河北省廊坊市广阳区2023-2024学年九年级上学期11月期中数学试题

2023-2024学年河北省廊坊市广阳区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1～6小题各3分，7～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目求的）1．（3分）下列属于中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列抛物线经过原点的是（）A．y＝x2+1 B．y＝（x+1）2 C．y＝x2+2x D．y＝x2﹣x+13．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程变形正确的是（）A．（x﹣1）2＝6 B．（x﹣2）2＝9 C．（x+1）2＝6 D．（x+2）2＝94．（3分）已知⊙O的直径为10，直线l与⊙O相交，则圆心O到直线l的距离可能是（）A．4 B．5 C．6 D．85．（3分）如图是由6个等边三角形组成的中心对称图形，点A，B，C是三角形的顶点，D是边AC的中点，则该图形的对称中心是（）A．点A B．点B C．点C D．点D6．（3分）点（﹣2，y1）（﹣3，y2）是抛物线y＝﹣（x+1）2+m上的点，则y1，y2的大小关系为（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定7．（2分）关于x的方程x2﹣mx+m﹣1＝0的根的情况是（）A．无实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个实数根 D．无法确定8．（2分）2023年某电影上映的第一天票房为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为6.62亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（）A．2（1+x）＝6.62 B．2（1+x）2＝6.22 C．2（1+x）+2（1+x）2＝6.62 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝6.629．（2分）如图，AB为⊙O的切线，B为切点，AO交⊙O于点C，点D在优弧上，若∠D＝24°，则∠A的度数为（）A．48° B．42° C．58° D．52°10．（2分）如图，坐标平面上有一个透明胶片，透明胶片上有一条抛物线及抛物线上一点P，且抛物线为y＝x2，点P的坐标是（2，4）．若将此透明胶片进行平移后，使点P的坐标为（0，3），则此时抛物线的解析式为（）A．y＝（x+2）2+1 B．y＝（x+2）2﹣1 C．y＝（x﹣2）2+1 D．y＝（x﹣2）2﹣111．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝35°．将△ABC绕点C顺时针旋转到△A′B′C，旋转角为α（0°＜α＜180°）．当点B的对应点B′恰好落在边AB上时，旋转角α的度数为（）A．35° B．55° C．65° D．70°12．（2分）函数y＝ax2﹣2x+1（a≠0）在平面直角坐标展中的图象可能是（）A． B． C． D．13．（2分）如图，点P1～P6是⊙O的六等分点．若△P1P5P6，△P2P3P5的周长分别为C1，C2，面积分别为S1，S2，则下列正确的是（）A．C1＝C2 B．C2＝2C1 C．S1＝S2 D．S2＝2S114．（2分）如图，某窗户由矩形ABCD和弓形组成，已知AD＝3m，弓形的高度EF＝1m（E是的中点），现设计安装玻璃，则所在⊙O的半径为（）A． B． C．5m D．15．（2分）已知关于x的二次函数y＝ax2﹣6ax+9a+5（a＜0），在m≤x≤6的取值范围内，若0＜m＜3，则（）A．函数有最大值9a+5 B．函数有最大值5 C．函数没有最小值 D．函数没有最大值16．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，O是边AB上一点，以点O为圆心，OA长为半径在边AB的右侧作半圆O，交边AB于点P，交边AC于点Q．关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（）结论Ⅰ：当BQ的长度最短时，半圆O的半径为；结论Ⅱ：当BQ＝BC时，BQ与半圆O相切，且OP＝BP．A．只有结论Ⅰ对 B．只有结论Ⅱ对 C．结论Ⅰ、Ⅱ都对 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不对二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18～19小题各4分，每空2分）17．（2分）点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标为．18．（4分）如图，点D是△ABC的内心，AD的延长线和△ABC的外接圆相交于点E，连接BE，CE，且∠BAC＝50°；（1）∠BEC的度数为；（2）∠BCE的度数为．19．（4分）如图，嘉嘉用计算机编程模拟抛出的弹跳球落在斜面上反弹后的距离，当弹跳球以某种特定的角度从点P（0，1）处抛出后，弹跳球的运动轨迹是抛物线L，其最高点的坐标为（4，5）．弹跳球落到斜面上的点A处反弹后，弹跳球的运动轨迹是抛物线L'且开口大小和方向均与L相同，但最大高度只是抛物线L最大高度的．（1）抛物线L的解析式为；（2）若点A与点P的高度相同，且点A在抛物线L′的对称轴的右侧，则抛物线L'的对称轴为直线．三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（9分）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一部分，如图所示．（1）若所捂的部分为0，求x的值；（2）若所捂的部分为3x2﹣7x+4，求x的值．21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣1，5），B（﹣1，1），C（3，1），将△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△AED（点B的对应点为点E），且点E在边AC上．（1）旋转角α的度数为；DE的长为；AD的长为；（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A'B'C'，请在图中画出△A'B'C'，并直接写出点C'的坐标．22．（9分）农厂要建一个如图所示的矩形围栏ABCD，围栏的一面靠墙（墙长25m），另外三面用50m长的篱笆围起来．设围栏的长BC为xm．（1）围栏的宽AB为m；（用含x的代数式表示）（2）若该围栏围成矩形ABCD的面积为300m2，求x的值；（3）农厂主通过计算发现该围栏围成的矩形ABCD的面积不可能为400m2，请你说明理由．23．（10分）如图1，正方形ABCD内接于⊙O，连接AC，P是⊙O上的动点（不与点A重合），连接AP．（1）如图2，当P是CD的中点时，过点D作⊙O的切线，与AP的延长线交于点Q．①AC与DQ之间的位置关系是，并说明理由；②求∠Q的度数；（2）连接DP，请直接写出∠APD的度数．24．（10分）近年来国家倡导“电动车，上牌照，保安全，戴头盔”．某头盔专卖店购进一批单价为36元的头盔、在销售中，通过分析销售情况发现这种头盔的月销售量y（个）与售价x（元/个）（42≤x≤72）满足函数关系y＝﹣2x+200．专卖店的优惠活动：若购买一个这种头盔，就赠送一个成本为6元的头盔面罩．（1）设专卖店在优惠活动期间，月销售利润为w元，求w与x之间的函数解析式；（2）嘉嘉说：“在优惠活动期间，该专卖店的月销售的最大利润能达到1700元．”请判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由．25．（12分）在矩形ABCD中，AB＝6，连接AC，∠DAC＝30°，将半圆形量角器放在如图1所示的位置，其直径AE（AE＝8）在边AD上，点E是量角器上的零刻度，交AC于点F，点O是半圆形量角器所在圆的圆心．（1）求点F在半圆形量角器上的度数；（2）将半圆形量角器绕点A顺时针旋转α（0°≤α≤180°）．①当点E旋转到AC上时，交AB于点M，如图2所示．求证：BC与半圆形量角器相切；②在旋转过程中，当与直线BC只有一个交点（不包括端点A，E）时，设此交点与点C的距离为d，请直接写出d的取值范围．26．（13分）如图，抛物线L：y＝a（x﹣1）（x﹣5）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC，P（m，n）为抛物线L的对称轴右侧上的点（不含顶点）．（1）求a的值和抛物线的顶点坐标；（2）设抛物线L在点C和点P之间部分（含点C和点P）的最高点与最低点的纵坐标之差为h，求h与m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；（3）当点P（m，n）的坐标满足m+n＝19时，连接CP．将直线CP与抛物线L围成的封闭图形记为G．①求点P的坐标；②直接写出封闭图形G的边界上的整点（横、纵坐标都是整数的点）的个数．2023-2024学年河北省廊坊市广阳区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1～6小题各3分，7～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目求的）1．（3分）下列属于中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形的概念求解．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．【解答】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形．选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形．故选：D．【点评】本题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．（3分）下列抛物线经过原点的是（）A．y＝x2+1 B．y＝（x+1）2 C．y＝x2+2x D．y＝x2﹣x+1【分析】将x＝0分别代入各抛物线的解析式，如果求出y＝0，那么该抛物线经过原点．【解答】解：A、将x＝0代入，得y＝1，所以该抛物线不经过原点，本选项不符合题意；B、将x＝0代入，得y＝1，所以该抛物线不经过原点，本选项不符合题意；C、将x＝0代入，得y＝0，所以该抛物线经过原点，本选项符合题意；D、将x＝0代入，得y＝1，所以该抛物线不经过原点，本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线经过点，则该点的坐标满足函数的解析式．3．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程变形正确的是（）A．（x﹣1）2＝6 B．（x﹣2）2＝9 C．（x+1）2＝6 D．（x+2）2＝9【分析】方程移项，配方得到结果，即可做出判断．【解答】解：方程变形得：x2﹣2x＝5，配方得：x2﹣2x+1＝6，即（x﹣1）2＝6，故选：A．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．4．（3分）已知⊙O的直径为10，直线l与⊙O相交，则圆心O到直线l的距离可能是（）A．4 B．5 C．6 D．8【分析】根据直线l和⊙O相交⇔d＜r，判断即可得到问题的选项．【解答】解：∵⊙O的直径为10∴⊙O的半径为5，∵直线l与⊙O相交，∴圆心O到直线l的距离d的取值范围是0≤d＜5，故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是记住①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．5．（3分）如图是由6个等边三角形组成的中心对称图形，点A，B，C是三角形的顶点，D是边AC的中点，则该图形的对称中心是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【分析】根据中心对称图形的概念分析判断后即可得解．【解答】解：此图绕D点旋转180度后与原图重合，所以对称中心是D点．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合是解题的关键．6．（3分）点（﹣2，y1）（﹣3，y2）是抛物线y＝﹣（x+1）2+m上的点，则y1，y2的大小关系为（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，然后根据二次函数的性质得到y1、y2的大小关系．【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+m，∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，∵﹣1＞﹣2＞﹣3，∴y1＞y2．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．7．（2分）关于x的方程x2﹣mx+m﹣1＝0的根的情况是（）A．无实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个实数根 D．无法确定【分析】表示出根的判别式，判断判别式的正负即可确定出方程根的情况．【解答】解：x2﹣mx+m﹣1＝0，Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（m﹣1）＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥0，∴方程有两个实数根，故选：C．【点评】此题考查了根的判别式，弄清根的判别式与方程根的关系是解本题的关键．8．（2分）2023年某电影上映的第一天票房为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为6.62亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（）A．2（1+x）＝6.62 B．2（1+x）2＝6.22 C．2（1+x）+2（1+x）2＝6.62 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝6.62【分析】根据第一天的票房及平均每天票房的增长率，可得出该电影上映的第二天票房为2（1+x）亿元，第三天票房为2（1+x）2亿元，结合三天累计票房为6.62亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：∵某电影上映的第一天票房为2亿元，且平均每天票房的增长率为x，∴该电影上映的第二天票房为2（1+x）亿元，第三天票房为2（1+x）2亿元．根据题意得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝6.62．故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．（2分）如图，AB为⊙O的切线，B为切点，AO交⊙O于点C，点D在优弧上，若∠D＝24°，则∠A的度数为（）A．48° B．42° C．58° D．52°【分析】先利用圆周角定理求出∠COB，再根据切线的性质可以得到∠A＝90°﹣∠COB．【解答】解：∵∠D＝24°，∴∠COB＝2∠D＝2×24°＝48°，又∵AB为⊙O的切线，∴∠OBA＝90°，∴∠A＝90°﹣∠COB＝90°﹣48°＝42°，故选：B．【点评】本题考查圆周角定理，切线的性质，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握以上知识点是解本题的关键．10．（2分）如图，坐标平面上有一个透明胶片，透明胶片上有一条抛物线及抛物线上一点P，且抛物线为y＝x2，点P的坐标是（2，4）．若将此透明胶片进行平移后，使点P的坐标为（0，3），则此时抛物线的解析式为（）A．y＝（x+2）2+1 B．y＝（x+2）2﹣1 C．y＝（x﹣2）2+1 D．y＝（x﹣2）2﹣1【分析】先根据平移前后点P的坐标判断出平移方式，再根据二次函数“上加下减，左加右减”的平移规律可得答案．【解答】解：∵在抛物线经过平移后，抛物线上一点P的坐标由（2，4）变为（0，3），∴抛物线的平移方式为向左平移2个单位长度，向下平移1个单位长度，∴抛物线y＝x2向左平移2个单位长度，向下平移1个单位长度后的解析式为y＝（x+2）2﹣1，故选：B．【点评】本题主要考查了二次函数图象的平移，坐标与图形变化—平移，熟练掌握平移法则是解答本题的关键．11．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝35°．将△ABC绕点C顺时针旋转到△A′B′C，旋转角为α（0°＜α＜180°）．当点B的对应点B′恰好落在边AB上时，旋转角α的度数为（）A．35° B．55° C．65° D．70°【分析】根据图形旋转的性质可得∠α＝∠BCB′，BC＝B′C，从而得到∠B＝∠BB′C，再由“直角三角形两锐角互余”可得∠B＝∠BB′C＝55°，即可求解．【解答】解：根据题意得：∠α＝∠BCB′，BC＝B′C，∴∠B＝∠BB′C，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，∴∠B＝∠BB′C＝55°，∴∠α＝∠BCB′＝180°﹣（∠B+∠BB′C）＝70°．故选：D．【点评】本题主要考查了图形的旋转，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．12．（2分）函数y＝ax2﹣2x+1（a≠0）在平面直角坐标展中的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】根据a的不同情况分类讨论进行分析即可得到答案．【解答】解：∵y＝ax2﹣2x+1（a≠0），当a＞0时，函数y＝ax2﹣2x+1的图象开口向上；对称轴，在y轴的右侧；c＝1＞0，图象交y轴的正半轴；故C、D不符题意；当a＜0时，函数y＝ax2﹣2x+1的图象开口向下；对称轴，在y轴的左侧；c＝1＞0，图象交y轴的正半轴；故A不符题意，B符合题意．故选：B．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数各项系数的意义，以及对称轴是解题的关键．13．（2分）如图，点P1～P6是⊙O的六等分点．若△P1P5P6，△P2P3P5的周长分别为C1，C2，面积分别为S1，S2，则下列正确的是（）A．C1＝C2 B．C2＝2C1 C．S1＝S2 D．S2＝2S1【分析】连接OP1，OP6，P3P4，由于点P1～P6是⊙O的六等分点，可得P1P6∥P2P5∥P3P4，P1P6＝P5P6＝P2P3，P1P5＝P3P5，进而得出两个三角形面积之间的关系和周长之间的关系．【解答】解：连接OP1，OP6，P3P4，∵点P1～P6是⊙O的六等分点，∴P1P6∥P2P5∥P3P4，P1P6＝P5P6＝P2P3，P1P5＝P3P5，∠P1OP6＝60°，∴△P1OP6是等边三角形，∴P2P5＝2P1P6，∴S＝2S1，故D正确，C不正确；∴两个三角形有两条边相等，一条边是2倍关系，∴C2≠C1≠2C1，故A、B不正确．故选：D．【点评】本题考查了正多边形和圆，解题的关键是添加辅助线得出P2P5与P1P6的数量关系．14．（2分）如图，某窗户由矩形ABCD和弓形组成，已知AD＝3m，弓形的高度EF＝1m（E是的中点），现设计安装玻璃，则所在⊙O的半径为（）A． B． C．5m D．【分析】根据垂径定理可得，再表示出OF，然后利用勾股定理列式进行计算即可得解．【解答】解：∵弓形的跨度AB＝3m，EF为弓形的高，E是的中点，∴OE⊥AD于F，∴AF＝AD＝3，设圆O的半径为r，∵弓形的高EF＝1m，∴AO＝r，OF＝r﹣1，在Rt△AOF中，由勾股定理可知：AO2＝AF2+OF2，∴，解得r＝．故选：A．【点评】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，把半弦，弦心距，半径三者放到同一个直角三角形中，利用勾股定理解答是解题的关键．15．（2分）已知关于x的二次函数y＝ax2﹣6ax+9a+5（a＜0），在m≤x≤6的取值范围内，若0＜m＜3，则（）A．函数有最大值9a+5 B．函数有最大值5 C．函数没有最小值 D．函数没有最大值【分析】抛物线的对称轴为直线x＝3则在m≤x≤6的取值范围内，若0＜m＜3，则x＝m和x＝6在对称轴的两侧，则抛物线在顶点处取得最大值，即可求解．【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝3，则在m≤x≤6的取值范围内，若0＜m＜3，则x＝m和x＝6在对称轴的两侧，则抛物线在顶点处取得最大值，即x＝3时，y＝9a﹣6a×3+9a+5＝5，故选：B．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和不等式的性质解答．16．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，O是边AB上一点，以点O为圆心，OA长为半径在边AB的右侧作半圆O，交边AB于点P，交边AC于点Q．关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（）结论Ⅰ：当BQ的长度最短时，半圆O的半径为；结论Ⅱ：当BQ＝BC时，BQ与半圆O相切，且OP＝BP．A．只有结论Ⅰ对 B．只有结论Ⅱ对 C．结论Ⅰ、Ⅱ都对 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不对【分析】当BQ⊥AC时，BQ的长度最短，由AP是⊙O的直径，得∠AQP＝90°，则PQ⊥AC，可知此时点P与点B重合，由BC＝2，AC＝2BC＝4，求得AP＝AB＝＝2，则半圆O的半径为，可判断结论Ⅰ正确；当BQ＝BC时，连接OQ，因为∠C＝60°，所以△QBC是等边三角形，则∠QBC＝60°，所以∠ABQ＝30°，而∠OQA＝∠BAC＝30°，则∠BOQ＝∠OQA+∠BAC＝60°，所以∠OQB＝90°，可证明BQ与半圆O相切，且OP＝BP，可判断结论Ⅱ正确，于是得到问题的答案．【解答】解：如图1，当BQ⊥AC时，BQ的长度最短，∵AP是⊙O的直径，∴∠AQP＝90°，∴PQ⊥AC，∴点P与点B重合，∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，∴AC＝2BC＝4，∴AP＝AB＝＝＝2，∴OP＝AP＝，∴半圆O的半径为，故结论Ⅰ正确；当BQ＝BC时，如图2，连接OQ，∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，∴∠C＝60°，∴△QBC是等边三角形，∴∠QBC＝60°，∴∠ABQ＝∠ABC﹣∠QBC＝30°，∵OQ＝OQ，∴∠OQA＝∠BAC＝30°，∴∠BOQ＝∠OQA+∠BAC＝60°，∴∠OQB＝180°﹣∠ABQ﹣∠BOQ＝90°，∵OQ是⊙O的半径，且BQ⊥OQ，∴BQ与半圆O相切，∵OQ＝OP，∴OB＝2OQ＝2OP，∴OP＝BP，故结论Ⅱ正确，故选：C．【点评】此题重点考查直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、等边三角形的判定与性质、勾股定理、切线的判定定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18～19小题各4分，每空2分）17．（2分）点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标为（﹣3，2）．【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．【解答】解：点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标为（﹣3，2），故答案为：（﹣3，2）．【点评】此题主要考查了两个点关于原点对称时，关键是掌握点的坐标的变化规律．18．（4分）如图，点D是△ABC的内心，AD的延长线和△ABC的外接圆相交于点E，连接BE，CE，且∠BAC＝50°；（1）∠BEC的度数为130°；（2）∠BCE的度数为25°．【分析】利用圆内接四边形对角互补得出∠BEC＝130°；再利用点D是△ABC的内心得出，利用同弧所对圆周角相等得出∠BCE＝∠BAE＝25°．【解答】解：由图得：四边形ABEC有外接圆，∴∠BAC+∠BEC＝180°，∴∠BEC＝180°﹣50°＝130°；∵点D是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，∴，∴∠BCE＝∠BAE＝25°；故答案为：130°，25°．【点评】本题考查了圆的内接四边形的性质，三角形内心的定义，圆的基本性质；掌握性质，理解三角形内心的定义：“三角形的内角平分线的交点叫做三角形的内心”是解题的关键．19．（4分）如图，嘉嘉用计算机编程模拟抛出的弹跳球落在斜面上反弹后的距离，当弹跳球以某种特定的角度从点P（0，1）处抛出后，弹跳球的运动轨迹是抛物线L，其最高点的坐标为（4，5）．弹跳球落到斜面上的点A处反弹后，弹跳球的运动轨迹是抛物线L'且开口大小和方向均与L相同，但最大高度只是抛物线L最大高度的．（1）抛物线L的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+5；（2）若点A与点P的高度相同，且点A在抛物线L′的对称轴的右侧，则抛物线L'的对称轴为直线x＝6．【分析】（1）根据已知得抛物线L的顶点是（4，5），设抛物线L为y＝a（x﹣4）2+5，把P（0，1）代入解析式求出a即可；（2）把y＝1代入抛物线L的解析式求出点A坐标，再根据题意设抛物线L′解析式为y＝﹣（x﹣m）2+2，把点A坐标代入抛物线L′解析式求出m即可．【解答】解：（1）根据已知得抛物线L的顶点是（4，5），设抛物线L为y＝a（x﹣4）2+5，把P（0，1）代入解析式得：1＝a（0﹣4）2+5，解得：a＝﹣，∴抛物线L的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+5，故答案为：y＝﹣（x﹣4）2+5；（2）∵点A在抛物线L上，∴当y＝1时，﹣（x﹣4）2+5＝1，解得x1＝0，x2＝8，∴A（8，1），∵开口方向及大小不变，反弹后高度变为第一次高度的，∴抛物线L′顶点纵坐标为2，∴设抛物线L′解析式为y＝﹣（x﹣m）2+2，把A（8，1）代入y＝﹣（x﹣m）2+2得，﹣（8﹣m）2+2＝1，解得m＝6或m＝10（舍去），∴抛物线L'的对称轴为直线x＝6．故答案为：x＝6．【点评】本题考查了二次函数的应用，关键是用待定系数法求出抛物线L的解析式．三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（9分）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一部分，如图所示．（1）若所捂的部分为0，求x的值；（2）若所捂的部分为3x2﹣7x+4，求x的值．【分析】（1）根据题意可得x2+2x＝0，利用因式分解法解答即可；（2）根据题意可得x2+2x＝3x2﹣7x+4，再利用因式分解法解答即可．【解答】解：（1）由已知得，x2+2x＝0，∴x（x+2）＝0，解得x1＝﹣2，x2＝0；（2）由已知得，x2+2x＝3x2﹣7x+4，∴2x2﹣9x+4＝0，∴（2x﹣1）（x﹣4）＝0，解得x3＝，x4＝4．【点评】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程方法是解题的关键．21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣1，5），B（﹣1，1），C（3，1），将△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△AED（点B的对应点为点E），且点E在边AC上．（1）旋转角α的度数为45°；DE的长为4；AD的长为；（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A'B'C'，请在图中画出△A'B'C'，并直接写出点C'的坐标．【分析】（1）由旋转可得，旋转角为∠BAE＝45°，DE＝BC＝4，AD＝AC＝＝，即可得出答案．（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案．【解答】解：（1）由旋转可得，旋转角为∠BAE＝45°，DE＝BC＝4，AD＝AC，由勾股定理得，AC＝＝，∴旋转角α的度数为45°，DE的长为4，AD的长为．故答案为：45°；4；．（2）如图，△A'B'C'即为所求．点C'的坐标为（1，﹣3）．【点评】本题考查作图﹣旋转变换、勾股定理，熟练掌握旋转的性质、勾股定理是解答本题的关键．22．（9分）农厂要建一个如图所示的矩形围栏ABCD，围栏的一面靠墙（墙长25m），另外三面用50m长的篱笆围起来．设围栏的长BC为xm．（1）围栏的宽AB为m；（用含x的代数式表示）（2）若该围栏围成矩形ABCD的面积为300m2，求x的值；（3）农厂主通过计算发现该围栏围成的矩形ABCD的面积不可能为400m2，请你说明理由．【分析】（1）利用AB的长＝，即可用含x的代数式表示出AB的长；（2）根据该围栏围成矩形ABCD的面积为300m2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合墙长25m，即可确定x的值；（3）假设该围栏围成的矩形ABCD的面积能为400m2，根据该围栏围成矩形ABCD的面积为400m2，可列出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣700＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即该围栏围成的矩形ABCD的面积不可能为400m2．【解答】解：（1）∵篱笆的总长为50m，BC＝xm，∴AB＝m．故答案为：；（2）根据题意得：x•＝300，整理得：x2﹣50x+600＝0，解得：x1＝20，x2＝30，又∵墙长25m，∴x＝20．答：x的值为20；（3）理由如下：假设该围栏围成的矩形ABCD的面积能为400m2，根据题意得：x•＝400，整理得：x2﹣50x+800＝0，∵Δ＝（﹣50）2﹣4×1×800＝﹣700＜0，∴原方程没有实数根，∴假设不成立，即该围栏围成的矩形ABCD的面积不可能为400m2．【点评】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据各边之间的关系，用含x的代数式表示出AB的长；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当Δ＜0时，方程没有实数根”．23．（10分）如图1，正方形ABCD内接于⊙O，连接AC，P是⊙O上的动点（不与点A重合），连接AP．（1）如图2，当P是CD的中点时，过点D作⊙O的切线，与AP的延长线交于点Q．①AC与DQ之间的位置关系是AC∥DQ，并说明理由；②求∠Q的度数；（2）连接DP，请直接写出∠APD的度数．【分析】（1）如图，连接OD，根据正方形的性质得到∠AOD＝90°，根据切线的性质得到OD⊥DQ，∠ODQ＝90°，根据平行线的性质即可得到结论；（2）根据正方形的性质得到∠ADC＝90°，DA＝DC，求得∠CAD＝45°．根据平行线的自己看得到结论；（3）分两种情况：P在劣弧AD；P在优弧AD上时，依据圆周角定理直接写出答案即可．【解答】解：（1）①AC∥DQ，理由如下：连接OD，如图2，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD＝45°，∴∠AOD＝90°，∵DQ与⊙O相切于点D，∴∠ODQ＝90°，∴∠AOD＝∠ODQ，∴AC∥DQ，故答案为：AC∥DQ；②∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，DA＝DC，∴∠CAD＝45°．∵点P是的中点，∴＝，∴∠CAP＝∠PAD＝22.5°，∵AC∥DQ，∴∠Q＝∠CAP＝22.5°；（2）如图3.1，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD＝45°，∵∠ACD＝∠APD，∴∠APD＝45°；如图3.2，∵∠ACD+∠APD＝180°，∴∠APD＝135°．综上，∠APD的度数为45°或135°．【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了正多边形与圆，正方形的性质，切线的性质以及圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．24．（10分）近年来国家倡导“电动车，上牌照，保安全，戴头盔”．某头盔专卖店购进一批单价为36元的头盔、在销售中，通过分析销售情况发现这种头盔的月销售量y（个）与售价x（元/个）（42≤x≤72）满足函数关系y＝﹣2x+200．专卖店的优惠活动：若购买一个这种头盔，就赠送一个成本为6元的头盔面罩．（1）设专卖店在优惠活动期间，月销售利润为w元，求w与x之间的函数解析式；（2）嘉嘉说：“在优惠活动期间，该专卖店的月销售的最大利润能达到1700元．”请判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由．【分析】（1）根据利润＝（售价−成本）×数量，得到关于x的函数关系式；（2）首先将w＝﹣2x2+284x﹣8400配方成顶点式，然后根据二次函数的性质得到最大值为1682＜1700，进而求解即可．【解答】解：（1）根据题意得，w＝（x﹣36﹣6）（﹣2x+200）＝﹣2x2+284x﹣8400；（2）嘉嘉的说法不正确．理由如下：∵w＝﹣2x2+284x﹣8400＝﹣2（x﹣71）2+1682，∵﹣2＜0，抛物线开口向下，∴当x＝71时，w有最大值1682＜1700，∴该专卖店的月销售的最大利润达不到1700元，∴嘉嘉的说法不正确．【点评】本题考查了销售问题的数量关系在解决实际问题时的运用，二次函数的解析式的运用，解题的关键是根据题意建立函数关系．25．（12分）在矩形ABCD中，AB＝6，连接AC，∠DAC＝30°，将半圆形量角器放在如图1所示的位置，其直径AE（AE＝8）在边AD上，点E是量角器上的零刻度，交AC于点F，点O是半圆形量角器所在圆的圆心．（1）求点F在半圆形量角器上的度数；（2）将半圆形量角器绕点A顺时针旋转α（0°≤α≤180°）．①当点E旋转到AC上时，交AB于点M，如图2所示．求证：BC与半圆形量角器相切；②在旋转过程中，当与直线BC只有一个交点（不包括端点A，E）时，设此交点与点C的距离为d，请直接写出d的取值范围．【分析】（1）连接OF，则∠EOF＝2∠DAC＝60°，求得点F的度数为60°；（2）①作OG⊥BC于点G，连接OM，由矩形的性质得∠B＝90°，BC＝AD＝6，BC∥AD，则∠ACB＝∠DAC＝30°，所以AC＝2AB＝12，由AE＝8，得OA＝AE＝4，则OC＝AC﹣OA＝8，OG＝OC＝4＝OA，所以点G在⊙O上，可证明BC与半圆形量角器相切；②由①知，BC与半圆形量角器相切时，与直线BC只有一个交点，此交点与点C的距离为d＝CG＝4；从点E落在线段CB上到点E落在线段CB的延长线上之前，与直线BC只有一个交点，当点E落在线段CB，连接OB，可证明点B在⊙O上，则d≥6；当点E落在线段CB的延长线上，可求得BE＝＝2，所以CE＝BC+BE＝6+2，则d＜6+2，所以d的取值范围是d＝4或6≤d＜6+2．【解答】解：（1）如图1，连接OF，∵∠EAF＝∠DAC＝30°，∴∠EOF＝2∠EAF＝60°，∴点F在半圆形量角器上的度数为60°；（2）①证明：如图2，作OG⊥BC于点G，连接OM，则∠OGC＝90°，∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，∴∠B＝90°，BC＝AD，BC∥AD，∴∠ACB＝∠DAC＝30°，∴AC＝2AB＝12，BC＝AD＝6，∵点E、点O在AC上，AE＝8，∴OA＝