2023年高考数学复习讲义进阶方案-05 大题专攻（三）（解析几何压轴大题的思维建模）（解析版）

专题05大题专攻（三）（解析几何压轴大题的思维建模）

目录

一宏观掌握解题通路：解析几何问题巧在“设”，难在“算”

二微观优化解题细节：合理设参，把握先机

题型一：“单参”解题

题型二：“双参”解题

题型三：“点参”解题

应用体验精选好题做一当十

一宏观掌握解题通路：解析几何问题巧在“设”，难在“算”

解析几何解答题的常见类型是:第（1）小题通常是根据已知条件,求曲线方程或离心率,一般比

较简单.第（2）小题往往是通过方程研究曲线的性质一弦长问题、中点弦问题、动点轨迹问题、

定点与定值问题、最值问题、相关量的取值范围问题等等，这一小题综合性较强，可通过巧设

“点”“线”，设而不求.在具体求解时，可将整个解题过程分成程序化的三步：

第一步,联立两个方程,并将消元所得方程的判别式与根与系数的关系正确写出；

第二步，用两个交点的同一类坐标的和与积,来表示题目中涉及的位置关系和数量关系；

第三步,求解转化而来的代数问题,并将结果回归到原几何问题中.

在求解时,要根据题目特征,恰当地设点、设线,选用恰当运算方法,合理地简化运算.

参数设点'

设点卜或元设点f设而不求

直接设点，

设＜

‘曲线系'

设线〈普通方程-标准方程（一般方程）

参数方程

’回归定义-＞求曲线方程（最值）

借助平面向量一等式（不等式）

算巧用图形性质一简化运算

整体代入-＞简化运算

合理换元-简化运算

1.（河南省开封市五县2021-2022学年高二上学期期中联考数学（理）试题）已知斜率为左的直线/与椭圆

22

C：土+二=1交于A,B两点.

43

（1）若线段AB的中点为求％的值；

（2）若04,08,求证：原点。到直线/的距离为定值.

【答案】

（1）-1；

（2）证明见解析.

（1）

2222

设小,%），阻，％），则去=1，争二=1，

两式相减，得止应+支二迂=0,即（I-2）（*+xj+（y「第）（）i%）=0,

4343

所以（4-々）（占+占）=_（）,f）（X+%）即凹-必=3目+々）,

4-3，'占一々4（乂+%）’

（3、-f：3x2x1

又因为线段AB的中点为Ml,7,所以工工丁一4,3,即后=42=-1；

（4J124x2*4x\~xi

（2）

设斜率为左的直线/为>=依+加，人与,必）,8（9,%）,

y=kx+m

由"%2y?,得（3+4%~+8/7/1¥+4机~—12=0,

—+——1

143

所以占+々=一言上,为々W-12

-3+4公

A=（8b〃）2-4（3+4）t2）（4w2-12）=16（12A:2-3m2+9）＞0,

因为。4J_Q8,所以不马+以必=0,

即X1W+（Axt+〃?）（g+/n）=0,所以（1+42卜］赴+hw（x1+/）+/=0,

所以（1+公）•；：必1j+如（-3:f+疝=。，即7，??-12^-12=0,

所以火2+1=至，

12

d_Ml_同_fi2_2V2T

原点o到直线/的距离为京弃=［需=vT=~7~.

vir

所以原点。到直线，的距离为定值也.

7

2.（2021•重庆南开中学高三月考）已知抛物线。：/=2勿5>0）的焦点为尸.点A（2,%）在C上，H目=2.

（1）求。；

（2）过F作两条互相垂直的直线44，4与c交于两点，4与直线y=-l交于点p,判断

NPMN+NPNM是否为定值?若是，求出其值；若不是，说明理由.

【答案】（1）P=2；（2）是定值，NPMN+NPNM*.

【详解】

解：（1）因为点A（2,y°）在C上，所以4=2py0①，

因为|AF|=2,所以由焦半径公式得|AF|=2=%+5②，

由①@解得%=1，P=2

所以P=2.

（2）由（1）知抛物线的方程为V=4y,焦点坐标为尸（0,1）,

当宜线4与x轴平行时.，此时4的方程为x=0"的方程为y=l,M（-2,l）,N（2,l）,P（0,-l）,此时△MNP为

等腰直角三角形且尸M，RV，故NPMN+NPNM=土.

2

当直线4与％轴不平行且斜率存在时，若NPMN+NPNM为定值,则定值比为下面证明.

7T

要证明NPMN+NPMW=5，只需证明PMLPN,

只需证俞_L无，BPPMPN=0'

设直线乙的斜率为3则直线6的方程为y="+l,直线4的方程为y=-?x+l,

K

fy=fcc+1/、/、

联立方程得x2-46-4=0,设/a，yJ,N（孙必），

[x—4y

2

则为+x,=4%,占々=Y，所以yy=（，二）=],yl+^2=^（xl+x,）+2=4Z:+2,

1-16

_\_

联立方程广=7.得尸（2女1）,

y=-l

所以*=（为_2上M+1）,尸木=（々-2及,必+1），

所以前.俞=&一2女）（马-2%）+（＞1+1）（%+1）

=X*2-2&（芭+x））+4Z-+丁]必+（y+为）+1=~^―84一+4K+1+4攵~+2+1=0,

所以PM_LPN，即PM±PN,

TT

所以/PMN+NPNM=-.

2

综匕NPMN+NPNM为定恒,ZPMN+ZPNM=-.

2

微观优化解题细节：合理设参，把握先机

平面解析几何中的许多问题,若解题方法不对就会使解题过程繁杂而冗长,从而影响到解题的

速度和解题的准确性,通过引参数,设而不求是解决此类问题的有效方法.

一旦合理引入参数,用参数来刻画运动变化状态,减少变量,再利用平面几何知识就会化难为

易,化繁为简,收到意想不到的解题效果.设参方式一般有以下几种类型：

题型一：“单参”解题

1.(2021•陕西•西安中学高三月考(理))己知抛物线「丫2=⑪(4>0)的焦点为尸，若过点尸且倾斜

角为:的直线交抛物线「于N两点,满足|MN|=8.

(1)求抛物线「的方程；

(2)过点。(加,0)且斜率为1的直线被抛物线「截得的弦为A8,若点尸在以AB为直径的圆内，求〃?的取

值范围.

【答案】(1)y2=4x,(2)(3-273,3+273)

【详解】

解：(1)抛物线「：>2=火(">0)的焦点为F(j()),

TTCl

则过点尸的倾斜角为：的直线方程为y=x-E，

44

联立y2=ov,得f一至工+幺=o,

216

设,y),N(%2,%),

则为+x2=y-,

由抛物线的定义可得|AW|=X|+电+£=2"=8,解得。=4,

所以抛物线「的方程为y2=4x.

(2)设直线AB的方程为丁=“一加，

代入>2=4x,得了2一4丁一4m=0,

由△=16+16机>0,得机>—1,

设4天，%)，8(%，，4)，

得为+”=4,为乂=-4机，

又尸(1,0),所以包、3)，ra=(x4-l,M)，

因为点尸在以A8为直径的圆内，

所以ZAfB为钝角，即苏.丽＜0,

得(七一1)(七一1)+为乂V。，得七Z一(&+x4)+\-4m＜0,

22

所以“笳~[(y4-y)+2m]4-1-4/w＜0,得加？_6"2-3＜0,

1634

解得3—26＜小＜3+2石，又6＞一1,

所以机的取值范围为(3-26,3+26).

22

2.(2021•贵州•凯里一中高二期中(理))已知椭圆"：£+京=1(。＞人＞0)的左右焦点分别为士，尸2，

且田片|=2,P为椭圆上任意一点，且面积的最大值为

(1)求椭圆M的标准方程；

(2)设A(4,0),直线y=fcr+l与椭圆历交于C。两点，若直线AC,A。均与圆9+丁=/&＞0)相切，求

k的值.

【答案】

2o

(1)—+^=1

43

(2)k=—l

(1)

当点。位于椭圆的上顶点或下顶点时面积最大

即：S=~\F,F2[h=43f解得：b=6c=l,a=2

22

椭圆方程为工+匕=1

43

(2)

设C(3，yJ,£＞(&,%)，

Z+£=1

由《43,即(3+4公卜?+8履一8=0

y=kx+\

8k—8

所以再不当=罚,60.

因为直线AC、A。都与圆相切

；&c+L=0,即告V言=°

.+4y2=0

(X,-4)(X2-4)

/.2Axi/一4Z(X|+X,)+(X1+x,)-8=0,

—

即2kxiX]+(1-4々)(公+X,)8=0

_o

-^~—8=0,即24=—24左

3+4/'，3+4公7T

所以&=一1

题型二：“双参”解题

22

1.(2021•湖北•高三期中)已知双曲线(7:鼻-斗=1(4＞0力＞0)的左焦点为尸，右顶点为4(1,0)，点产

是其渐近线上的一点，且以尸尸为直径的圆过点A,归。|=2,点O为坐标原点.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)当点尸在》轴上方时，过点p作y轴的垂线与y轴相交于点B,设直线/：、=辰+“(加工。)与双曲线c

相交于不同的两点M、N,若忸叫=忸川，求实数〃，的取值范围.

【答案】

2

(1)Y-匕v=1

3

(2)〃？＜一逋或0＜加＜应

34

(1)

解「♦尸(-G。),A(a,0),双曲线。的渐近线方程为y=±2x,

a

以尸产为直径的圆过点A,所以，PAVAF,

不妨取点P在y=3x上，设点尸”=('一见91E4=(〃+c,0),

因为P4J_AF,则"•布二，一4(〃+C)=0,可得1=4,则点P(M),

v|PO|=2,则/+万2=4,・.,a=l,则从=3,

2

所以，双曲线C的标准方程为/-二v=1.

3

（2）

解:由题意可知网0,石卜设"（％,y）、N（%,%），

y=kx+tn

线段MN中点Q（%,为）,联立得（3-〃）》2-2叱一机2-3=0,

3-42工0[3-k2W0

依题意〈/\2/八/2\，即:2,2八①，

A=[-2kni）-4（3—K）（一"广一3）＞0[3+^-k2＞0

ITT+3

由韦达定理可得

3-fc23-k?

Mllx+km.3m

贝i/=———=----T,%=K+加=----r,

023-k20°3-k2

•.•|BM|=|BN|,BQLMN,...怎°=%二=3一髭=_4

3--

所以，3_22=亚加②，

3

又k?=3—，""?>0③,由①②③得：m<一4"或0<"?<之①.

334

22

2.（2021•吉林•长春外国语学校高三期中（理））已知椭圆C：[+4=1（4>人>0）的离心率与等轴双

ab~

曲线的离心率互为倒数关系，直线/:x-y+收=0与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设V是椭圆的上顶点，过点M分别作直线M4,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为公，

k”且K+玲=4,证明：直线A8过定点，并求出该定点.

【答案】

（1）—+y2=\

2

（2）证明见解析，定点坐标为

（1）

等轴双曲线离心率为近，故椭圆C的离心率e当.

/=鸟=之£4，故Z=2b2

a2a22

由x—『+x/2=0与圆W+y?=从相切,即4=半=/2得人=1,7•。2=2.

A/2

，椭圆C的方程为,

(2)

①若宜线AB的斜率不存在，设方程为x=x0,则点4（占,%）,3（为,一%）.

由已知~~-+■-A"1=4,得毛=-：.此时AB方程为x=-g.

x°X。22

②若直线AB的斜率存在，设AB方程为丫=履+机，依题意znH±l.

y=kx+m

222

设A（x”yJ,以电,%），由，X22,^(l+2k)x+4kmx+2m-2=0

——+y=1

,2

__

4km2机~-2..,,,,-rzB^।^21j

则(1111再+超=-^亦，一丁由已知&i+&=A4,可得[-+=4,

I十1+2%内々

kx1+m-\^kx2+tn-\

=4,即+否+12=4,

工2x[x2

也=2

将％+工2，玉犬2代入得女一

m+1

k

k=2(/n+l),m=——1,

故直线AB的方程为y=h+|k'_l,即>=无卜+；>1

2

二直线AB过定点

综上，直线48过定点卜;,T

，2

3.（2021•四川•成都七中高三期中（文））已知椭圆C:5+4=l（a>b>0）的短轴长为2打，左顶点A

到右焦点尸的距离为3.

（1）求椭圆C的方程及离心率;

（2）设直线/与椭圆C交于不同两点M,N（不同于A）,且直线AM和AN的斜率之积与椭圆的离心率

互为相反数，求证：/经过定点.

【答案】

兰+广=1,e=i

(1)

432

(2)证明见解析

(1)

r22]_

解:依题意匕=e、a+c=3,又/=合一从，解得q=2,c=1,所以椭圆方程为土+匕=1，离心率e=£

432

(2)

y=Ax+加

解:由（1）可知A（-2,0）,设直线/为）="+机，联立方程得/2，消元y整理得

---F—=1

143

(3+4公卜2+86nx+4〃/-12=0,设"(与,％),N(x2,y2),所以为+/=一卷黑^，g=黑/产

2

因为直线AV和AN的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，所以心何•心%

2

122

yy2kx}kx2kxix2^hn[xi+X2)+AW1

即^AM-=2=~77'\~~~Z=~T

X+2x2+2x+2x2+2XjX2+2(x,+x2)+42

“24加一12,\8km

+hn\------+/n2

3+4公I3+4二?即—二12〃+3/_

所以——，所以一20二+机2-847?=0,即

4m2-12J8km、.216公+4m2-16km2

-----^-+2------+4

3+4/I3+4/J

（加一2Z）（机+10k）=0,所以m=2攵或加=一102，

当〃2=2%时，直线/：>=履+2女，恒过定点（―2,0）；

当m=一10女时，直线/：y=6一1。3恒过定点（10,0）；

综上可得直线/恒过定点；

题型三：“点参”解题

1.（2021•广东中山•模拟预测）已知椭圆cJ+/l（a>6>0）的离心率为日，且点（1,亭在椭圆C上,

M,N是椭圆C上的两个不同点.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线OM,ON的斜率之积为点尸满足而=2/（。为坐标原点），直线NP与椭圆C的另一

个交点为Q（与N不重合），若=户，求彳的值.

【答案】

r2

（1）—+y2=l

2

2

⑵2=-

5

（1）

由题知《=七2=1,所以"=2/，

a2a22

所以椭圆方程为磊+营=1,代入点（1,*）得—+—=1，

解得从=1,Y=2,所以椭圆方程为5+丁=1；

（2）

设M5,y,),N(x2,y2),由丽=2OM得尸(23,2%),

由而=ANP得(4-x2,yQ-y2)=A(2xt-x2,2yt-y2),

所以=22^+(1-A)X2,=2/1%+(1-2)%,

又点。在椭圆C上，所以吆乱告也上+[2/1%+(1-/1))，2『=1,

22

即4%2(£+y；)+(1-4)2(才+y；)+44(1一丸)(一X%)=1,

由是椭圆c上得4万+(l-㈤2+4〃l一团(笺+xy2)=l一①

又因为直线。M,加的斜率之积为T所以梵==，即半+.=。-②

7

把②代入①得4笳+(1-㈤2=1,解得2=(或4=0(舍去，因为MQ不重合).

22

2.(2021•黑龙江•哈师大附中高三月考(理))已知耳，工分别是椭圆E:*•+方=1(q>6>0)的左,

右焦点，山闾=6,当尸在E上且摩垂直x轴时，归闾=7但娟.

(I)求E的标准方程；

(II)月为E的左顶点，3为E的上顶点，M是E上第四象限内一点，40与y轴交于点C,BM与x轴交

于点Q.求证：四边形ABDC的面积是定值.

【答案】(1)工+t=1；(II)证明见解析.

123

【详解】

h-

解:(I)由题意知|P耳|=幺，解/|+|尸耳|=2〃,\PF2h7|PFJ,则8|勿;|=2%

a

得。=2/?,乂c=3,a2=h2+c2解得a=28=2>/5,

Y22

所以E的标准方程是土+匕v=1；

123

(11)由题意知4一26,0),5(0,73),设C(O,r),。",0),

因为4,C,材三点共线，则AC=4AA/，解得"一，

〃?+2j3

B,£),.犷三点共线，则刀方=,解得s=—，

n-y/3

|AZ)|=s+2百，|BC|=V3-r,—+—=1,

123

|皿.|8。|=而-2囚-仪+6=--咚12n6rm7

+6

〃一J3"?+26(H—5/3)(/n+2\/3)

6\/3m-12\/3n+366mn6(〃z+2后

(团+26)(〃一6)+(〃-6)(加+26)+(〃-6)(加+26)+

所以四边形A8OC的面积5.M=白40.|8C1=6.

所以四边形ABDC的面积是定值.

应用体验精选好题做一当十

1.(2021•全国•高三期中)设双曲线C：m_耳=1(。>0,6>0)的左、右焦点分别是耳，鸟，渐

ab"

近线分别为4，4,过户2作渐近线的垂线，垂足为P,且AOP£的面积为生.

4

(1)求双曲线C的离心率；

(2)动直线/分别交直线4，。于A,8两点(A,8分别在第一、四象限)，且ACMB的面积恒为8,是

否存在总与直线,有且只有一个公共点的双曲线C,若存在，求出双曲线C的方程；若不存在，说明理由.

【答案】

(1)V5

22

(2)存在，—-^-=1

416

(1)

由双曲线性质知，因河。…，由尸""得'S-S.S，解得力d，所以

双曲线。的离心率e=行.

(2)

尤2v2

由(1)得渐近线4：y=2x,/1：丫=-2工，设双曲线得方程为二一仁=1,依题意得直线/的斜率不为零，

a4a-

因此设直线I的方程为x=my+t,­<m<^t>^

设直线/交X轴于点C(f,0),A(XI,y),B(X2，%),联立得y=不义一，同理得力=丁=-由4^

[y=2x,\-2m1+2"?

i12f2f

的面积2b8,f#-/|-4-+-^|=8,即产=4“-4m2|=4(1-4加2)>0,①

22l-2m\+2m

x=my+t,

联立入22,得(4加2-D/+8机fy+4(r-a2)=0,

--------=1

“24a2

因为4〉-1<(),所以直线/与双曲线只有一个公共点当且仅当A=0,即A=64*/-16(4疗-1)(『-/)=0,

将①式代入可得/=4.

因此双曲线的方程为《-$=1,

416

因此，存在总与直线/有且只有一个公共点的双曲线G双曲线C的方程为三-廿=1.

416

22

2.（2021•四川•成都七中高三期中（理））已知椭圆C:左+方=1（。＞6＞0）的短轴长为2百，左顶点力

到右焦点尸的距离为3.

（1）求椭圆C的方程及离心率；

（2）设直线/与椭圆C交于不同两点〃，N（不同于A）,且直线A"和AN的斜率之积与椭圆的离心率

互为相反数，求F在/上的射影”的轨迹方程.

【答案】

（1）椭圆C的方程工+亡=1,离心率e=?；

432

(1)

2b=2+b=5/3

22

由题意可得：\a+c=3,解得：\a=2,所以椭圆C的方程为土+汇=1,

2»2..2143

c|

离心率为e=-=K

a2

(2)

当直线的斜率存在时，可设/：y=h+机代入椭圆方程]+]=1,得：（3+4公卜2+8.+4病-12=0.

Skm

时

设M（5，y）,N（孙必），所以＜

4疗-12

x,x^=------

1-3+4〃

由（1）可知，点/（-2,0）,离心率e=；.

因为直线A"和AN的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，所以原《业.=-（

2

所以输・L="中二:了：/；〃；J

工/2+2（玉+々）+42

8km

x+x=-

123+4公

把《代入，整理化简得:5w2-Sh?i-4k2-0，

W-12

-3+4公

2

即（6一22）（5/%+2左）=0,所以根=2%或〃?=一二人.

由直线/：y=kx+m,

当m=2左时，y=京+2左=左（工+2）经过定点（-2,0）,与力重合，舍去;

22/2、2

当根=_g左时，了=h_1女=女[X一1)经过8定点(二，0)；

当直线的斜率不存在时，可设/：X=t,则M邛子,Nf，H),

尸fF]

因为我.*«/=_：，所以,’+：X-"1+j=-3，

\/

2

解得：/=-2或/=-不

当f=-2时，直线经过点4舍去；

当/=-：2时，直线经过8定点(§2，0).

综上所述，直线/经过6定点(1,0).

而F在/上的射影//,即为机/.所以点〃的轨迹为以断为直径的圆.

其中呜,0),产(1,0),所以圆心儒,0),半径

所以圆的方程为jx-工1+/=2,

(10J100

故点〃的轨迹方程为(x-N1+y2=2.

I10j100

3.(2021•广东福田•高三月考)已知抛物线C：y2=2px(p>0)上的点尸(1,%)(%>0)到其焦点的距离

为2.

(1)求点P的坐标及抛物线。的方程；

(2)若点M、N在抛物线C上，且原材•即w=-g,求证：直线MN过定点.

【答案】

(1)P(l,2),y2=4x

(2)证明见解析

(1)

解：抛物线的焦点厂准线为》=-5，

因为点P(L%)(%>())到其焦点的距离为2,

所以1+5=2,解得。=2,

所以抛物线的方程为y2=4x,

因为点尸。,%)(%>0)在抛物线上，

所以为2=4,解得%=2,

所以「(1,2),

综上，。点坐标为(1,2),抛物线的方程为y?=4x.

(2)

证明：设直线的方程为工=缈+”,

端犬,yj,呜另,%)，

[x=my+n,

联立■{2j，得旷-4"沙-4〃=0,

[y=4x

所以弘+必=4机，y,y2=-4n,

,.y,-24

所以""一千一正，

4乂

,4

同理可得

因KN=-g，

161

所以(%+2)(%+2)=-5‘

所以乂%+2(乂+必)+36=0,

所以一〃+2根+9=0,即〃=2机+9(满足△>()),

直线助V’的方程为无=冲+26+9=机(、+2)+9,

所以直线例V过定点(9,一2).

22

4.(2021•全国•高三月考)已知椭圆C:〉方=1(。>6>0)的左、右焦点分别为6(-1,0),鸟(1,0),且

经过点伊岑).

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过椭圆尸上点作一条切线/与直线x=1相交于点M与直线x=4相交于点。，证明尸6_LRQ并判断

I”是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.

【答案】

22

(1)-X--+1--»--7\

43

(2)证明见解析；是定值；定值为3

(1)

/=从+1

由题意得33，解得。-=4,〃=3,

+—7=1

“24层

椭圆C的标准方程为反+反=1

43

(2)

证明：嵋为定值，理由如下:

\QFi\

22

设点尸（朝，%）,则也+里，由题意知为W。

43

设直线/的方程为k%=Mx—%）,

y-%=k(x7o)

联立V2

一+—

43

消去旷得（3+4幻/+以（%一5卜+4（%-5）2-12=0

依题意，直线/与椭圆C相切,

22

则4=64k(%-乜y-4(3+软2)[4(%-乜J-12卜0,即(%-⑹?-3-4k=0，

再整理可得（与2一4）公一2W％氏+%2-3=0

•・•点尸在椭圆匕.•.至+）也=1,代入可得忆=/

434%

则切线/的方程为子+岑=1

乙3（一。）、

•.•直线/：¥+?宇=1与直线x=l交于点Q4,

%)

3(1。)

>0-0

则2尸2。%

4-1为

2

I=3_34一天）

I。周='(47)2+二3,

2%

・k-k—A_.lz2k—i

%一所2

.■.PF2rF2Q,踹为定值3

5.(2021•全国•高三月考(理))在平面直角坐标系内，已知定点F(LO),动点用在》轴右侧运动(允

许动点在y轴上)，并且点M到)'轴的距离恰好比它到定点厂的距离小1.

(1)求动点M的轨迹C的方程；

(2)斜率存在的直线/经过点。(4,0)且与c交于A,8两点，若线段A3的垂直平分线与X轴交于点T,求

点T横坐标的取值范围.

【答案】

(1)y2=4x

(2)(6,+oo)

(1)

设动点M的坐标为(x，y)，x>0

根据题意有|MF|=X+1,因此J(x—iy+/=x+l，即(x—l)2+y2=(x+l)2,

整理得y2=4x.

(2)

根据题意，设直线/的方程为X=0+4(%*0),

点A(XA，%)，B(XB，%)，联立y?=4x与x=h，+4消去x得y2-4Ay-16=0,

由题知A=16仅2+4)>0恒成立，且以+%=4%.

力=丐』

设点尸为线段AB的中点，因此《所以点尸(2人2+4,2。.

2

xp=kyp+4=2k+4

24一0

设点7的坐标为"'叽因此%=*即而T*

解得f=2r+6，所以，>6

因此点T的横坐标的取值范围是(6,+8).

22

6.(2021•海南•北京师范大学万宁附属中学高三月考)已知椭圆C:二+与=l(a>b>0)的离心率为;,

a~b-2

且过点42,3).

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)过点A作两条直线分别交椭圆于点〃，N满足直线40,AN的斜率之和为-3,求证：直线MN过

定点.

【答案】

⑴M=l

(2)证明见解析

(1)

。=4

由题意可得,解得：.6=2指,

c=2

2

所以。的标准方程为三+

=i

16n-

(2)

若直线MN斜率不存在，设M(Xo，%)，N(%,-%),

X。=4

，解得此时重合，舍去.

%=0

七一2天,一2

若直线MN斜率存在，设直线MN：y=kx+t,"(占,)]),?/(々,必),

，22

―-+--=1

联立1612，得(4公+3)/+8公x+4--48=0,

y=kx+t

所以西+々=-瞪2,为*24r-48

-4父+3

kx+t-3kx+t-3_

巾题意-3,即}2

xI-2w-2

化简得Qk+3)为々+«—2Z—9)(西+/)-4/+24=0.

4/2_42QLf

因此(2&+3)-+(t-2k-9)(--®—)-4f+24=0.

4k+34k+3

化简得8公+6h+/一8«—，一6=0,即(2A+f—3)(4%+f+2)=0

若2Z+f—3=0,则f=—2k+3,直线MN过点A(2,3),舍去，

所以4%+f+2=0,即^=汽忆一2,

所以直线方程为y=^-4Z-2,即y=k(x-4)-2

因此直线MN过点P(4,-2).

7.(2021•全国•高三专题练习(文))已知点P在抛物线C：丁=4%上，过点P作圆M：(x-3丫+丫2="

(0<r4&)的两条切线，与抛物线C分别交于A,B两点，切线P4,PB与圆”分别相切于点E,F.

(1)若点P到圆心〃的距离与它到抛物线C的准线的距离相等，求点P的坐标；

(2)若点P的坐标为(1,2),且r=>历时，求直线E尸的方程：

(3)若点尸的坐标为(1,2),设线段AB中点的纵坐标为f,求t的取值范围.

【答案】⑴(2,2啦)或(2,-2&b(2)x—y—2=0；(3)[-10,-6).

【详解】

解：(1)设点P的坐标为(x,y),

r=4%,[x=2,|x=2,

^(x-3)+y=|x+l|,[y=2yj2[y--2\l2,

即点P的坐标(2,2塔或(2,-2a).

(2)当点尸的坐标为(1,2),且厂=&时，\PM\=^(1-3)2+22=25/2,

在直角三角形中，|「目=>/^=布，

所以，以点尸为圆心，PE为半径的圆的方程为(x-iy+(y-2)2=6,①

圆M：(x-3)3+y2=2,②

①-②：x-y-2=0,③

因为E隹圆P匕E在圆加匕所以E点坐标满足③式，同理尸点坐标满足③式，

所以③：x-y-2=0即为直线所方程.

(3)由题意知切线B4,尸8的斜率均存在且不为零，设切线方程为y-2=A:(x-l),

由*

得(4-户)二+以+4-r=0,

记切线PA,总的斜率分别为勺，%,则勺+"2=二公

\k{k2-1,

由于切线R4,总的方程分别为丁-2=勺(犬-1),y-2=^(x-l),

y?-4%

联立'z八消去X,得匕V-4y+8-4匕=0,

[y-2=K（x-l）,

4

设A（%,y）,3（々,y2）,则2+*=7,

44

故y=7-2,同理，％=7--2,

于是f=+)?---+——2=-——2-2w[-10,-6),

L

2