第21课　二项分布

第九单元

离散型随机变量及其分布9.2二项分布情境引入概念形成例题分析巩固练习小结作业情境引入某射击运动员进行了4次射击,每次击中目标的概率都是1/4,每次击中目标与否是相互独立的,用ξ表示击中目标的次数,请思考ξ是否是一个离散型随机变量?如果是,你能否写出ξ的概率分布。概念形成引导学生借助GGB探究情境问题在上述情境中,ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,它是一个离散型随机变量。若ξ=i（i=0,1,2,3,4）,表示进行了4次射击,有i次击中目标,4-

i次没击中目标，根据乘法原理,则i次击中目标的概率是教师借助GGB软件演示。概念形成一般地,在相同条件下,重复进行n

次试验,如果每次试验的结果都是独立的,那么这n次重复实验叫作n次独立重复试验。射击运动员进行了4次射击的随机试验，就是进行了4次独立重复试验.每次试验的结果只有两个：击中目标或者没有击中目标(符合两点分布)。而且结果是相互独立的,即各个事件发生的概率是相互没有影响的。概念形成一般地,在n次独立重复试验中,如果每次试验的结果只有两个,它们相互独立,就是只考虑两个事件A和,而且在每次试验中,事件A发生的概率都不变,这样的n次独立重复试验叫作n次伯努利试验。教师借助GGB软件演示。如果每次试验中事件A发生的概率为P(A)=p,事件A不发生的概率为P()=1-p,那么,在n次伯努利试验中,事件A恰好发生k次的概率为这个公式叫作伯努利公式概念形成伯努利公式在形式上就是二项式[(1-p)+p]n展开式的第(k+1)项。我们把具有两种独立试验结果的离散型随机变量ξ的概率分布列叫作二项分布,称离散型随机变量ξ服从参数为n和p的二项分布,记作ξ~B(n,p)。概念形成例1.在情境问题中,我们来求ξ的分布列.解击中目标的次数ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,根据伯努利公式得所以,ξ的分布列为例题分析例2.某公司6名设计师借助互联网开展工作,每名设计师上网的概率都是0.5.(1)求至少3人同时上网的概率；(2)至少几人同时上网的概率小于0.3?解：每名设计师上网是相互独立的事件,设这个事件为A,这是伯努利试验.随机变量ξ为事件A发生的次数,即上网人数.(1)至少3人同时上网,这时的所有可能取值为3,4,5,6,所以，例题分析(2)由(1)知,至少3人同时上网的概率为

，大于0.3.

至少4人同时上网的概率为例题分析至少5人同时上网的概率为所以,至少5人同时上网的概率小于0.3教师借助GGB软件演示。例题分析例3.某篮球运动员投篮命中率为p=0.6.(1)1次投篮命中次数ξ是否服从两点分布?如果是,求它的期望与方差.(2)重复3次投篮命中次数ξ是否服从二项分布?如果是,求它的期望、方差及标准差.解(1)1次投篮有两个结果,命中与不中,因此命中次数ξ服从两点分布.1次投篮,命中次数ξ的分布列如表所示.ξ01P0.40.6期望为E(ξ)=0×0.4+1×0.6=0.6.方差为D(ξ)=(0-0.6)2×0.4+(1-0.6)2×0.6=0.24.例题分析(2)重复3次投篮可认为是3次独立重复实验,命中次数ξ服从二项分布.3次投篮命中次数ξ的所有可能取值为0,1,2,3,根据伯努利公式得P(ξ=0)=×0.60×(1-0.6)3=0.064,P(ξ=1)=×0.61×(1-0.6)2=0.288,P(ξ=2)=×0.62×(1-0.6)1=0.432,P(ξ=3)=×0.63×(1-0.6)0=0.216.所以,随机变量ξ的分布列如表所示.ξ0123P0.0640.2880.4320.216例题分析期望为E(ξ)=0×0.064+1×0.288+2×0.432+3×0.216=1.8.方差为D(ξ)=(0-1.8)2×0.064+(1-1.8)2×0.288+(2-1.8)2×0.432+(3-1.8)2×0.216=0.72.标准差为一般地,以上两种分布列的期望、方差有以下的公式.(1)两点分布:E(ξ)=p,方差D(ξ)=p(1-p).(2)二项分布:若ξ~B(n,p),则期望E(ξ)=np,方差D(ξ)=np(1-p).巩固练习1.在含有4件次品的10件产品中,任取3件,求:(1)取得的次品数的分布列、均值、方差和标准差;(2)至少取得1件次品的概率.2.在篮球赛中,某篮球运动员的罚球命中率是0.8,若他被任意罚球2次,