数列的概念课件2-高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.1数列的概念温故知新1、数列的有关概念(1)按确定的顺序排列的一列数叫做数列.(2)数列中的每一个数都叫做数列的项.(3)各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，常用符号a1表示，第2项，用a2表示…，第n项，用an表示….(4)数列的一般形式可以写成a1，a2，…，an，…，简记为{an}.温故知新2、数列的分类1、以项数来分类：

①有穷数列：项数有限的数列

②无穷数列：项数无限的数列.2、以各项的大小关系来分类：(1)递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列；

(2)递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列；

(3)常数列：各项都相等的数列；(4)摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.对任意n∈N*，总有an+1>an(或an+1-an>0).对任意n∈N*，总有an+1<an(或an+1-an<0).温故知新3、数列三种表示方法(1)列表法：列出序号n与项的对应值(2)解析式(通项公式)法：通项公式表示.

数列的图象表示法是一群孤立的点通项公式：

如果数列的第n项an与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.数列是一种特殊的函数：通项公式就是an与n之间的函数关系式an=f(n)数列的几何意义：有穷数列表示有限个孤立的点。

无穷数列表示无限个孤立的点。解：令n2+2n=120，解得n=-12(舍)或n=10，所以120是数列的项，是第10项。例题讲解3、如果数列{an}的通项公式为an=n2+2n，那么120是不是这个数列的项，如果是，是第几项？例题讲解4、下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形，在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式.解：在以上4个图中，着色三角形的个数依次为1，3，9，27，即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.因此，这个数列的一个通项公式是an=3n-1.换个角度观察图中的4个图形，可以发现，①a1=1；②每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为3个着色小三角形和1个无色小三角形；③从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍；这样，例4中的数列的前4项满足a1=1，a2

=3a1，a3

=3a2，a4

=3a3，由此猜测这个数列满足公式探究新知

像an=3n-1这样，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.

知道了首项或前几项以及递推公式，就能求出数列的每一项了.探究新知8、递推公式当不能明显看出数列的项的取值规律时，可以尝试通过运算来寻找规律.如依次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，再对差或商加以观察.递推公式也是数列的一种表示方法。探究新知5、数列的表示方法从例题中你发现数列有那些表示方法？(1)列表法(列出序号n与项的对应值)(4)递推公式法(2)图像法(一系列孤立的点)(3)通项公式法(解析法)：an=f(n)

例题讲解5、已知数列的第1项是1，以后的各项由公式给出，写出这个数列的前5项.

解：a1=1通项公式和递推公式之间的差别与联系：通项公式可以确定数列递推公式项an是序号n的函数an=f(n)已知a1及相邻项间的关系区别联系联系随堂练习1、根据递推公式，分别写出它的前5项，并归纳出通项公式：(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；(2)a1＝1，解：(1)a1＝0，a2＝a1＋1＝1，a3＝a2＋3＝4，a4＝a3＋5＝9，a5＝a4＋7＝16.由a1＝02，a2＝12，a3＝22，a4＝32，a5＝42，可归纳出an＝(n－1)2.(2)a1＝1，随堂练习2、在数列{an}中，(1)求数列{an}的前5项(2)求a2021(2)周期为3，2021=3×673+2，所以a2021=a3×673+2=a2=-1。随堂练习3、在数列{an}中，(1)求a2，a3，a4；(2)猜想{an}的通项公式解：(1)a2=2+ln2a3=2+ln3a4=2+ln4(2)an=2+lnn探究新知9、数列的前n项和公式：在对数列的研究中，求数列某些项的和是主要问题之一.

我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即

Sn=a1+a2+...+an.如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.随堂练习4、练习(1)数列{an}的通项公式为an=n，则S3=

，S5=

，S1=

。(2)数列{an}的前n项和为Sn，S7=30，S8=40，则a8=

。615101

思考：an与Sn的关系？探究新知9、数列的前n项和公式：an与Sn的关系

我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即

Sn=a1+a2+...+an.

显然S1=a1，而Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2)，于是我们有例题讲解6、已知数列{an}的前几项和公式为Sn=n2+n,(1)求S3，S5，Sn-1；(2)求出{an}的通项公式.解：(1)S3=32+3=12，S5=52+5=30，Sn-1=(n-1)2+(n-1)=n2-n.(2)当n=1时，a1=S1=2，当n>1时，an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)²+(n-1)]=2n(n≥2)，①将n=1代入①式得，2×1=2=a1所以当n=1时，①式依然成立.故{an}的通项公式是an=2n.随堂练习5、已知数列{an}的前几项和公式为Sn=-2n2，求{an}的通项公式。解：(1)当n=1时，a1=S1=-2，当n>1时，an=Sn-Sn-1=

-2n2

-[-2(n-1)²]=2-4n(n≥2),①将n=1代入①式得，2-4=-2=a1所以当n=1时，①式依然成立.故{an}的通项公式是an=2-4n.随堂练习6、已知数列{an}的前几项和公式为Sn=n2+4，求{an}的通项公式。解：(2)当n=1时，a1=S1=1+4=5;当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n2+4)-[(n-1)2+4]=2n-1.①将n=1代入①式得，2-1=1≠5=a1所以当n=1时，①式不成立.例题讲解7、已知函数

，构造数列an＝f(n)(n∈N*)．(1)求证：an>－2；(2)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？因为n∈N*，所以an>－2.(2)数列{an}为递减数列．理由如下：即an＋1<an所以数列{an}为递减数列．方法技巧

根据函数单调性的定义，采用作差法或作商法比较an与an+1的大小关系，从而判断数列{an}的单调性，

若an+1>an恒成立，则{an}是递增数列;

若an+1<an恒成立，则{an}是递减数列.随堂练习7、已知数列{an}的通项公式为.求证：此数列为递增数列.由n∈N*，得an+1-an>0，即an+1>an.所以数列{an}是递增数列.随堂练习8、已知

，试问数列{an}中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．所以a1<a2<a3<…<a7<a8＝a9>a10>a11>a12>…，故数列{an}存在最大项，最大项为

数列的最大、最小项问题，可以通过研究数列的单调性加以解决，若求最大项an，n的值可通过解不等式组来确定；若求最小项an，n的值可通过解不等式组来确定.小结课后练习1、已知a1=2，an+1=2an，求出前5项，并猜想an.解：数列的前5项分别为a1=2，a2=2×2=22，a3=2×22=23，a4=2×23=24，a5=2×24=25法一：观察可得：an=2n法二：由an+1=2an，得an=2an-1课后练习2、已知数列{an}中，a1