指数函数与幂函数〖4.1〗指数与指数幂的运算1、根式的概念①定义：若一个数的次方等于，则这个数称的次方根．即若，则称的次方根，（1）当为奇数时，次方根记作；（2）当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作．②性质：1）；2）当为奇数时，；3）当为偶数时，．2、分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：且．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：且．【4.2】指数函数函数名称指数函数定义0101函数且叫做指数函数0101图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，．奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低．【4.3】对数1、对数的定义①若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：．2、几个重要的对数恒等式，，．3、常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即（其中…）．4、对数的运算性质：如果，那么①②③④⑤换底公式：⑥=7\*GB3⑦【4.3】对数函数及其性质函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象001001定义域值域过定点图象过定点，即当时，．奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对 图象的影响在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高．【4.3】函数的应用1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。2、函数零点的意义：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．3、零点存在性判定定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且f(a)·f(b)＜0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c就是方程f(x)=0的根.【说明】这样得到方程f(x)=0在区间(a,b)内必有根，由此只能判断根的存在，既不能判定有多少个实数根，也不能得出根的值.4、函数零点的求法：求函数的零点：eq\o\ac(○,1)（代数法）求方程的实数根；eq\o\ac(○,2)（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．5、二分法：对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．第五章三角函数2、角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．3、与角终边相同的角的集合为4、已知是第几象限角，确定所在象限的方法：先把各象限均分等份，再从轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域．5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度．6、半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是．7、弧度制与角度制的换算公式：，，．8、若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，．9、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，则，，．10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．12、同角三角函数的基本关系：；．13、三角函数的诱导公式：口诀：奇变偶不变，符号看象限．，，．，，．，，．，，．，．，．14、y=siny=sinxxy=cosxy=tanx函数定义域值域奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性单调性最值;，;，无对称轴无对称点15、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：=1\*GB2⑴；=2\*GB2⑵；=3\*GB2⑶；=4\*GB2⑷；=5\*GB2⑸（）；=6\*GB2⑹（）．16、二倍角的正弦、余弦和正切公式：=1\*GB2⑴．=2\*GB2⑵（降幂公式：，）．=3\*GB2