2023-2024学年江苏省南京市高二上学期期中调研测试数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat20页2023-2024学年江苏省南京市高二上学期期中调研测试数学试题一、单选题1．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，它们的产量之比为2∶3∶5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本．若样本中A型号的产品有20件，则样本容量n为（

）A．50 B．80 C．100 D．200【答案】C【分析】直接由分层抽样的定义按比例计算即可.【详解】由题意样本容量为.故选：C.2．已知复数，其中i为虚数单位，复数满足，则z＝（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将代入中化简可得答案.【详解】因为，，所以，，所以，故选：A3．已知圆与圆的公共弦所在直线与轴垂直，则实数的值为（

）A．－4 B．－2 C．2 D．4【答案】D【分析】两个圆方程相减，可得所在直线方程，翻译条件解出值即可.【详解】，两方程相减得到公共弦所在直线方程为公共弦所在直线方程与轴垂直，，解得故选：D4．《数书九章》天池测雨：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数，即平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积．假令器形为圆台，盆口径(直径)一尺四寸，底径(直径)六寸、深一尺二寸，接雨水深六寸(一尺等于十寸)，则平地降雨量为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据题意，作出圆台的轴截面，再结合圆台的体积公式与题意求解即可.【详解】根据题意，该盆可以视作圆台，故作出该圆台的轴截面，如图，根据题意得：寸，寸，寸，寸，所以寸，即水面的半径为寸，所以盆中水的体积为（立方寸），因为平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积，所以平地降雨量为寸，故平地雨降寸.故选：B.5．已知，则＝（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由倍角公式和差角公式、平方关系求解即可.【详解】.故选：D6．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上一点，连接交轴于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由长度关系可得，知，在中，利用可构造齐次方程求得双曲线离心率.【详解】设，为等边三角形，，，又，，，，，，，解得：（舍）或，双曲线的离心率为.故选：C.7．在平面直角坐标系中，为直线上一点．若向量，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B．C． D．无法确定【答案】C【分析】根据投影向量求解公式求解即可.【详解】设,因为是直线上任意一点，所以所以在方向上得投影向量为.故选：.8．已知函数．若，，且在上恰有1个零点，则实数ω的取值范围为（

）A．(0，] B．(，] C．(，] D．(，]【答案】B【分析】根据题意，为的最大值点，根据在上恰有1个零点，结合三角函数图象，列不等式求出实数ω的取值范围.【详解】由得，，所以，即，，因为，，，因为在上恰有1个零点，所以①，无解，②，解得，综上，实数ω的取值范围为，故选：B.二、多选题9．某研究小组依次记录下10天的观测值：26，28，22，24，22，78，32，26，20，22，则（

）A．众数是22B．80百分位数是28C．平均数是30D．前4个数据的方差比最后4个数据的方差小【答案】ACD【分析】A选项，根据众数的概念进行求解；B选项，把数据从小到大排列，按照百分位数的定义进行求解；C选项，利用平均数的定义进行求解；D选项，分别计算出前4个数据和最后4个数据的方差，比较后得到结果.【详解】A选项，22出现了3次，出现次数最多，故众数为22，A正确；B选项，将数据从小到大进行排列，20，22，22，22，24，26，26，28，32，78，，故选取第8个和第9个数的平均数作为80百分位数，即，B错误；C选项，，故平均数为30，C正确；D选项，前4个数据的平均数为，故前4个数据的方差为，最后4个数据的平均数为，故最后4个数据的方差为，，故前4个数据的方差比最后4个数据的方差小.故选：ACD10．声音是由物体的振动产生的声波，一个声音可以是纯音或复合音，复合音由纯音合成，纯音的函数解析式为.设声音的函数为,音的响度与的最大值有关，最大值越大，响度越大；音调与的最小正周期有关，最小正周期越大声音越低沉．假设复合音甲的函数解析式是，纯音乙的函数解析式是，则下列说法正确的有（

）A．纯音乙的响度与ω无关B．纯音乙的音调与ω无关C．若复合音甲的音调比纯音乙的音调低沉，则D．复合音甲的响度与纯音乙的响度一样大【答案】AC【分析】对于A，判断纯音乙函数的最大值是否为定值即可；对于B，判断纯音乙函数的周期是否为定值即可；对于C，只需复合音甲函数的周期更大即可，列出不等式计算并判断；对于D，可以发现，但不能取等，由此即可判断.【详解】由题意，设的最小正周期为，则，所以，故，故，当时，有，从而的最小正周期为，对于A，由于纯音乙的最大值，即其最大值不变，所以纯音乙的响度与ω无关，故A正确；对于B，对于纯音乙函数而言，其周期满足，所以纯音乙的音调与ω有关，故B错误；对于C，若复合音甲的音调比纯音乙的音调低沉，则复合音甲函数的周期要更大，即，解得，故C正确；对于D，，但不能同时取等，所以，即，所以复合音甲的响度比纯音乙的响度小，故D错误.故选：AC.11．在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，，，为抛物线上的任意三点(异于点)，，则下列说法正确的有（

）A．设，到直线的距离分别为，，则B．C．若，则D．若直线，，的斜率分别为，，，则【答案】BCD【分析】根据抛物线得定义可判断；根据三角形重心公式以及抛物线定义可判断；根据重心相关性质即可判断；根据题意求得直线,,的斜率，代入等式计算可判断.【详解】对于，抛物线方程为，所以抛物线得准线为，所以，到直线的距离之和，因为三点不一定共线，所以，即，故错误；对于，因为为抛物线上任意三点，且，所以为的重心，，所以，所以，故正确；对于，延长交于点，因为为的重心，所以，且是的中点，因为，在中，有，所以，故正确；对于，因为，两式相减,得：,所以,,同理可得,,,所以，故正确.故选：.12．在长方体中，，点E是正方形内部或边界上异于点C的一点，则下列说法正确的有（

）A．若∥平面，则B．设直线与平面所成角的最小值为θ，则C．存在，使得D．若，则EB的最小值为【答案】ABD【分析】对于A：根据面面平行的性质分析判断；对于B：分析可知直线与平面所成角为，进而可知当点与点重合时，取到最小值，运算求解即可；对于C：设，若，则，代入运算求解即可；对于D：分析可知，所以点在以为直径的半圆上（不包括），结合圆的性质分析求解.【详解】对于选项A：因为平面∥平面，若∥平面，则平面又因为平面，且平面平面，所以，故A正确；对于选项B：因为平面，则直线与平面所成角为，显然，可知，则，可知当点与点重合时，取到最大值，此时取到最小值，即取到最小值，所以，故B正确；对于选项C：假设存在，使得，设，则，可得，若，则，即，整理得，无解，所以不存在，使得，故C错误；对于选项D：若，则，因为平面，平面，则，且，平面，所以平面，且平面，则，所以点在以为直径的半圆上（不包括），设的中点为，则，当且仅当三点共线时，等号成立，即EB的最小值为，故D正确；故选：ABD.三、填空题13．在平面直角坐标系中，已知点和，点在轴上．若直线与直线的夹角为，则点的坐标为．【答案】/（0.5）【分析】翻译垂直条件，利用直线斜率建立方程求解即可.【详解】设横坐标为，且由题意得，与相互垂直，，解得,故,故答案为：14．在中，，D是射线上一点，且，则．【答案】14【分析】画出图形，首先在中运用正弦定理得，然后在中运用余弦定理即可.【详解】如图所示：在中，，所以，由正弦定理有，即，在中，，则由余弦定理可得.故答案为：14.15．某商场为了促销，每天会在上午和下午各举办一场演出活动，两场演出活动相互独立．每个时段演出的概率分别如下：上午演出时段9：00－9：3010：00－10：3011：00－11：30下午演出时段14：00－14：3015：00－15：3016：00－16：30相应的概率若某顾客打算第二天11：00抵达商场并逛小时后离开，则他当天能观看到演出的概率为．【答案】【分析】利用概率的性质、互斥事件的概率公式、对立事件的概率公式运算即可得解.【详解】由题意，顾客打算第二天11：00抵达商场并逛小时后离开，即14：30离开，设11：00－14：30看不到演出的概率为，11：00－14：30看不到演出即上午演出时间为9：00－9：30或10：00－10：30且下午演出时间为15：00－15：30或16：00－16：30，上午演出时间为9：00－9：30或10：00－10：30的概率；下午演出时间为15：00－15：30或16：00－16：30的概率，∴，∴当天能观看到演出的概率为.故答案为：.16．已知向量,，，则向量最大夹角的余弦值为．【答案】【分析】设，根据得到满足关系式，然后利用向量夹角公式算出夹角余弦的表达式，利用一元二次方程的判别式算出的取值范围，进而算出向量最大夹角的余弦值.【详解】根据题意设，可得，所以，设向量夹角为，则，设，得，代入，整理得，由，得，即，解得，则当时，有最大值，此时有最小值，由于，可知最小时角最大，所以最大夹角的余弦值为.故答案为:.四、解答题17．已知函数的最大值为．(1)求的解析式；(2)若，，求实数m的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角恒等变换得到，根据最大值得到，得到函数解析式；（2）先根据求出，求出，从而得到实数m的取值范围，得到答案.【详解】（1），因为的最大值为，所以，解得，所以．（2）由（1）可知，当时，，当时，即时，．因为恒成立，所以即可，即恒成立，因此m的最小值为．18．在平面直角坐标系中，已知圆C的圆心在上，且圆C与x轴相切，直线，．(1)若直线与圆C相切，求a的值；(2)若直线与圆C相交于A，B两点，将圆C分成的两段弧的弧长之比为，且，求圆C的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由题意设圆心，，分析可得，且，进而求解即可；（2）结合题设和圆的性质可得圆心C到的距离d等于圆C半径的倍，进而列出方程可得或，再由可得AB的垂直平分线经过和圆心，进而结合斜率关系列出方程求解即可.【详解】（1）因为圆心C在直线l上，可设圆心，．因为圆C与x轴相切，所以，又因为直线与圆C相切，所以，即，解得.（2）因为A，B把圆C分成的两段弧长之比为，所以弦AB所对劣弧圆心角为，所以圆心C到的距离d等于圆C半径的倍，则，即，解得或，又因为，所以AB的垂直平分线经过和圆心，所以，当时，，圆C方程为；当时，，圆C方程为.综上所述，圆C方程为或.

19．如图，一个质地均匀的正二十面体骰子的各面上标有数字这个数字(相对的两个面上的数字相同)，抛掷这个骰子，并记录下朝上一面(与地面或桌面平行)的数字．记事件为“抛两次，两次记录的数字之和大于”，记事件为“抛两次，两次记录的数字之和为奇数”，事件为“抛两次，第一次记录的数字为奇数”．(1)求，；(2)判断事件与事件是否相互独立，并说明理由．【答案】(1)，(2)独立，理由见解析【分析】（1）确定样本空间，共有100种等可能的样本点，，，得到概率；（2）计算，，，得到结论.【详解】（1）若用表示第一次抛掷骰子数字为，用表示第二次抛掷骰子数字为，则样本空间，共有100种等可能的样本点．，所以．因为共有50个样本点，所以．（2），故，，共有个样本点，故．，故．故，所以事件与事件独立．20．在中，分别为角所对的边，．(1)求角的大小；(2)若的面积为，且，，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）解法一：根据题意，由余弦定理化简得，求得，即可求解；解法2：根据题意，由正弦定理和三角形内角和的性质，得到，求得，即可求解；（2）利用三角形的面积公式，求得，结合题意，利用向量的运算法则，化简得，进而得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）解法一：因为，所以，由余弦定理得，化简得，所以，因为，所以.解法2：因为，所以，由正弦定理得，因为，可得，所以，因为，所以，即，化简得，因为，可得，所以，因为，所以.（2）解：因为，所以，又因为，，所以，所以，当且仅当时，即等号成立，所以的最小值为．21．如图，在所有棱长都等于1的三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABB1＝，∠B1BC＝．

(1)证明：A1C1⊥B1C；(2)求直线BC与平面ABB1A1所成角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用勾股定理得出AC⊥B1C，异面直线所成角定义即得.（2）首先根据题意连接AB1，A1B，交于点O，连接BC1，连接CO，进而证明CO⊥平面A1ABB1，再根据线面角的定义即得.【详解】（1）证明：连接AB1，在△ABB1中，∠ABB1＝，AB＝BB1＝1，所以AB1＝，在△BCB1中，∠B1BC＝，BC＝BB1＝1，所以B1C＝1，所以在△ACB1中，AB1＝，B1C＝1，AC＝1，所以AB12＝AC2＋B1C2，所以AC⊥B1C．又因为在三棱柱ABC－A1B1C1中，1，所以A1C1⊥B1C．（2）方法1连接AB1，A1B，交于点O，连接BC1，连接CO．

在边长都为1的正方形A1ABB1中，O是AB1的中点，又因为B1C＝AC＝1，所以CO⊥AB1．因为四边形B1BCC1边长都为1，所以B1C⊥BC1．由(1)知B1C⊥A1C1．又因为A1C1∩BC1＝C1，A1C1，BC1平面A1BC1，所以B1C⊥平面A1BC1．因为A1B平面A1BC1，所以B1C⊥A1B．因为在边长都为1的四边形A1ABB1中，A1B⊥AB1．又因为AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C平面AB1C，所以A1B⊥平面AB1C．因为CO平面AB1C，所以CO⊥A1B．又因为A1B∩AB1＝O，A1B，AB1平面A1ABB1，所以CO⊥平面A1ABB1，所以∠CBO即为直线BC与平面ABB1A1所成的角．在边长都为1的四边形A1ABB1中，∠ABB1＝，所以BO＝．因为BC＝1，所以，所以∠CBO＝，所以直线BC与平面ABB1A1所成角的大小为．方法2取AB1中点O，连接BO，CO．在△ACB1中，AC＝B1C＝1，所以CO⊥AB1，

在边长都为1