第四节　基本不等式

第四节基本不等式(1)基本不等式成立的条件：

.(2)等号成立的条件：当且仅当

时取等号．a>0，b>0a＝b(1)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(2)注意基本不等式成立的条件是a>0，b>0，若a<0，b<0，应先转化为－a>0，－b>0，再运用基本不等式求解．(3)“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．(4)要多次运用基本不等式才能求出最后结果的题目切记等号成立的条件要一致．A．有最小值，且最小值为2B．有最大值，且最大值为2C．有最小值，且最小值为－2D．有最大值，且最大值为－25．(人教A版必修第一册P48·T1(2)改编)函数y＝x(3－2x)(0≤x≤1)的最大值是________．层级一/基础点——自练通关(省时间)基础点(一)配凑法求最值

[题点全训][一“点”就过]1．拼凑法求最值拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．2．拼凑法求解最值应注意的问题(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的条件．基础点(二)常数代换法求最值

[题点全训]3．已知x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，则x＋y的最小值是________．[一“点”就过]1．常数代换法的运用技巧常数代换的实质是x×1＝x，所以关键是找到常数，从而找到结果为1的式子，然后通过乘积的运算利用基本不等式解题．2．用常数代换法求最值时应注意的两个方面(1)注意目标代数式的结构特征，看是否需要整体乘以“1”的替身；2．已知实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值为________．3．(2020·江苏高考)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是_______．[一“点”就过]利用消元法求最值的技巧消元法，即先根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式，再进行最值的求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解，但应注意各个元的范围．层级二/重难点——逐一精研(补欠缺)不会利用双换元法求含两参数的最值问题若题目中含有求两个分式的最值问题，解决这类问题最常用的方法就是双换元，分别设两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．——————————————————————————————————重难点(一)基本不等式的实际应用

[典例]

为了缓解市民吃肉难的生活问题，某生猪养殖公司欲将一批猪肉用冷藏汽车从甲地运往相距120km的乙地，运费为每小时60元，装卸费为1000元，猪肉在运输途中的损耗费(单位：元)是汽车速度(单位：km/h)值的2倍．(说明：运输的总费用＝运费＋装卸费＋损耗费)(1)为使运输的总费用不超过1260元，求汽车行驶速度的范围；(2)若要使运输的总费用最小，汽车的行驶速度为多少？利用基本不等式解决实际应用问题的思路(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．

[针对训练]如图，某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园ABCD，公园由矩形的休闲区(阴影部分)A1B1C1D1和环公园人行道组成，已知休闲区A1B1C1D1的面积为1000m2，人行道的宽分别为5m和8m，设休闲区的长为xm.(1)求矩形ABCD所占面积S(单位：m2)关于x的函数解析式；(2)要使公园所占面积最小，问休闲区A1B1C1D1的长和宽应分别为多少m?考法2求参数的值或取值范围[例2]

已知正数x，y满足4x＋9y＝xy且x＋y<m2－24m有解，则实数m的取值范围是________．(1)当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值．(2)求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定等号成立的条件，从而得到参数的值或范围．层级三/细微点——优化完善(扫盲点)一、全面清查易错易误点1．(忽视等号成立的条件)

在下列函数中，最小值是2的函数有

(

)6.(体现数学应用)如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且