2023高考真题19 解析几何中的抛物线问题

专题19解析几何中的抛物线问题

【高考真题】

1.(2022.全国乙理)设尸为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点3(3,0),若|AF|=|明，则|阴=()

A.2B.2>/2C.3D.3及

2.(2022・新高考I)已知。为坐标原点，点41』)在抛物线C:f=20，(°>0)上，过点B(0,-l)的直线交C

于P，。两点，则()

A.C的准线为y=-lB.直线AB与C相切

C.|6)P|-|O(2|>|OA|2D.\BP\-\BQ\>\BA\1

3.(2022•新高考II)已知。为坐标原点，过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点尸的直线与C交于A,B两点，

其中A在第一象限，点"5,0),若|AF|=|AM|,则()

A.直线AB的斜率为2而B.\OB\=\OF\

C.\AB\>^\OF\D.Z.OAM+Z.OBM<\W

【知识总结】

1.抛物线的概念

(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线/(/不经过点用的距离相等的点的轨迹.

(2)焦点：点/叫做抛物线的焦点.

(3)准线：直线/叫做抛物线的准线.

2.抛物线的标准方程和简单几何性质

标准方程y2=2px[p>0)y2=-2px(p>0)x1=2py(p>0)xz=-2py[p>0)

3

图形

/—

范围GO,)，GRxWO,yGRy20,xdRyWO,x£R

(o,f)

焦点((0,-2)

尸一2

准线方程x2刁y=-2y=2

对称轴X轴y轴

顶点(0.0)

离心率e=l

【题型突破】

题型一抛物线的标准方程

1.已知抛物线V=2px（p>0）上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大芯则抛物线的标准方程

为（）

A.y1=xB.)r=2xC.y2=4xD.y2=8x

2.如图，过抛物线y2=2p_x（p>0）的焦点厂的直线/交抛物线于点A,B,交其准线于点C,若由C|=2|8F|,

且|A/q=3,则此抛物线方程为()

A.9=94B.y2=6xC.y2=3xD.9=小工

3.已知圆G：-2户=4,抛物线C2：V=2px3>0）,G与C2相交于A,8两点，|AB尸半，则抛

物线C2的方程为.

4.已知Q,尸2分别是双曲线的左、右焦点，P是抛物线>2=8℃与双曲线的一个交点,

若|PFi|+|PBI=12,则抛物线的方程为（）

A.9=94B.C.9=3尤D.y1=y[3x

5.抛物线C]：y=//（p>0）的焦点与双曲线J：,一产=1的右焦点的连线交G于第一象限的点M.若

G在点M处的切线平行于。2的一条渐近线，则〃等于（)

B.坐「2^34^3

A.D.

L.33

6.已知抛物线C的顶点是原点0,焦点F在x轴的正半轴上，经过点尸的直线与抛物线C交于A,3两

点，若万1・a=-12,则抛物线C的方程为（）

A.*=8yB.f=4yC.y2^8xD.V=4x

7.直线/过抛物线V=-2px仍>0）的焦点，且与该抛物线交于A,B两点，若线段A3的长是8,AB的

中点到），轴的距离是2,则此抛物线的方程是（）

A.y2=-]2xB.9=一8》C.y2=~6xD._y2=—4x

x2y2

已知双曲线：=l（a>0,b>0）的离心率为2.若抛物线C2：f=2p），S>0）的焦点到双曲线Ci的

8.Ga2b2

渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为.

9.设抛物线C：V=2〃xS>0）的焦点为F,点M在抛物线C上，\MF\=5,若以MF为直径的圆过点（0,

2）,则抛物线C的方程为（）

A.产二以或;=B.尸=2%或V=8xC.y?=4x或y2=i6xD.V=2x或16x

10.抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为凡点O是坐标原点，过点O,F的圆与抛物线C的准线相切，且

该圆的面积为36兀，则抛物线的方程为.

题型二抛物线中的求值

11.设抛物线C：V=3x的焦点为F,点4为C上一点，若|硼|=3,则直线用的倾斜角为（）

12.（2018・全国川）已知点用（一1,1）和抛物线C：y2=4x,过C的焦点且斜率为左的直线与C交于A,B

两点.若NAMB=90。，则上=.

13.过抛物线V=2px（p>0）的焦点尸作直线交抛物线于A,B两点，若|A/q=2|BQ=6,贝Up=.

14.（2017・全国H）已知尸是抛物线C：V=8x的焦点，M是C上一点，尸M的延长线交y轴于点N.若M

为FN的中点，则|卬=.

15.如图，过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线/于点C,若F是AC的

中点，且|4~=4,则线段AB的长为（）

16.过抛物线尸=4x的焦点/的直线/与抛物线交于A,8两点，若|AFl=2|Bfl，则|AB|等于（）

9

A.4B.2C.5D.6

17.设厂为抛物线C：）2=3x的焦点，过尸且倾斜角为30。的直线交C于A,8两点，。为坐标原点，则

△OAB的面积为（）

35_9v5-63一9

A-4B-8C-32D-4

18.过点尸（2,—1）作抛物线*=4y的两条切线，切点分别为A,B,PA,PB分别交x轴于E,尸两点，O

为坐标原点，则APEF与AOAB的面积之比为（）

A亚R近rin1

•2D•3•2,4

19.（2018•全国I）设抛物线C：V=4x的焦点为F,过点（一2,0）且斜率为§的直线与C交于M,N两点，

则前.前等于（）

A.5B.6C.7D.8

20.如图所示，抛物线y=*,AB为过焦点F的弦，过A,B分别作抛物线的切线，两切线交于点M,设

A（XA,yA）,B（XB，犯），M（x”，yM）,贝!|：①若AB的斜率为1,则|AB|=4；②质班曲=2；③》”=—1；

④若AB的斜率为1,贝ijx“=l；⑤4.以上结论正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

题型三抛物线中的最值与范围

21.已知点M(—3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线V=2x的焦点为F,点。是该抛物线上的一动点，

则IMQLIQH的最小值是()

75

A.2B.3C.5D.2

22.己知抛物线的方程为f=8»尸是其焦点，点4-2,4),在此抛物线上求一点P,使aAPF的周长最

小，此时点尸的坐标为.

23.已知抛物线V=2x的焦点是F,点尸是抛物线上的动点，若点A(3,2),则+取最小值时，点

P的坐标为.

24.己知尸是抛物线尸=以上的一个动点，。是圆。-3)2+。-1)2=1上的一个动点，N(1，0)是一个定点，

则|PQ|+|PN|的最小值为()

A.3B.4C.5D.也+1

25.已知过抛物线C：V=8x的焦点下的直线/交抛物线于尸，。两点，若R为线段尸。的中点，连接OR

并延长交抛物线C于点S,则般的取值范围是()

A.(0,2)B.[2,+oo)C.(0,2]D.(2,+oo)

26.已知斜率为;的直线/与抛物线V=2px(p>0)交于位于x轴上方的不同两点A,B,记直线0A,08的

斜率分别为由，依，则笈+左2的取值范围是.

27.如图，抛物线E：f=4